Vídeo: Encontrando o Comprimento de uma Tangente em um Círculo Utilizando Propriedades de Tangente

Na figura dada, 𝐴𝑍 = 7.5 cm, 𝐵𝑍 = 14.5 cm e 𝐴𝐶 = 20 cm. Dado que todos os lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 são tangentes ao círculo dado, determine o comprimento de 𝐵𝐶.

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Na figura apresentada, 𝐴𝑍 é igual a 7.5 centímetros, 𝐵𝑍 é igual a 14.5 centímetros e 𝐴𝐶 é igual a 20 centímetros. Dado que todos os lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 são tangentes à circunferência apresentada, determina o comprimento de 𝐵𝐶.

Vamos começar por acrescentando os comprimentos que nos deram na questão ao diagrama. Então, temos o comprimento de dois dos lados deste triângulo e estamos à procura de determinar o comprimento de 𝐵𝐶, que é o terceiro lado. Também temos a informação-chave de que os três lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 são tangentes à circunferência apresentada. Vamos pensar sobre o que sabemos acerca dos comprimentos das tangentes desenhadas a pontos exteriores a circunferências.

Aqui está um facto importante. Se dois segmentos de reta com o mesmo ponto exterior são tangentes a uma circunferência, então são congruentes. Na prática, o que isto significa é que os dois segmentos de reta desenhados a partir do ponto 𝐴 e que passam pela circunferência são ambos iguais em comprimento. O mesmo vale para os segmentos desenhados a partir de 𝐵 e aqueles desenhados a partir de 𝐶. Como é que isto nos ajudaria a responder à questão? Bem, lembra-te que queremos determinar o comprimento de 𝐵𝐶. Portanto, no nosso diagrama, precisamos de conhecer o comprimento do segmento de reta rosa e o comprimento do segmento de reta verde.

Utilizando o resultado que acabámos de discutir, na verdade já sabemos o comprimento do segmento de reta rosa. É igual a 𝐵𝑍 que é 14.5 centímetros. Então, precisamos de pensar em como vamos calcular o comprimento do segmento de reta verde. E para fazer isto, adicionarei algumas identificações aos outros dois lados deste triângulo. Então, assim como temos o ponto 𝑍 no lado 𝐴𝐵, agora temos o ponto 𝑋 no lado 𝐴𝐶 e o ponto 𝑌 no lado 𝐵𝐶, que são os pontos em que estas tangentes intersetam a circunferência.

Nós sabemos o comprimento total do lado 𝐴𝐶. Mas queremos saber quanto deste é devido à parte laranja 𝐴𝑋 e quanto é devido à parte verde 𝑋𝐶. Bem, aplicando o mesmo resultado novamente, sabemos que o segmento de reta 𝐴𝑋 é congruente com 𝐴𝑍. E, portanto, é igual a 7.5 centímetros. O segmento de reta 𝐶𝑋 pode, portanto, ser determinado subtraindo 𝐴𝑋 do comprimento de 𝐴𝐶: 20 menos 7.5. Então sabemos que 𝐶𝑋 é 12.5 centímetros.

Aplicando o nosso resultado chave pela terceira vez, sabemos que os dois segmentos desenhados a partir do ponto 𝐶 são congruentes entre si. E, portanto, 𝐶𝑌 é congruente a 𝐶𝑋. 𝐶𝑌 é de 12.5 centímetros. Então, a nossa etapa final neste problema, precisamos de determinar o comprimento de 𝐵𝐶 somando os dois segmentos 𝐵𝑌 e 𝐶𝑌. Então, 𝐵𝐶 é igual a 14.5 mais 12.5. São 27 centímetros.

O resultado-chave que aplicámos três vezes nesta questão é que, se dois segmentos de reta com o mesmo ponto exterior são tangentes a uma circunferência, são congruentes — o que significa que são iguais em comprimento.

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