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Vídeo da aula: Problemas de Valor Inicial Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar uma solução específica para uma equação diferencial separável, considerando um valor inicial.

17:20

Transcrição do vídeo

Problemas de Valor Inicial

Neste vídeo, praticaremos encontrar uma solução específica para uma equação diferencial separável quando dado um valor inicial.

Para começar, lembramo-nos da definição de uma equação diferencial separável. Esta é qualquer equação diferencial que pode ser escrita na forma d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑦. Olhando para o lado direito desta equação, se não pudermos expressá-la como uma função de apenas 𝑥 multiplicada por uma função de apenas 𝑦, ela não será classificada como uma equação diferencial separável. Para encontrar soluções para esse tipo de equação, podemos usar o seguinte método.

Aqui, dividimos os dois lados pela função 𝑓 de 𝑦. Para facilitar a nossa notação, podemos definir uma nova função ℎ de 𝑦, que é igual a um sobre 𝑓 de 𝑦. Além disso, uma observação rápida, quando 𝑓 de 𝑦 for igual a zero, teremos que dividir por zero. E, portanto, a solução será perdida. Mas não vamos nos preocupar muito com isso durante o vídeo.

Ok, nosso próximo passo será integrar os dois lados de nossa equação em relação a 𝑥. Agora, o lado esquerdo da equação pode parecer um pouco estranho para nós. Mas uma coisa que podemos reconhecer é que a regra da cadeia pode ser aplicada para nos dar d𝑦 por d𝑥, d𝑥 é igual a d𝑦. Podemos usar isso para nos dar a equação de que a integral de ℎ de 𝑦 em relação a 𝑦 é igual à integral de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥. Como um aparte, vamos retroceder um pouco. Você verá frequentemente esse método representado da seguinte maneira. No estágio em que tínhamos ℎ de 𝑦 d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥, trataríamos d𝑦 por d𝑥 de maneira semelhante a uma fração, permitindo-nos dar a afirmação equivalente ℎ de 𝑦 d𝑦 é igual a 𝑔 de 𝑥 d𝑥.

Agora integraríamos os dois lados. E espero que você consiga ver que chegamos ao mesmo estágio. Você deve sempre estar ciente de que essas etapas mostradas à direita devem ser tratadas como uma abreviação para o método que mostramos pela primeira vez. Você costuma ver isso porque usa menos linhas de trabalho. Mas esteja sempre ciente das etapas mais rigorosas que estão realmente acontecendo em segundo plano. Por exemplo, em nossa abreviação, integramos ambiguamente os dois lados de nossa equação. Considerando que, com mais rigor, estamos integrando ambos os lados em relação a 𝑥. E o resultado é uma integral do lado esquerdo em relação a 𝑦.

Ok, vamos arrumar as coisas e continuar com o nosso método. Ao integrar ℎ de 𝑦 em relação a 𝑦 e 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥, obtemos 𝐻 de 𝑦 mais uma constante, que chamaremos de 𝑐 um, é igual a 𝐺 de 𝑥 mais uma constante, que iremos chamar de 𝑐 dois. E é aí que 𝐻 e 𝐺 são primitivas de ℎ e 𝑔, respectivamente. Agora devemos prestar atenção a esses dois termos 𝑐, que são constantes de integração. Dado que essas são constantes, podemos simplificar primeiro subtraindo 𝑐 um de ambos os lados e, em seguida, redefinindo 𝑐 dois menos 𝑐 um para ser uma nova constante, que chamaremos de 𝑐 três.

Nesse estágio, teríamos encontrado a solução geral para nossa equação diferencial. É provável que seja uma solução implícita. Lembre-se, uma solução explícita é aquela com 𝑦 de um lado da equação e alguma função de 𝑥 do outro lado. Uma solução implícita não assume esse formato. Ambas as formas de solução são válidas. Mas frequentemente tentamos expressar nossa resposta em termos de uma solução explícita, se possível. Agora, aqui, dissemos que a solução geral foi encontrada porque a constante 𝑐 três pode ter qualquer valor. E todas essas serão soluções para nossa equação diferencial.

Vamos imaginar o caso muito simples em que 𝐻 de 𝑦 é apenas 𝑦 e 𝐺 de 𝑥 é apenas 𝑥. Nossa equação então se torna 𝑦 igual a 𝑥 mais nossa constante 𝑐 três. Claro, isso é apenas a equação de uma linha reta. Como 𝑐 três pode assumir qualquer valor, se considerarmos que é igual a zero, teremos a linha reta 𝑦 igual a 𝑥. Quando 𝑐 três é igual a menos um, teríamos a reta 𝑦 igual a 𝑥 menos um. Poderíamos até pegar algo como 𝑐 três igual a 𝜋, o que nos daria 𝑦 igual a 𝑥 mais 𝜋. Todas essas retas e suas equações correspondentes são soluções específicas para alguma equação diferencial. Nós as encontramos usando a solução geral para essa equação diferencial. E já mostramos o método para encontrar uma solução geral para uma equação diferencial.

Ok, então, sem escolher arbitrariamente números para nossa constante, como vamos da solução geral para a solução específica? De acordo com o título deste vídeo, usaremos o valor inicial, às vezes chamado de condição inicial. Vamos ver um exemplo disso usando nossa solução geral 𝑦 igual 𝑥 mais alguma constante. Um exemplo de um valor inicial que nos seria dado seria 𝑦 de dois é igual a um. Isso nos diz que quando 𝑥 é igual a dois, 𝑦 é igual a um. Portanto, segue-se que o ponto dois, um, está na reta da solução específica correta que estamos procurando.

Algebricamente, podemos encontrar a equação da solução específica correta substituindo os valores conhecidos pela solução geral. Quando 𝑥 é igual a dois, 𝑦 é igual a um. Obviamente, um simples rearranjo nos dá que a constante 𝑐 três é igual a menos um. Substituindo isso de volta à nossa solução geral, obtemos a equação 𝑦 igual 𝑥 menos um. Uma representação visual do que fizemos aqui é que analisamos o ponto dois, um. E encontramos a equação da reta em que ela se encontra. Esta reta é a solução específica que corresponde ao valor inicial que recebemos.

Agora que entendemos nosso método, vamos dar uma olhada em um exemplo.

Encontre a equação da curva que passa pelo ponto menos oito, um dado que o gradiente da tangente em qualquer ponto é igual a duas vezes o quadrado da coordenada 𝑦.

Vamos primeiro interpretar as informações dadas por esta pergunta. Somos informados sobre o gradiente para a tangente de uma curva em qualquer ponto. Este gradiente pode ser representado por d𝑦 por d𝑥. Disseram-nos que isso é igual a duas vezes o quadrado da coordenada 𝑦. Portanto, em outras palavras, é igual a dois 𝑦 ao quadrado. Aqui, reconhecemos que recebemos uma equação diferencial. Além disso, nos foi dada uma equação diferencial separável. Esta é aquela que pode ser expressa na forma d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 multiplicada por 𝑓 de 𝑦. No nosso caso, consideraremos 𝑔 de 𝑥 igual à constante dois e 𝑓 de 𝑦 igual a 𝑦 ao quadrado.

Dada uma equação dessa forma, podemos encontrar a solução geral da seguinte maneira. Primeiro, dividimos os dois lados de nossa equação por 𝑓 de 𝑦. No nosso caso, isso é 𝑦 ao quadrado. Isso nos dá que um sobre 𝑦 ao quadrado d𝑦 por d𝑥 é igual a dois. Em seguida, podemos integrar ambos os lados de nossa equação em relação a 𝑥. Agora, a regra da cadeia nos diz que d𝑦 por d𝑥 d𝑥 é igual a d𝑦. Isso nos dá que a integral de um sobre 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑦 é igual à integral de dois em relação a 𝑥. Uma observação, muitas vezes você vê métodos em que, antes da integração, d𝑦 por d𝑥 é tratado como uma fração. Ambos os lados são multiplicados por d𝑥.

E a afirmação equivalente é obtida: um sobre 𝑦 ao quadrado d𝑦 é igual a dois d𝑥. Ambos os lados da equação são então integrados. E chegamos ao mesmo estado de antes, mas com menos trabalho. Lembre-se sempre de que isso é apenas um atalho para as etapas mais rigorosas que mostramos aqui. Voltando ao nosso método, um sobre 𝑦 ao quadrado pode ser expresso como 𝑦 elevado a menos dois. Você pode se sentir mais confortável executando a integração desta forma para obter menos um sobre 𝑦 mais a constante de integração 𝑐 um é igual a dois 𝑥 mais alguma outra constante de integração 𝑐 dois.

Normalmente, não nos preocupamos em colocar uma constante nos dois lados desta equação, porque apenas definimos uma nova constante, que neste caso seria 𝑐 dois menos 𝑐 um. E isso poderia apenas ir para um lado da equação. Agora, nesta fase, encontramos a solução geral para nossa equação diferencial. E está na forma implícita, o que significa que não está na forma em que 𝑦 é igual a alguma função de 𝑥. Encontramos a solução geral para todas as retas em que o gradiente da tangente em qualquer ponto é igual a duas vezes o quadrado da coordenada 𝑦.

Agora, nosso próximo pensamento pode ser converter nossa solução implícita em uma solução explícita. Mas, como se vê, isso não é necessário. Isso ocorre porque a solução geral não é nosso destino final. Em vez disso, estamos buscando uma solução específica. Queremos a reta que passa pelo ponto menos oito, um. Esta informação é um valor inicial. E encontraremos a solução específica que corresponde da seguinte maneira. Sabemos que se menos oito, um está na reta, quando 𝑥 é igual a menos oito, 𝑦 deve ser igual a um. Podemos substituir esses valores conhecidos na equação por nossa solução geral. Em seguida, realizamos algumas simplificações. E descobrimos que nossa constante 𝑐 três é igual a 15.

Agora podemos substituir esse valor em nossa solução geral, que será transformada em uma solução específica. Menos um sobre 𝑦 é igual a dois 𝑥 mais 15. Agora, se quiséssemos, poderíamos converter isso em uma solução explícita primeiro multiplicando por menos um e aumentando os dois lados a potência menos um. Para recapitular, usamos as informações dadas na pergunta para formar uma equação diferencial separável. A solução específica para isso, que passa pelo ponto menos oito, um é 𝑦 igual a menos um sobre dois 𝑥 mais 15. E essa é a resposta para a nossa pergunta.

Vamos agora dar uma olhada em outro exemplo para praticar esse tipo de pergunta.

Encontre a equação da curva que passa pelo ponto zero, menos um dado d𝑦 por d𝑥 é igual a menos seis 𝑥 menos quatro dividido por quatro 𝑦 mais 13.

Para esta questão, notamos primeiro que recebemos uma equação diferencial separável. Esta é uma equação que pode ser escrita na forma d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑦. Resolvendo esta equação diferencial separável nos dará uma solução geral, que incluirá uma constante 𝑐. Agora, a questão também nos deu um valor inicial, que é o fato de que a curva deve passar pelo ponto zero, menos um. Poderemos usar essas informações para restringir a solução geral que encontramos em uma solução específica. Por enquanto, vamos apenas trabalhar na solução geral.

Por enquanto, deixaremos de lado nosso valor inicial e apenas trabalharemos em direção à solução geral. Para descobrir isso, primeiro expressaremos nossa equação diferencial da seguinte forma, onde temos alguma função de 𝑦 d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥. Para nossa equação, podemos fazer isso multiplicando os dois lados por quatro 𝑦 mais 13. Isso nos dá que quatro 𝑦 mais 13 d𝑦 por d𝑥 é igual a menos seis 𝑥 menos quatro. A próxima coisa que podemos fazer é tratar d𝑦 por d𝑥 um pouco como uma fração. Se pretendermos multiplicar ambos os lados por d𝑥, obteremos uma afirmação equivalente a quatro 𝑦 mais 13 d𝑦 é igual a menos seis 𝑥 menos quatro d𝑥.

O próximo passo que damos é integrar os dois lados de nossa equação, fornecendo uma integral em relação a 𝑦 no lado esquerdo e uma integral em relação a 𝑥 no lado direito. Agora, lembre-se sempre de que o que fizemos aqui é essencialmente um truque. d𝑦 por d𝑥 não é realmente uma fração e nem sempre pode ser tratado como um. No entanto, fizemos isso aqui para nos impedir de trabalhar, pois isso nos dá uma resposta equivalente. Voltando ao nosso método, agora realizamos nossas integrações. Fazer isso nos dá o seguinte.

Agora, vale a pena notar que ambas as nossas integrais teriam nos dado uma constante. No entanto, podemos simplesmente combinar essas duas constantes em um termo. Em vez de 𝑐 um e 𝑐 dois, simplesmente temos 𝑐, que é igual a 𝑐 um menos 𝑐 dois. Novamente, isso leva a um trabalho menos desnecessário para nós. Após algumas pequenas simplificações, chegamos à solução geral para nossa equação diferencial. Isso significa que encontramos uma equação que descreve todas as retas para as quais d𝑦 por d𝑥 é igual a menos seis menos quatro dividido por quatro 𝑦 mais 13.

No entanto, precisamos descobrir qual dessas retas passa pelo ponto que nos foi dado: zero, menos um. Esse valor inicial que nos foi dado nos permitirá encontrar essa solução específica. Sabemos que se a reta passa pelo ponto zero, menos um que quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 deve ser igual à menos um. Podemos, portanto, pegar nossa solução geral, substituir em 𝑦 igual a menos um e 𝑥 é igual a zero e resolvê-lo para encontrar o valor de nossa constante 𝑐. Com um pouco de trabalho, descobrimos que o valor de 𝑐 aqui é menos 11. Agora podemos substituir esse valor de 𝑐 de volta à nossa solução geral para encontrar a solução específica. Esta é a solução específica para a equação diferencial que passa pelo ponto zero, menos um, que é o nosso valor inicial.

Agora, você pode perceber que a solução que nos foi dada está implícita, o que significa que não está na forma 𝑦 igual a alguma função de somente 𝑥. Geralmente, é uma boa ideia tentar expressar sua solução de forma explícita. No entanto, neste caso, você não deve se preocupar. Na verdade, não é possível dar a resposta para esse problema na forma de uma única equação explícita, pois temos várias potências de 𝑦 no lado esquerdo. Novamente, isso não é motivo de preocupação, uma vez que a forma implícita é uma solução perfeitamente válida. E de fato respondemos à nossa pergunta.

Vamos agora dar uma olhada em um exemplo final de um problema de valor inicial.

Encontre a solução da equação diferencial d𝑦 por d𝑥 mais nove 𝑦 é igual a 63, dado que 𝑦 zero é igual a oito.

Para esse tipo de pergunta, a primeira coisa que devemos fazer é verificar se nos foi dada uma equação diferencial separável. Esta é uma equação diferencial que pode ser escrita na forma d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑦. Uma afirmação equivalente a isso seria um sobre 𝑓 de 𝑦 d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥. Também podemos decidir definir outra função ℎ de 𝑦 para tornar as notações um pouco mais fáceis, onde ℎ de 𝑦 é igual a um sobre 𝑓 de 𝑦.

Agora, aqui devemos ter um pouco de cuidado. Só porque nossa equação tem todos os termos 𝑦 à esquerda não significa que já esteja nesta forma. Isso ocorre porque temos uma adição aqui. Considere o seguinte exemplo da equação diferencial d𝑦 por d𝑥 mais 𝑦 é igual a dois 𝑥. Embora possa parecer que essa é uma equação diferencial separável, porque temos um 𝑦 à esquerda e um 𝑥 à direita. De fato, não importa o quanto tentemos, não podemos expressá-la da maneira correta. Este exemplo ilustra que algumas equações que parecem que deveriam ser separáveis ​​de fato não são. Felizmente, não estamos lidando com um desses casos. No entanto, nossa equação requer um pouco de manipulação antes de prosseguirmos.

Tomamos nossa equação e subtraímos nove 𝑦 de ambos os lados. Podemos então fatorar o lado direito, pois ambos os termos têm um fator comum de nove. Em seguida, dividimos os dois lados por sete menos 𝑦. Isso nos dá a seguinte equação que realmente corresponde à forma que mostramos aqui. Ok, agora vamos usar um truque. Podemos tratar d𝑦 por d𝑥 um pouco como uma fração. Isso nos permite alcançar uma forma diferente de equação: um sobre sete menos 𝑦 d𝑦 é igual a nove d𝑥. Dessa forma, podemos integrar os dois lados da nossa equação. Isso nos dá o logaritmo natural negativo do valor absoluto de sete menos 𝑦 é igual a nove 𝑥 mais 𝑐, onde 𝑐 é uma constante. Obviamente, ambas as nossas integrais teriam nos dado uma constante de integração. No entanto, optamos por combinar as duas no lado direito em uma constante, que acabamos de chamar de 𝑐.

Ok, agora encontramos a solução geral para nossa equação diferencial. No entanto, esta solução está na forma implícita. Uma solução explícita seria uma na forma 𝑦 igual a alguma função de 𝑥. Optamos por usar 𝑢 aqui para evitar confusões com 𝑓 em nossa definição. Para facilitar o gerenciamento, vamos trabalhar para converter nossa solução implícita geral em uma solução explícita geral. A primeira coisa que podemos fazer é multiplicar os dois lados por menos um. Como ainda não definimos nossa constante, não importa se temos mais 𝑐 ou menos 𝑐. Então, talvez, vamos deixar isso como mais 𝑐. Vamos abrir espaço para continuar.

A próxima coisa que fazemos é tomar a exponencial de ambos os lados, o que significa aumentar 𝑒 a potência de ambos os lados de nossa equação. Como esse é o inverso do algoritmo natural no lado esquerdo da equação, simplesmente ficamos com sete menos 𝑦. Em seguida, podemos simplificar subtraindo sete de ambos os lados e multiplicando por menos um. Isso nos dá que 𝑦 é igual a menos 𝑒 elevado a menos nove 𝑥 mais 𝑐 somado a sete. Nesse estágio, podemos reconhecer que 𝑒 elevado a menos nove 𝑥 mais 𝑐 é igual a 𝑒 elevado a menos nove 𝑥 multiplicado por 𝑒 elevado a 𝑐. Fazer isso nos dá outra maneira de simplificar.

Juntos aqui, temos menos 𝑒 elevado a 𝑐. Mas como 𝑐 é atualmente uma constante indefinida, podemos redefinir uma nova constante. Digamos 𝐶 que é igual a menos 𝑒 elevado a nossa letra minúscula anterior 𝑐. Fazer isso nos permite dizer que 𝑦 é igual a 𝐶 vezes 𝑒 elevado a menos nove 𝑥 mais sete. Agora encontramos uma solução implícita geral para nossa equação diferencial. Nesta fase, estamos prontos para usar as informações restantes dadas pela pergunta. A pergunta nos deu que 𝑦 de zero é igual a oito. Esta informação é o nosso valor inicial e precisamos encontrar a solução específica para a equação diferencial para a qual isso é verdade.

A partir dessa afirmação, sabemos que quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 deve ser igual a oito. Outra maneira de dizer isso seria que a curva que representa nossa solução específica passará pelo ponto zero, oito. Ok, podemos substituir nossos valores conhecidos na solução geral para encontrar o valor de 𝐶 para nossa solução específica. Como 𝑒 elevado a nada é igual a um, temos que oito é igual a 𝐶 vezes um adicionado a sete. Portanto, nossa constante 𝐶 é igual a um. Substituindo esse valor de 𝐶 de volta à nossa solução geral nos dá a solução específica para nossa equação diferencial, que corresponde ao valor inicial dado pela pergunta. A equação que representa nossa solução particular é que 𝑦 é igual a 𝑒 à potência de menos nove 𝑥 mais sete.

Ok, como nosso exemplo final, vamos terminar o vídeo passando por alguns pontos chave. Uma equação diferencial separável pode ser expressa na forma d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑦. Há também outras maneiras pelas quais isso pode ser expresso, o que pode ser mais útil, dependendo do problema. A solução geral para uma equação diferencial separável pode ser encontrada usando técnicas de integração. Dentro desse método, você costuma ver d𝑦 por d𝑥 tratado como uma fração. Mas lembre-se, este é apenas um truque que economiza seu trabalho. A solução geral para uma equação diferencial incluirá uma constante 𝑐.

Um valor inicial, por exemplo, 𝑦 de 𝑎 é igual a 𝑏, pode ser usado para encontrar uma solução específica para a equação diferencial. Isso pode ser feito substituindo 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑦 igual a 𝑏 em sua solução geral e resolvendo para encontrar a constante 𝑐. Colocar esse valor de 𝑐 novamente em sua solução geral dará origem a uma solução particular, especificamente uma que corresponda à condição inicial que você usou.

Como observação final, as soluções podem ser explícitas ou implícitas. Soluções explícitas têm a forma 𝑦 é igual a alguma função de 𝑥. Soluções implícitas não são desta forma. Geralmente, é uma boa ideia tentar dar uma solução explícita para um problema. Mas às vezes isso é impossível. Portanto, não se preocupe se você não puder fazer isso.

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