Vídeo: Derivação de Funções Trigonométricas

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar as derivadas das funções trigonométricas e como aplicar as regras de derivação nelas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a derivar as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. Começaremos considerando como podemos encontrar a derivada das funções seno e cosseno usando a derivação dos primeiros princípios antes de usar a regra do quociente para encontrar a derivada da função tangente. Em seguida, veremos alguns exemplos da aplicação desses derivadas e dos padrões que elas formam.

Nesse estágio, você deve se sentir à vontade derivando as funções polinomiais e aplicando a derivação no processo dos primeiros princípios. Lembre-se, isso diz que podemos encontrar a derivada de uma função 𝑓 usando a seguinte fórmula. É o limite ℎ que tende a zero de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 tudo sobre ℎ. E isso é nos pontos em que o limite existe.

Vamos começar usando esta definição para nos ajudar a encontrar a derivada do seno de 𝑥. Também precisaremos conhecer alguns limites padrão. Agora, enquanto é possível derivar isso, para os propósitos deste vídeo, vamos simplesmente lembrá-los. E enquanto consideramos isso, devemos notar que, para que sejam verdadeiras, exigimos que quaisquer ângulos sejam dados em radianos. Estes dizem que o limite quando ℎ tende a zero do seno de ℎ sobre ℎ é um. E o limite quando ℎ tende a zero de cos de ℎ menos um sobre ℎ é zero. Agora que recuperamos as informações necessárias para esse processo, vamos ver como é.

Derive 𝑓 de 𝑥 é igual a seno de 𝑥 dos primeiros princípios.

Para derivar dos primeiros princípios, usamos a fórmula 𝑓 linha de 𝑥 é igual ao limite quando ℎ tende a zero de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 tudo sobre ℎ. Já nos disseram que 𝑓 de 𝑥 é igual a seno de 𝑥. E isso significa então que 𝑓 de 𝑥 mais ℎ, que é o que precisamos para nossa fórmula, é seno de 𝑥 mais ℎ. Podemos agora escrever a derivada de nossa função em 𝑥, pois o limite é ℎ tende a zero do seno de 𝑥 mais ℎ menos o seno de 𝑥 tudo sobre ℎ.

Observe que, no momento, não podemos calcular nada ainda. Então, vamos precisar simplificar a expressão seno de 𝑥 mais ℎ menos seno de 𝑥 sobre ℎ. E fazemos isso lembrando a fórmula da soma do seno. Isso nos diz que o seno de 𝐴 mais 𝐵 é igual ao seno de 𝐴 vezes cos de 𝐵 menos cos de 𝐴 vezes seno de 𝐵. Podemos, portanto, dizer que o seno de 𝑥 mais ℎ é igual a seno de 𝑥 cos de ℎ menos cos de 𝑥 seno de ℎ. E isso significa que nós estaremos calculando sen 𝑥 cos ℎ menos cos 𝑥 sen ℎ menos sen 𝑥 sobre ℎ quando ℎ tende a zero.

Mas ainda não podemos calcular isso. Então, vamos manipular a expressão um pouco. Para fazer isso, fatoramos o seno de 𝑥. E temos sen 𝑥 de cos ℎ menos um menos cos 𝑥 sen ℎ sobre ℎ. Agora, temos esses dois resultados padrão. O limite quando ℎ tende a zero do seno de ℎ sobre ℎ é igual a um. E quando ℎ tende a zero para a expressão cos ℎ menos um sobre ℎ, obtemos zero. E lembre-se, estes são para valores radianos. E agora, nós olhamos para dividir nossa expressão. Nós temos sen 𝑥 cos ℎ menos um sobre ℎ menos cos 𝑥 sen ℎ sobre ℎ. E, claro, sen 𝑥 e cos 𝑥 são independentes de ℎ. E isso significa que o sen 𝑥 vezes cos ℎ menos um sobre ℎ quando ℎ tende a zero tende a sen 𝑥 vezes zero. E quando ℎ tende a zero cos de 𝑥 vezes sen de ℎ sobre ℎ tende a cos de 𝑥 vezes um.

Assim, vemos que a derivada de sen 𝑥 em relação a 𝑥 é sen 𝑥 vezes zero mais cos 𝑥 vezes um. Bem, isso é simplesmente cos de 𝑥. Então, vemos que o 𝑓 linha de 𝑥 ou a derivada do seno de 𝑥 é cos de 𝑥. Agora, este é um resultado que deve ser decorado. Mas também é importante que você possa seguir o processo para derivar o seno de 𝑥 dos princípios iniciais. Vamos olhar para repetir este processo para cos de 𝑥.

Dado que 𝑦 é igual a cos de 𝑥, encontre d𝑦 por d𝑥 a partir dos primeiros princípios.

Dado que a fórmula para derivar dos primeiros princípios está na notação de função, começamos por deixar que 𝑓 de 𝑥 seja igual a cos de 𝑥. E isso significa que 𝑓 de 𝑥 mais ℎ é igual a cos de 𝑥 mais ℎ. E então usamos a definição de derivada e substituímos esses valores em nossa função. E nós obtemos o limite quando ℎ tende a zero de cos de 𝑥 mais ℎ menos cos de 𝑥 sobre ℎ como a derivada. Agora, não podemos calcular isso ainda.

Então, usamos a identidade cos de 𝐴 mais 𝐵 é igual a cos 𝐴 cos 𝐵 menos sen 𝐴 sen 𝐵. E isso significa que podemos escrever cos de 𝑥 mais ℎ como cos 𝑥 cos ℎ menos sen 𝑥 sen ℎ. E vemos que a derivada de nossa função é dada pelo limite quando ℎ tende a zero de cos 𝑥 cos ℎ menos sen 𝑥 sen ℎ menos cos 𝑥 sobre ℎ. E então percebemos que temos um fator repetido. Podemos fatorar cos de 𝑥. E temos cos de 𝑥 vezes cos ℎ menos um menos sen 𝑥 sen ℎ tudo sobre ℎ.

E então nos lembramos do fato de que, para valores radianos, o limite quando ℎ tende a zero de sen ℎ sobre ℎ é um. E o limite quando ℎ tende a zero de cos ℎ menos um sobre ℎ é zero. E isso nos leva a dividir a expressão um pouco. Nós escrevemos como cos 𝑥 vezes cos ℎ menos um sobre ℎ menos sen 𝑥 vezes sen ℎ sobre ℎ. E lembre-se, sen 𝑥 e cos de 𝑥 são independentes de ℎ. E então podemos ver que o limite quando ℎ tende a zero de cos 𝑥 vezes cos ℎ menos um sobre ℎ é cos 𝑥 vezes zero. E quando ℎ tende a zero, sen 𝑥 vezes sen ℎ sobre ℎ tende a sen 𝑥 vezes um.

E então 𝑓 linha de 𝑥 é cos de 𝑥 vezes zero menos sen de 𝑥 vezes um que se revertermos à notação de limites nos mostra que a derivada d𝑦 por d𝑥 é igual a menos sen 𝑥 para valores radianos de 𝑥. Esses dois exemplos anteriores nos mostraram que, para um número real 𝑥 dado em radianos, a derivada de sen 𝑥 em relação a 𝑥 é cos de 𝑥. E a derivada de cos de 𝑥 em relação a 𝑥 é menos sen 𝑥. Agora, estes realmente formam um padrão tal que a derivada do sen 𝑥 é cos 𝑥. A derivada de cos 𝑥 é menos sen 𝑥. Quando derivamos menos sen 𝑥, obtemos menos cos 𝑥. E quando derivamos menos cos 𝑥, voltamos ao sen 𝑥.

E, claro, como a integração é o oposto da derivação, podemos reverter esse padrão ao integrá-lo. Generalizando isso para derivadas de ordem superior, vemos que para valores inteiros de 𝑘 as fórmulas gerais para o sen de 𝑥 se mantém. E nós temos fórmulas semelhantes para a derivada de cos de 𝑥. E podemos generalizar isso. Podemos ver como isso funciona usando a regra da cadeia. Mas, na verdade, apenas para os propósitos deste vídeo, vamos dizer as derivadas. A derivada de sen 𝑎𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝑎 cos de 𝑎𝑥. E a derivada em relação a 𝑥 de cos 𝑎𝑥 é menos 𝑎 sen 𝑎𝑥.

Mas e a derivada da função tangente? Bem, a derivada da função tangente depende de duas informações. O primeiro é identidade tg 𝜃 igual a sen 𝜃 sobre cos 𝜃. A segunda é a regra do quociente. E isto é que, dadas duas funções deriváveis, 𝑢 e 𝑣, a derivada de um quociente 𝑢 sobre 𝑣 é igual a 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Vamos aplicar isso em um exemplo.

Calcular a taxa de variação de 𝑓 de 𝑥 é igual a tg cinco 𝑥 em 𝑥 igual a 𝜋.

Lembre-se, ao considerar a taxa de variação de uma função, estamos realmente interessados ​​em encontrar sua derivada. Portanto, precisamos derivar tg de cinco 𝑥 em relação a 𝑥 e depois calcular a derivada em 𝑥 igual a 𝜋. Vamos começar então reescrevendo tg de cinco 𝑥, usando a identidade tg 𝜃 igual a sen 𝜃 sobre cos 𝜃. E isso significa tg de cinco 𝑥 é igual a sen cinco 𝑥 sobre cos cinco 𝑥. Vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada. Já que o numerador da nossa fração é sen cinco 𝑥, deixamos 𝑢 ser igual a sen cinco 𝑥. E deixamos 𝑣 ser igual a cos de cinco 𝑥. E isso significa que a derivada de 𝑢, a derivada de sen cinco 𝑥, em relação a 𝑥 é cinco cos cinco 𝑥. E como a derivada de cos de 𝑎𝑥 em relação a 𝑥 é igual a menos 𝑎 sen 𝑎𝑥, d𝑣 por d𝑥 é menos cinco sen cinco 𝑥.

Vamos substituir na fórmula. 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥 é cos cinco 𝑥 vezes cinco cos cinco 𝑥. E 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 é sen cinco 𝑥 vezes menos cinco sen cinco 𝑥. E, claro, isso tudo é 𝑣 ao quadrado, que podemos dizer é cos ao quadrado de cinco 𝑥. Simplificando o numerador nos dá cinco cos ao quadrado cinco 𝑥 mais cinco sen ao quadrado cinco 𝑥. E então nós fatoramos cinco no numerador para obter cinco vezes cos ao quadrado cinco 𝑥 mais sen ao quadrado cinco 𝑥. E fazemos isso porque sabemos que o sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. E então 𝑓 linha de 𝑥 é cinco sobre cos ao quadrado cinco 𝑥.

Mas há outra identidade que podemos usar. Um sobre cos ao quadrado 𝜃 [cos 𝜃] é o mesmo que sec ao quadrado 𝜃 [sec 𝜃], o que significa que cinco sobre cos ao quadrado de cinco 𝑥 serão iguais a cinco sec ao quadrado de cinco 𝑥. Lembre-se de que estamos procurando a taxa de variação em 𝑥 igual a 𝜋. Então, nós substituímos 𝜋 em nossa fórmula para 𝑓 linha de 𝑥. E nós temos 𝑓 linha de 𝜋 é cinco sec ao quadrado cinco 𝜋 que é apenas cinco. De fato, o resultado geral da derivada de tg 𝑥 em relação a 𝑥 é sec ao quadrado 𝑥. E a derivada de tg 𝑎𝑥 é 𝑎 sec ao quadrado 𝑎𝑥. Assim como as derivadas de seno e cosseno, é importante conhecer esse resultado de cor, mas também estar preparado para derivá-lo quando necessário. Vamos agora dar uma olhada em vários exemplos da aplicação dessas derivadas.

Se 𝑦 é igual a 𝑥 à potência de cinco sen cinco 𝑥, determine d𝑦 por d𝑥.

Aqui temos uma função que é o produto de duas funções deriváveis. Podemos, portanto, usar a regra do produto para nos ajudar a calcular d𝑦 por d𝑥. Isto diz que, para a nossa função 𝑦 é igual a 𝑢 vezes 𝑣, a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é igual a 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥. Vamos deixar 𝑢 ser igual a 𝑥 elevado a cinco e 𝑣 ser igual ao sen cinco 𝑥. Começamos calculando a derivada de 𝑢 em relação a 𝑥. São cinco 𝑥 elevado a quatro. Da mesma forma, como a derivada de sen 𝑎𝑥 é 𝑎 cos 𝑎𝑥, d𝑣 por d𝑥 é igual a cinco cos cinco 𝑥.

Então nós substituímos na fórmula. 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 é 𝑥 elevado a cinco vezes cinco cos cinco 𝑥. E 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥 é sen cinco 𝑥 vezes cinco 𝑥 elevado a quatro. E assim d𝑦 por d𝑥, neste caso, é cinco 𝑥 elevado a cinco vezes cos cinco 𝑥 mais cinco 𝑥 elevado a quatro vezes sen cinco 𝑥. Vamos considerar um exemplo final que envolve alguma manipulação da expressão dada a nós.

Se 𝑦 é igual a dois sen sete 𝑥 mais dois cos sete 𝑥 ao quadrado, encontre d𝑦 por d𝑥.

Há várias maneiras de responder a essa pergunta. Nós poderíamos ver que 𝑦 é uma função composta. É o quadrado de dois sen de sete 𝑥 mais dois cos de sete 𝑥. E poderíamos usar a regra da cadeia para calcular sua derivada. Também poderíamos escrevê-lo como um produto de duas funções e usar a regra do produto. Alternativamente, porém, podemos simplificar isso usando identidades trigonométricas conhecidas. Vamos usar esse terceiro método. E começaremos fatorando dois fora dos parênteses. Isso nos dá 𝑦 é igual a dois ao quadrado vezes o sen de sete 𝑥 mais cos de sete 𝑥 ao quadrado.

Em seguida, procuramos distribuir os parênteses. Multiplicando o primeiro termo em cada parêntese dá sen ao quadrado de sete 𝑥. Multiplicando os termos externos dá sen de sete 𝑥 vezes por cos de sete 𝑥. Multiplicando os termos internos dá cos de sete 𝑥 sen de sete 𝑥. E então multiplicamos os dois últimos termos em cada parêntese. E nós temos cos ao quadrado de sete 𝑥. Agora, podemos simplificar isso um pouco. Sabemos que sen ao quadrado 𝑥 mais cos ao quadrado 𝑥 é igual a um. Bem, isso significa que sen ao quadrado de sete 𝑥 mais cos ao quadrado de sete 𝑥 também deve ser igual a um. E assim substituímos isso por um e agrupamos termos semelhantes. E vemos que 𝑦 é igual a quatro vezes um mais dois sen de sete 𝑥 cos de sete 𝑥.

Você consegue identificar outra identidade aqui? Precisamos usar o inverso da fórmula de ângulo duplo para o seno. É sen de dois 𝐴 é igual a dois sen 𝐴 cos 𝐴. E vamos deixar 𝐴 ser igual a sete 𝑥. E vemos que 𝑦 é igual a quatro vezes um mais sen 14𝑥 ou quatro mais quatro sen 14𝑥. E agora podemos derivar isso com bastante facilidade. A derivada de sen 𝑎𝑥 em relação a 𝑥 é 𝑎 cos 𝑎𝑥. Também usamos a regra da constante que nos permite tirar constantes fora da derivada e nos concentrar em derivar a função de 𝑥 em si. A derivada de quatro é zero. Então d𝑦 por d𝑥 é igual a quatro vezes 14 cos de 14𝑥 que é 56 cos de 14𝑥.

Neste vídeo, aprendemos que podemos aplicar nossa compreensão de derivativos a funções trigonométricas. Também aprendemos que o cálculo relacionado a funções trigonométricas pode ser aplicado quando os ângulos são dados em radianos. E vimos que as derivadas das funções seno, cosseno e tangente são a derivada de sen 𝑎𝑥 é 𝑎 cos 𝑎𝑥, a derivada de cos 𝑎𝑥 é menos 𝑎 sen 𝑎𝑥, e a derivada de tg 𝑎𝑥 é 𝑎 sec quadrado 𝑎𝑥.

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