Vídeo: Encontrando a Taxa de Variação do Raio de uma Circunferência Expandida dada a Taxa de Variação de sua Área Utilizando Taxas Relacionadas

A área de um disco circular está aumentando a 1/5 cm²/s. Qual é a taxa de aumento de seu raio quando o raio é de 6 cm? Use 𝜋 = 22/7 para simplificar sua resposta.

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Transcrição do vídeo

A área de um disco circular está aumentando em um sobre cinco centímetros quadrados por segundo. Qual é a taxa de aumento de seu raio quando o raio é de seis centímetros? Use 𝜋 é igual a 22 sobre sete para simplificar sua resposta.

Vamos nos concentrar na primeira frase neste momento. A área de um disco circular está aumentando a um quinto de um centímetro quadrado por segundo. Este é o dado na questão. Configura o cenário no qual a questão é baseada. Veja se você consegue imaginar como seria esse cenário. Pessoalmente, imagino um ponto preto ficando cada vez maior. Ok, então como vamos passar desta frase, ou da imagem em nossa cabeça, para algo mais matemático.

Bem, vamos definir algumas variáveis ​​começando com a área do disco, que chamaremos de 𝐴 maiúsculo. E o que nos é dito sobre 𝐴? Disseram-nos que está aumentando a um quinto de um centímetro quadrado por segundo. Esta é uma taxa de aumento. A unidade centímetro ao quadrado por segundo dá isso. E sabemos que o caminho certo para pensar sobre as taxas de aumento, ou taxas de variação, matematicamente é o uso de derivadas. A taxa de variação da área é então 𝑑𝐴 por 𝑑𝑡, onde, naturalmente, 𝑡 representa o tempo. E nos dizem que isso é um quinto. Não precisamos adicionar as unidades centímetros quadrados por segundo aqui. Mas você deve se convencer de que faz sentido que a quantidade 𝑑𝐴 por 𝑑𝑡 tenha essas unidades.

Agora vamos para a segunda frase. Qual é a taxa de aumento de seu raio quando o raio é de seis centímetros? Esta frase nos diz o que somos obrigados a encontrar. E novamente, estamos falando sobre a taxa de variação, ou taxa de alteração, de algo, desta vez, o raio do disco. Então, se chamarmos 𝑟 o raio do disco, então a taxa de aumento do raio, que devemos encontrar, é 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡. Bem, na verdade, 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡 é uma função que nos dará a taxa do aumento do raio a qualquer momento 𝑡 ou para qualquer raio 𝑟. Queremos saber apenas o seu valor quando o raio 𝑟 é de seis centímetros, o que corresponde a calcular essa derivada em 𝑟 é igual a seis.

A última frase é apenas simplificar nossa resposta. Então, vamos ignorar isso por enquanto. Recebemos uma taxa, a taxa em que a área aumenta. E nos pedem para encontrar o valor de outra taxa, a taxa na qual o raio aumenta. E essas não são duas taxas selecionadas aleatoriamente, como a taxa na qual os continentes estão se separando e a taxa de aumento de dinheiro em sua conta bancária. Elas são taxas relacionadas. Relacionadas como? Bem, sabemos que a área de um disco circular 𝐴 está relacionada ao raio desse disco 𝑟 pela fórmula 𝐴 igual a 𝜋𝑟 ao quadrado. Este é um ingrediente que falta para resolver esta questão.

Ok, agora que temos os ingredientes, vamos ver se conseguimos encontrar 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡. Fazemos isso usando a regra da cadeia. Recebemos o valor de 𝑑𝐴 por 𝑑𝑡 na pergunta. E é uma boa ideia usar isso em nossa regra da cadeia. Agora a questão é: qual é a outra derivada? Bem, vai ser 𝑑 algo por outra coisa 𝑑. E como resolvemos o que são essas coisas? Bem, do lado esquerdo, temos um 𝑑𝑟 no numerador e não temos um à direita. Portanto, para fingir que são frações no momento, o numerador da segunda derivada deve ser 𝑑𝑟. No denominador, já temos um 𝑑𝑡. Mas precisamos cancelar o 𝑑𝐴 no numerador da primeira derivada no lado direito. Então o denominador é 𝑑𝐴.

Tome um segundo agora para verificar se isso é realmente uma regra da cadeia. E agora estamos prontos para substituir. Nós substituímos um quinto por 𝑑𝐴 por 𝑑𝑡, para encontrar que 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡 é um quinto vezes 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴. Agora, como encontramos 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴, a taxa de variação do raio do disco em relação à área do disco? Bem, nós usamos a relação que temos entre a área 𝐴 e o raio 𝑟. 𝐴 é igual a 𝜋𝑟 ao quadrado. E existem vários métodos que podemos usar para encontrar 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴 dessa relação. Podemos derivar em relação a 𝑟, achando que 𝑑𝐴 por 𝑑𝑟 é dois 𝜋𝑟. E então, poderíamos usar o fato de que 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴, que é o que procuramos, é um sobre 𝑑𝐴 por 𝑑𝑟, para mostrar que 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴 é um sobre dois 𝜋𝑟.

Se você não sabia que 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴 é apenas o inverso de 𝑑𝐴 por 𝑑𝑟 ou, mais geralmente, que 𝑑𝑥 por 𝑑𝑦 é o inverso de 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥, então você poderia encontrar o mesmo resultado derivando 𝐴 igual 𝜋𝑟 ao quadrado implicitamente em relação a 𝐴. 𝑑𝐴 por 𝑑𝐴 é um. E podemos aplicar a regra da cadeia no lado direito. E podemos derivar 𝜋𝑟 ao quadrado em relação a 𝑟, como antes. E agora, é uma questão simples de reorganizar para encontrar 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴. Mais uma vez, é um sobre dois 𝜋𝑟. Então vamos substituir isso em 𝑑𝑟 por 𝑑𝐴. Simplificando, conseguimos um sobre 10𝜋𝑟. Antes de calcularmos essa expressão para 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡 em 𝑟 é igual a seis para encontrar nossa resposta final, vamos primeiro pensar se essa expressão é razoável.

Nós mostramos que a taxa de variação do raio do disco circular 𝑟 em relação ao tempo, quando a área do disco aumenta a uma taxa constante de um quinto de um centímetro quadrado por segundo, é um sobre 10𝜋𝑟. Como o raio 𝑟 do disco deve ser positivo, o um sobre 10𝜋𝑟 também deve ser positivo. A taxa de variação do raio em relação ao tempo é positiva. E assim o raio está aumentando. Espero que isso se encaixe na imagem que temos em mente. Como a área do disco está aumentando, seu raio também deve estar aumentando.

Mas observe que, embora a área esteja aumentando a uma taxa constante de um quinto de um centímetro quadrado por segundo, o raio não está aumentando a uma taxa constante. A taxa na qual o raio está aumentando depende do raio 𝑟. 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡 fica menor à medida que 𝑟 aumenta. E assim, embora o raio esteja aumentando e a borda circular do disco esteja se afastando cada vez mais do centro, a velocidade com que ele o faz está diminuindo. Estritamente falando, não é necessário que você entenda tudo isso para responder à pergunta. Mas é sempre uma boa ideia pensar.

Voltando ao problema em questão, encontramos 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡. Mas o que é necessário é 𝑑𝑟 por 𝑑𝑡 em 𝑟 é igual a seis, o que, se você se lembrar, é a taxa de aumento do raio do disco quando o raio é de seis centímetros. Então vamos limpar algum espaço para substituir. Substituindo seis por 𝑟, obtemos um sobre 10𝜋 vezes seis, que é um sobre 60𝜋. E nos é dito na pergunta para usar a aproximação que 𝜋 é igual a 22 sobre sete. Então fazemos essa substituição. Simplificando multiplicando o numerador e o denominador por sete. E realizando a multiplicação no denominador, obtemos sete sobre 1320.

Mas, sete sobre 1320 o que? Quais são as unidades? Bem, esta é a taxa de variação do raio em relação ao tempo. E o tempo é dado em segundos. E como a área foi dada em centímetros ao quadrado, o raio é dado em centímetros, então temos unidades de centímetros por segundo. Interpretando este resultado no contexto, então, quando a área de um disco circular está aumentando a uma taxa constante de um quinto centímetro quadrado por segundo, a taxa de aumento do raio do disco quando o raio é de seis centímetros é sete sobre 1320 centímetros por segundo. Bem, pelo menos, usando a aproximação que 𝜋 é igual a 22 sobre sete.

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