Vídeo: Retas Paralelas e Perpendiculares

Examinamos as equações de retas para ver que parâmetros nos dizem se as retas são paralelas ou perpendiculares, em seguida aprendemos a escrever a equação de uma reta que é paralela ou perpendicular a outra e que passa por um ponto específico.

17:53

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos e trabalharemos com retas paralelas e perpendiculares. Analisaremos as definições dos termos paralelo e perpendicular e, em seguida, examinaremos as suas equações e resolveremos algumas questões. Diz-se que duas retas são paralelas se estiverem no mesmo plano e, por mais que se as estenda em cada direção, estas estarão à mesma distância. Outra definição popular também diz que estas nunca se devem cruzar. E o efeito desta definição é que, se tem duas retas que são de facto a mesma reta, uma em cima da outra, não são paralelas porque se cruzam num número infinito de pontos diferentes. Portanto, embora sempre estejam à mesma distância, zero, não os consideramos paralelos porque se cruzam.

Agora, aqui está um exemplo em que temos duas retas diferentes. Ambas estão no plano de coordenadas 𝑥O𝑦 e são paralelas. Onde quer que meça a distância entre estas, terá sempre a mesma resposta. Diz-se que duas retas são perpendiculares se um ângulo reto é formado no ponto de interseção, como aqui. Portanto, estas duas retas estão no plano de coordenadas 𝑥O𝑦 e se cruzam no ponto dois, zero. E o ângulo entre elas é de 90 graus. No resto deste vídeo, trabalharemos apenas com retas no plano de coordenadas 𝑥O𝑦. E analisaremos as equações destas retas, escolhendo aspetos que nos dizem se são paralelas ou são perpendiculares.

E as equações de retas são realmente uma parte importante deste tópico, então vamos fazer uma rápida recapitulação de 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Portanto, a forma geral de uma equação de uma reta é 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏 ou talvez 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐, dependendo de onde reside. O valor de 𝑚, o múltiplo de 𝑥, o coeficiente de 𝑥, indica o declive da reta. E o valor de 𝑏 indica onde interseta o eixo O𝑦. Agora, o declive, ou o gradiente, da reta é definido como sendo a quantidade pela qual a coordenada em 𝑦 muda quando aumentamos a coordenada em 𝑥 uma unidade.

Agora, desenhei dois pontos 𝑎 e 𝑏 na minha reta e aumentei a coordenada em 𝑥 uma unidade para ir de 𝑎 para 𝑏. Portanto, a diferença nas coordenadas em 𝑥 é um. E quando faço isso, a diferença nas coordenadas em 𝑦 de 𝑎 a 𝑏 terá um aumento de 𝑚. Então, seja qual for o valor, o.k., esta é a quantidade pela qual a coordenada em 𝑦 aumenta, sempre vez que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, movendo-nos ao longo da reta. Portanto, se esta reta tivesse sido, por exemplo, 𝑦 igual a 0.5 𝑥 mais três, o múltiplo de 𝑥, o declive, o valor de 𝑚 será 0.5. Isso significa que sempre que eu aumentar a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 aumentará 0.5.

Portanto, se organizarmos a equação da reta nesta forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, será realmente uma questão simples ler o declive desta reta. Basta olhar para o coeficiente de 𝑥, o múltiplo de 𝑥; este é o seu declive. E aqui temos uma questão. Qual das seguintes retas tem o mesmo declive ou gradiente? E temos cinco retas. A é 𝑦 igual a três 𝑥 menos sete. B é 𝑦 igual a um menos meio 𝑥 mais três. C é 𝑦 igual a menos três 𝑥 mais sete. D é 𝑦 igual a menos um meio 𝑥 mais cinco. E E é 𝑦 igual a três 𝑥 mais nove. Agora, todas estas equações já estão na forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏, então o que precisamos de fazer é examinar os coeficientes de 𝑥. E se tiverem o mesmo número com o mesmo sinal, terão o mesmo declive ou gradiente.

Então B e D têm o mesmo declive, ou gradiente, de menos um meio. E A e E têm o mesmo declive de três. C tem um declive de menos três, então é um sinal diferente de A e E. Portanto, esta não é o mesmo declive ou gradiente. Agora, quando duas retas têm o mesmo declive ou gradiente, chamamo-las de paralelas. Então, aqui, A é paralela a E e B é paralela a D. Então, agora podemos reconhecer as retas paralelas apenas observando as suas equações, desde que estejam na forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏. Então, pensando no declive das retas perpendiculares, se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus declives, ou gradientes, é menos um.

Bem, por que será assim? Vamos dar uma olhadela. Ora, tenho duas retas aqui, 𝐿 um, que dei a equação 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑎 e 𝐿 dois, que eu dei a equação 𝑦 igual 𝑛𝑥 mais 𝑏. Vamos tomar este ponto de interseção e, em seguida, um ponto em cada uma destas retas que tem uma coordenada em 𝑥 que é maior que a coordenada em 𝑥 no ponto de interseção. Para a reta um, a diferença nas coordenadas em 𝑦 entre estes dois pontos, este e este, será 𝑚. E para a reta dois, a diferença nestas coordenadas será 𝑛. Bem, na verdade, será menos 𝑛. Portanto, a reta dois é decrescente, o que significa que terá um declive negativo.

Agora estou interessado nesta distância. E esta é uma distância positiva. Então, eu preciso de considerar o simétrico deste declive negativo para descobrir qual será a distância real. Agora, se eu identificar estes pontos com A, B e C, sabemos que o triângulo ABC é um triângulo retângulo porque as duas retas são perpendiculares. Portanto, o ângulo ABC é um ângulo reto. E em triângulos retângulos, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para dizer que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros lados. Portanto, comprimento AC ao quadrado é igual ao comprimento AB ao quadrado mais comprimento BC ao quadrado. E sabemos que o comprimento AC é 𝑚 mais menos 𝑛. Então AC ao quadrado é 𝑚 mais menos 𝑛 tudo ao quadrado. Agora, se olharmos para o diagrama, podemos ver que temos mais dois triângulos retângulos. Temos este aqui e este aqui.

E, novamente, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da hipotenusa de cada um deles. Sabemos que o triângulo em cima tem uma altura de ℎ e uma largura de desculpe, uma altura de 𝑚 e uma largura de um. E o triângulo em baixo tem uma altura de menos 𝑛 e uma largura de um. Portanto, estes comprimentos AB e BC são a raiz quadrada de 𝑚 ao quadrado mais um quadrado e a raiz quadrada de menos 𝑛 tudo ao quadrado mais um ao quadrado. E agora podemos começar a simplificar isto. 𝑚 mais menos 𝑛 é apenas 𝑚 menos 𝑛. Assim, o primeiro membro fica 𝑚 menos 𝑛 ao quadrado. A raiz quadrada de 𝑚 quadrado mais um quadrado tudo quadrado é apenas 𝑚 quadrado mais um. E menos 𝑛 tudo quadrado é apenas 𝑛 quadrado. Portanto, a raiz quadrada de menos 𝑛 tudo ao quadrado mais um ao quadrado tudo ao quadrado é apenas 𝑛 ao quadrado mais um.

Agora 𝑚 menos 𝑛 tudo quadrado significa 𝑚 menos 𝑛 vezes 𝑚 menos 𝑛 e, só arrumando o segundo membro, eu tenho 𝑚 ao quadrado mais 𝑛 ao quadrado mais dois. Agora, multiplicando cada termo no primeiro parêntesis por cada termo no segundo parêntesis no primeiro membro, obtenho 𝑚 ao quadrado menos 𝑚𝑛 dois e mais 𝑛 ao quadrado. E posso subtrair 𝑚 ao quadrado em ambos os membros e posso subtrair 𝑛 ao quadrado em ambos os membros, o que elimina 𝑚 ao quadrado de ambos os membros e elimina 𝑛 ao quadrado de ambos os membros. Então, tenho menos dois 𝑚𝑛 igual a dois. Agora, se eu dividir os dois membros por menos dois, obtenho 𝑚 vezes 𝑛 igual a dois sobre menos dois, que é igual a menos um. Agora lembre-se: 𝑚 era o declive da minha primeira reta e 𝑛 era o declive da minha segunda reta. Então, 𝑚𝑛 é o produto dos dois declives das retas. Portanto, quando estas retas são perpendiculares, não importa quais sejam os declives, sabemos que quando os multiplicamos, obteremos sempre esta resposta de menos um.

Agora, se se perdeu um pouco durante a explicação, não se preocupe. Esta parte não é importante. É disto que precisa de se lembrar. Se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus declives, ou gradientes, é menos um. Portanto, se chamamos 𝑚 ao declive da primeira reta e 𝑛 ao declive da segunda reta, 𝑚 vezes 𝑛 é igual a menos um. Ou, se eu dividir os dois membros por 𝑛, obtenho 𝑚 é igual a menos um sobre 𝑛. Ou, se eu dividir os dois membros por 𝑚, obtenho 𝑛 é igual a menos um sobre 𝑚. Por outras palavras, cada declive é o inverso simétrico do outro. Isto significa que, se eu conhecer um dos declives, posso determinar o declive perpendicular alterando apenas o sinal e invertendo esse número.

Por exemplo, se 𝑚 fosse cinco, 𝑛 seria menos um sobre cinco, o sinal oposto e, a seguir, inverter esse número. Se 𝑚 foi menos três, tomo o sinal oposto para torná-lo positivo e inverto esse número, três sobre um torna-se um sobre três. E se 𝑚 for igual a dois terços, 𝑛 será menos três sobre dois. Portanto, conhecer esta regra significa que, se conhece o declive, ou o gradiente, de uma reta específica, é muito fácil descobrir qual será o declive, ou o gradiente, de uma reta perpendicular àquela.

Então, para resumir os factos básicos, duas retas são paralelas se tiverem o mesmo declive, mas com interseção em O𝑦 diferente. Por exemplo, 𝑦 igual a sete 𝑥 menos cinco e 𝑦 igual a sete 𝑥 mais dois. As duas têm um declive de sete e as suas interseções em O𝑦 são diferentes, menos cinco e dois positivas, então são paralelas. E duas retas são perpendiculares se o produto dos seus declives for igual a menos um. Por exemplo, 𝑦 igual a três 𝑥 menos um e 𝑦 igual a menos um terço 𝑥 mais nove. O declive do primeiro é três e o declive do segundo é menos um terço. Portanto, o produto destes declives é três vezes menos por terço. Mas três é o mesmo que três sobre um, então, para fazer deste um cálculo de frações, tenho três vezes menos um sobre um vezes três. Bem, isto é menos três sobre três, o que é igual a menos um. Portanto, atende aos critérios, portanto as retas são perpendiculares.

E mais um exemplo, 𝑦 igual a menos dois sétimos 𝑥 mais oito e 𝑦 igual a sete sobre dois 𝑥 mais oito. Os declives são menos dois sobre sete e sete sobre dois. Estes são inversos simétricos um do outro. E se eu multiplicar os declives, menos dois sobre sete vezes sete sobre dois é igual a menos catorze sobre catorze, que é igual a menos um. Então estas duas retas são perpendiculares. E com retas perpendiculares, não importa que estas interseções sejam ambas oito positivo. Os declives são diferentes, então são retas diferentes. Elas são definitivamente perpendiculares. Vamos ver algumas questões típicas então.

Duas retas, A e B, têm declives de três quartos e menos quatro sobre três, respetivamente. Elas são paralelas, perpendiculares ou nenhum caso?

Bem, os declives não são iguais, então elas definitivamente não são paralelas. Agora, se multiplicarmos esses declives, obteremos três quartos vezes menos quatro sobre três, que é menos doze sobre doze, que é menos um. Portanto, parece que estas duas retas serão perpendiculares.

A seguir, quais das seguintes retas são paralelas uma à outra? E temos cinco equações. A) é 𝑦 igual a oito 𝑥 menos cinco. B) Dois 𝑦 igual a oito 𝑥 mais três. C) Oito 𝑥 menos 𝑦 mais dois igual a zero. D) Um meio 𝑦 menos quatro 𝑥 igual a doze. E E) é 𝑦 igual a menos um oitavo 𝑥 e mais sete.

Bem, com A e E, elas já estão na forma 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏, por isso é fácil ler qual é o declive. Mas para B, C e D, teremos que reorganizar um pouco para colocá-las na forma certo para poder ler os seus declives. Para a equação B, vou ter que dividir os dois membros desta equação por dois. Portanto, no primeiro membro, um meio de dois 𝑦 é apenas 𝑦. E, em seguida, dividir cada termo no segundo membro por dois, metade de oito 𝑥 é quatro 𝑥 e metade de três é três sobre dois. Para a equação C, posso apenas adicionar 𝑦 a ambos os membros, o que o eliminará do primeiro membro e deixa-me apenas 𝑦 no segundo membro. E isso dá-me oito 𝑥 mais dois igual a 𝑦. Agora, vou escrever ao contrário 𝑦 igual a oito 𝑥 e mais dois, porque esta é a forma com a qual estamos familiarizados.

Agora D precisa de um pouco mais de trabalho. Eu tenho 𝑦 e o termo em 𝑥 no primeiro membro e apenas o número à direita. Então, primeiro, vou adicionar quatro 𝑥 aos dois membros, o que me dá um meio 𝑦 é igual a, bem, doze mais quatro 𝑥 ou quatro 𝑥 mais doze. E depois faço o dobro de cada membro desta equação para me deixar com apenas 𝑦. Dois vezes um meio 𝑦 é 𝑦, dois vezes quatro 𝑥 é oito 𝑥 e dois vezes doze é vinte e quatro. Agora, temos as nossas equações na forma certa. É uma questão bastante direta identificar os declives, para que possamos ver quais as retas que são paralelas uma à outra. Em A, o declive é oito. Em B, o declive é quatro. Em C, o declive é oito. Em D, o declive também é oito. E em E, o declive é menos um oitavo. Então A, C e D, têm todas um declive de oito. Portanto, a resposta é A, C e D são paralelas.

Agora, temos que escrever a equação de uma reta que é paralela a 𝑦 igual a oito 𝑥 menos quatro.

Portanto, deve ser paralela, o que significa que deve ter o mesmo declive de oito. Então, é preciso começar com 𝑦 igual a oito 𝑥. E depois podemos adicionar qualquer coisa que gostemos, porque onde quer que esta reta interseta o eixo O𝑦, não importa. Vai ser paralela a esta reta. A única coisa que não deve utilizar é oito 𝑥 menos quatro. Não faça exatamente a mesma reta, porque a maioria das pessoas diria que não são paralelas porque é a mesma reta. Então pode escrever o que quiser aqui oito 𝑥 mais mil. Aqui temos, esta é uma reta que é paralela a 𝑦 igual a oito 𝑥 menos quatro.

Em seguida, temos que escrever a equação de uma reta que é perpendicular a 𝑦 igual a três 𝑥 menos dois.

Bem, o declive é três, então declive dessa reta perpendicular deve ser o simétrica inverso, de modo que é menos um sobre três. Então, a nossa equação vai começar com 𝑦 igual a menos um sobre três 𝑥. E podemos adicionar o que quisermos. Poderíamos deixá-lo como menos um sobre três 𝑥, ou poderíamos adicionar qualquer número que gostássemos para fazer uma reta perpendicular. Agora, temos que escrever uma equação para a reta que é paralela a 𝑦 igual a um meio 𝑥 mais cinco e que passa pelo ponto seis, 10. Bem, sabemos que o declive da reta 𝑦 igual a um meio 𝑥 mais cinco tem um declive de meio. Portanto, se a nossa reta for paralela a esta, também deve ter um declive de um meio. Mas é claro que esta reta poderia intersetar o eixo O𝑦 em qualquer número, pelo que podemos mover esta reta para cima ou para baixo. O que nos disseram é que ela deve passar pelo ponto seis, 10. E isso significa que, quando 𝑥 é seis, 𝑦 deverá ser 10.

Agora, se utilizarmos a forma geral da nossa equação 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏, sabemos que o declive 𝑚 é igual a um meio. Agora, precisamos de descobrir o valor de 𝑏. Mas conhecemos um par de coordenadas específico que pertence à reta, quando 𝑥 é igual aseis, 𝑦 é igual a 10. Portanto, substituindo 𝑥 e 𝑦 por seis e 10, temos 10 igual a um meio vezes seis mais 𝑏. Então 10 é igual a três mais 𝑏. E subtrair três de ambos os membros dá-me sete igual a 𝑏. Agora, sabemos o valor de 𝑏; podemos terminar a nossa equação. 𝑦 é igual a um meio 𝑥 mais sete.

Por fim, escreva uma equação para a reta que é perpendicular a 𝑦 igual a três quartos 𝑥 menos quatro e que passa pelo ponto quatro, 11.

Estamos a tentar determinar um gradiente ou um declive que é perpendicular a três quartos. Então o declive da nossa reta perpendicular será menos quatro sobre três, o inverso simétrico, lembre-se. Três quartos vezes menos quatro sobre três é igual a menos um. Então isso significa que é uma reta perpendicular. Então, temos o declive da reta e também sabemos que ela passará pelo ponto quatro, 11. Então, quando 𝑥 é igual a quatro, 𝑦 é igual a 11. E, utilizando a forma da equação 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏, sabemos que 𝑚 é menos quatro sobre três. E sabemos que quando 𝑥 é quatro, 𝑦 é 11. Portanto, podemos utilizar todas estas informações para calcular o valor de 𝑏.

Então, 11 é igual a menos quatro terços vezes quatro mais 𝑏. Bem, quatro é o mesmo que quatro sobre um. Portanto, isto torna-se um cálculo de frações, menos quatro terços vezes quatro sobre um. Portanto, 11 é igual a menos dezasseis terços mais 𝑏. Portanto, se eu adicionar dezasseis terços aos dois membros, tenho 11 mais dezasseis terços é igual a 𝑏. E isso é igual a 49 sobre três. Pelo que eu possa colocar isto de volta na nossa equação original e obter a minha resposta, 𝑦 é igual a menos quatro terços 𝑥 mais 49 sobre três.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.