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Vídeo Pop: Fórmulas Derivadas Através da Geometria

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Fórmulas Derivadas Através da Geometria

16:56

Transcrição do vídeo

Agora que vimos o que significa uma derivada e o que ela tem a ver com as taxas de variação, nosso próximo passo é aprender como calcular esses caras. Como se eu lhe der algum tipo de função com uma fórmula explícita, você poderá encontrar qual é a fórmula para sua derivada. Talvez seja óbvio, mas acho que vale a pena afirmar explicitamente porque isso é algo importante a ser feito. Por que grande parte do tempo de um aluno de cálculo acaba indo para lidar com derivadas de funções abstratas, em vez de pensar em problemas concretos de taxa de variação?

É porque muitos fenômenos do mundo real, o tipo de coisa que queremos usar o cálculo para analisar, são modelados usando polinômios, funções trigonométricas, exponenciais e outras funções puras como essa. Portanto, se você desenvolver alguma fluência com as ideias das taxas de variações para esses tipos de funções abstratas puras. Ela fornece um idioma para falar com mais facilidade sobre as taxas em que as coisas variam em situações concretas que você pode usar o cálculo para modelar.

Mas é muito fácil para esse processo parecer apenas memorizar uma lista de regras. E se isso acontecer, se você tiver essa sensação, também é fácil perder de vista o fato de que as derivadas são fundamentalmente apenas olhar pequenas alterações em alguma quantidade. E como isso se relaciona a uma pequena variação resultante em outra quantidade. Portanto, neste vídeo e no próximo, meu objetivo é mostrar como você pode pensar sobre algumas dessas regras de maneira intuitiva e geométrica. E eu realmente quero encorajá-lo a nunca esquecer que pequenas alterações estão no coração das derivadas.

Vamos começar com uma função simples como 𝑓 de 𝑥 iguais 𝑥 ao quadrado. E se eu lhe perguntasse sua derivada? Ou seja, se você olhar para algum valor 𝑥, como 𝑥 é igual a dois, e compará-lo com um valor um pouco maior, apenas d𝑥 maior. Qual é a alteração correspondente no valor da função, d𝑓? E, em particular, quanto é d𝑓 dividido por d𝑥, a taxa na qual essa função está variando por unidade de variação em 𝑥?

Como primeiro passo para a intuição, sabemos que você pode pensar nessa razão d𝑓 d𝑥 como a inclinação de uma reta tangente ao gráfico de 𝑥 ao quadrado. E a partir disso, você pode ver que a inclinação geralmente aumenta à medida que 𝑥 aumenta. Em zero, a reta tangente é plana e a inclinação é zero. Em 𝑥 igual a um, é algo um pouco mais íngreme. Em 𝑥 é igual a dois, é ainda mais íngreme. Mas olhar para os gráficos geralmente não é a melhor maneira de entender a fórmula precisa de uma derivada. Para isso, é melhor dar uma olhada mais literal no que 𝑥 ao quadrado realmente significa.

E, nesse caso, vamos em frente e imagine um quadrado cujo comprimento lateral seja 𝑥. Se você aumentar 𝑥 com uma pequena alteração, um pouco d𝑥, qual é a variação resultante na área desse quadrado? Essa pequena variação de área é o que d𝑓 significa nesse contexto. É o pequeno aumento no valor de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado causado pelo aumento 𝑥 dessa pequena variação d𝑥. Agora você pode ver que há três novos bits de área neste diagrama, dois retângulos finos e um quadrado minúsculo. Os dois retângulos finos têm comprimentos laterais de 𝑥 e d𝑥. Portanto, eles representam dois vezes 𝑥 vezes d𝑥 unidades da nova área.

Por exemplo, digamos 𝑥 era três e d𝑥 era 0.01. Então essa nova área desses dois retângulos finos seria duas vezes três vezes 0.01, que é 0.06, cerca de seis vezes o tamanho de d𝑥. Esse pequeno quadrado tem uma área de d𝑥 ao quadrado, mas você deve pensar nisso como sendo realmente minúsculo, insignificante. Por exemplo, se d𝑥 fosse 0.01, isso seria apenas 0.0001. E lembre-se de que estou desenhando d𝑥 com um pouco de largura aqui apenas para que possamos vê-lo. Mas lembre-se sempre, em princípio, d𝑥 deve ser pensado como uma quantidade verdadeiramente minúscula. E para essas quantidades realmente minúsculas, uma boa regra geral é que você pode ignorar qualquer coisa que inclua um d𝑥 elevado a uma potência maior que um. Ou seja, uma pequena alteração ao quadrado é uma alteração insignificante.

O que isso nos deixa é que d𝑓 é apenas um múltiplo de d𝑥. E esse múltiplo — dois 𝑥, que você também pode escrever como d𝑓 dividido por d𝑥 — é a derivada de 𝑥 ao quadrado. Por exemplo, se você começasse com 𝑥 é igual a três, e à medida que aumenta 𝑥, a taxa de variação na área por unidade de variação de comprimento adicionada, d𝑥 ao quadrado sobre d𝑥, seria duas vezes três, ou seis. E se você estivesse começando em 𝑥 é igual a cinco, a taxa de variação seria de 10 unidades de área por unidade de variação em 𝑥.

Vamos seguir em frente e tentar uma função simples diferente, 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo. Essa será a visão geométrica das coisas pelas quais eu passei algebricamente no último vídeo. O que é legal aqui é que podemos pensar em 𝑥 ao cubo como o volume de um cubo real cujos comprimentos laterais são 𝑥. E quando você aumenta 𝑥 com uma pequena alteração, um d𝑥 minúsculo, o aumento resultante de volume é o que tenho aqui em amarelo. Isso representa todo o volume em um cubo com comprimentos laterais 𝑥 mais d𝑥 que ainda não está no cubo original, aquele com comprimento lateral 𝑥. É bom pensar neste novo volume como dividido em várias componentes. Mas quase tudo vem dessas três faces quadradas. Ou, dito um pouco mais precisamente, quando d𝑥 se aproxima de zero, esses três quadrados compreendem uma porção cada vez mais próxima de 100% desse novo volume amarelo. Cada um desses quadrados finos tem um volume de 𝑥 ao quadrado vezes d𝑥, a área da face vezes essa pequena espessura d𝑥. Portanto, no total, isso nos dá três 𝑥 ao quadrado d𝑥 de variação de volume.

E, com certeza, há outras lascas de volume aqui, ao longo das bordas, e aquela minúscula no canto. Mas todo esse volume será proporcional a d𝑥 ao quadrado ou d𝑥 ao cubo, então podemos ignorá-los com segurança. Novamente, isso ocorre porque eles serão divididos por d𝑥. E se ainda houver algum d𝑥 restante, esses termos não sobreviverão ao processo de deixar d𝑥 se aproximar de zero. O que isto significa é que a derivada de 𝑥 ao cubo, a taxa na qual 𝑥 ao cubo varia por unidade de variação de 𝑥, é três vezes 𝑥 ao quadrado. O que isso significa em termos de intuição gráfica é que a inclinação do gráfico 𝑥 ao cubo em cada ponto 𝑥 é exatamente três 𝑥 ao quadrado.

E argumentando sobre essa inclinação, deve fazer sentido que essa derivada seja alta à esquerda e depois zero na origem e depois novamente alta à medida que você se move para a direita. Mas apenas pensar nos termos do gráfico nunca teria chegado a uma quantidade precisa de três 𝑥 ao quadrado. Para isso, tivemos que dar uma olhada muito mais direta no que 𝑥 ao cubo realmente significa.

Agora, na prática, você não pensaria necessariamente no quadrado toda vez que tomar a derivada de 𝑥 ao quadrado nem necessariamente pensaria nesse cubo sempre que tomar a derivada de 𝑥 ao cubo. Ambos se enquadram em um padrão bastante reconhecível para termos polinomiais. A derivada de 𝑥 elevado a quatro resulta em quatro 𝑥 ao cubo. A derivada de 𝑥 elevado a cinco é cinco 𝑥 elevado a quatro e assim por diante. Abstratamente, você escreveria isso como a derivada de 𝑥 elevado a 𝑛, para qualquer potência 𝑛, é 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Aqui é o que é conhecido nos negócios como a regra da potência.

Na prática, todos nós rapidamente nos cansamos e pensamos nisso simbolicamente como o expoente pulando na frente, deixando para trás um a menos que ele mesmo. Raramente fazendo uma pausa para pensar nos encantos geométricos subjacentes a essas derivadas. Isso é o que acontece quando eles tendem a cair no meio de cálculos muito mais longos. Mas, em vez de rastrear tudo para padrões simbólicos, vamos tirar um momento e pensar porque isso funciona para potências além de apenas dois e três. Quando você altera essa entrada 𝑥, aumentando-a levemente para 𝑥 mais d𝑥, calculando o valor exato dessa pequena saída envolveria a multiplicação desses termos 𝑛 separados dos termos 𝑥 mais d𝑥. A expansão total seria realmente complicada, mas parte do objetivo das derivadas é que a maior parte dessa complicação pode ser ignorada. O primeiro termo da sua expansão é 𝑥 elevado a 𝑛. Isso é análogo à área do quadrado original ou ao volume do cubo original de nossos exemplos anteriores.

Para os próximos termos da expansão, você pode escolher principalmente 𝑥s com um único d𝑥. Como existem 𝑛 parênteses diferentes dos quais você poderia ter escolhido esse único d𝑥. Isso nos dá 𝑛 termos separados, todos incluindo 𝑛 menos um 𝑥s vezes d𝑥, dando um valor de 𝑥 à potência 𝑛 menos um vezes d𝑥. Isso é análogo ao modo como a maioria da nova área do quadrado veio dessas duas barras, cada uma com área 𝑥 vezes d𝑥. Ou como a maior parte do novo volume no cubo provinha desses três quadrados finos, cada um dos quais com um volume de 𝑥 ao quadrado vezes d𝑥. Haverá muitos outros termos dessa expansão. Mas todos eles serão apenas múltiplos de d𝑥 ao quadrado, para que possamos ignorá-los com segurança.

E o que isso significa é que quase uma parte insignificante do aumento na saída vem de 𝑛 cópias desse 𝑥 elevado a 𝑛 menos um vezes d𝑥. É isso que significa que a derivada de 𝑥 elevado a 𝑛 seja 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. E mesmo assim, como eu disse na prática, você se encontrará realizando essa derivada rápida e simbolicamente, imaginando o expoente pulando para a frente. De vez em quando, é bom dar um passo atrás e lembrar por que essas regras funcionam. Não apenas porque é bonito e não apenas porque ajuda a lembrar que a matemática realmente faz sentido e não é apenas uma pilha de fórmulas para memorizar. Mas porque flexiona esse músculo muito importante de pensar em derivadas em termos de pequenas alterações.

Como outro exemplo, pense na função 𝑓 de 𝑥 igual a um dividido por 𝑥. Agora, por um lado, você pode tentar aplicar cegamente a regra de potência, pois um dividido por 𝑥 é o mesmo que escrever 𝑥 elevado a menos um. Isso envolveria deixar o menos um pular para frente, deixando para trás um a menos que ele, o que é menos dois. Mas vamos nos divertir e ver se podemos raciocinar sobre isso geometricamente, em vez de apenas substituí-lo através de alguma fórmula. O valor um sobre 𝑥 está perguntando qual número multiplicado por 𝑥 é igual a um. Então, aqui está como eu gostaria de visualizá-lo.

Imagine uma pequena poça retangular de água em duas dimensões cuja área é um. E digamos que sua largura seja 𝑥, o que significa que a altura deve ser um sobre 𝑥, pois a área total é um. Portanto, se 𝑥 foi esticado para dois, então essa altura é forçada até a metade. E se você aumentou 𝑥 até três, então o outro lado deve ser reduzido a um terço. Esta é uma boa maneira de pensar sobre o gráfico de um sobre 𝑥, a propósito. Se você pensa nessa largura, 𝑥, da poça como estando no plano 𝑥𝑦. Então a saída correspondente - um dividido por 𝑥, a altura do gráfico acima desse ponto - é qualquer que seja a altura da poça para manter a área de um.

Portanto, com esse visual em mente, para a derivada, imagine aumentar esse valor de 𝑥 em uma quantidade minúscula, em algum d𝑥 minúsculo. Quanto a altura desse retângulo deve mudar para que a área da poça permaneça constante em um? Ou seja, aumentando a largura em d𝑥, adicione uma nova área à direita aqui. Portanto, a poça deve diminuir de altura por um d um sobre 𝑥, de modo que a área perdida desse topo cancele a área adquirida. A propósito, você deve pensar que esse número d um sobre 𝑥 é um valor negativo, já que está diminuindo a altura do retângulo.

E sabe de uma coisa? Vou deixar os últimos passos aqui para você, para fazer uma pausa, refletir e elaborar uma expressão definitiva. E uma vez que você decida o que d de um sobre 𝑥 dividido por d𝑥 deve ser. Quero que você o compare com o que obteria se tivesse aplicado cegamente a regra da potência, puramente simbolicamente, para 𝑥 elevado a menos um. E enquanto eu estou incentivando você a fazer uma pausa e refletir, aqui está outro desafio divertido, se você estiver com vontade. Veja se você consegue raciocinar sobre qual deve ser a derivada da raiz quadrada de 𝑥.

Para terminar, quero abordar mais um tipo de função, funções trigonométricas. E, em particular, vamos nos concentrar na função seno. Portanto, nesta seção, vou assumir que você já está familiarizado com o modo de pensar sobre as funções trigonométricas usando o círculo unitário. O círculo com raio um centrado na origem. Para um determinado valor de 𝜃, como, por exemplo, 0.8, você se imagina andando pelo círculo a partir do ponto mais à direita até percorrer essa distância de 0.8 no comprimento do arco. É o mesmo que dizer que o ângulo aqui é exatamente 𝜃 radianos, pois o círculo tem um raio de um.

Então o que seno de 𝜃 significa é a altura desse ponto acima do eixo 𝑥. E à medida que o seu valor 𝜃 aumenta e você caminha em volta do círculo, sua altura oscila para cima e para baixo entre menos um e um. Então, quando você representa graficamente o seno de 𝜃 versus 𝜃, obtém esse padrão de onda, o padrão de onda por excelência. E só de olhar para este gráfico, podemos começar a sentir a forma da derivada do seno. A inclinação em zero é algo positivo, pois o seno de 𝜃 está aumentando lá. E à medida que avançamos para a direita e o seno de 𝜃 se aproxima de seu pico, essa inclinação desce para zero. Então a inclinação é negativa por um tempo, enquanto o seno está diminuindo antes de voltar a zero à medida que o gráfico seno se estabiliza.

E, à medida que você continua pensando e detalhando, se estiver familiarizado com o gráfico das funções trigonométricas, pode adivinhar que esse gráfico da derivada deve ser exatamente cos de 𝜃, pois todos os picos e vales se alinham perfeitamente com o local onde os picos e vales para a função cosseno devem ser. E, alerta de spoiler, a derivada é de fato o cos de 𝜃. Mas você não está um pouco curioso sobre o porquê exatamente de cos de 𝜃?

Quero dizer, você poderia ter todos os tipos de funções com picos e vales nos mesmos pontos que têm aproximadamente a mesma forma, mas quem sabe? Talvez a derivada do seno possa ter sido algum tipo totalmente novo de função que, por acaso, tem uma forma semelhante. Bem, assim como nos exemplos anteriores, uma compreensão mais exata da derivada requer olhar o que a função realmente representa, em vez de olhar o gráfico da função.

Então, pense novamente nessa caminhada pelo círculo unitário. Tendo atravessado um arco com comprimento 𝜃 e pensando no seno de 𝜃 como a altura desse ponto. Agora, aproxime o ponto do círculo e considere uma leve alteração de d𝜃 ao longo do comprimento de sua circunferência, um pequeno passo em sua caminhada ao redor do círculo unitário. Quanto esse pequeno passo muda o seno de 𝜃? Quanto esse aumento, d𝜃, do comprimento do arco aumenta a altura acima do eixo 𝑥? Bem, ampliado o suficiente, o círculo basicamente parece uma linha reta nesta região. Então, vamos em frente e pense neste triângulo retângulo, onde a hipotenusa desse triângulo retângulo representa a alteração, d𝜃, ao longo do comprimento da circunferência. E esse lado esquerdo aqui representa a alteração de altura, a resultante d seno de 𝜃.

Agora, esse pequeno triângulo é realmente semelhante a esse triângulo maior aqui, com o ângulo que define 𝜃 e cuja hipotenusa é o raio do círculo com o comprimento um. Especificamente, esse pequeno ângulo aqui é exatamente igual a 𝜃 radianos. Agora, pense sobre o que a derivada do seno deve significar. É a razão entre esse d seno de 𝜃, a pequena alteração na altura, dividida por d𝜃, a pequena alteração na entrada da função. E pela imagem, podemos ver que essa é a razão entre o comprimento do lado adjacente ao ângulo 𝜃 dividido pela hipotenusa. Bem vamos ver. Adjacente dividido por hipotenusa, é exatamente isso que significa cos de 𝜃. Essa é a definição do cosseno.

Portanto, isso nos dá duas maneiras realmente agradáveis ​​de pensar sobre como a derivada do seno é cosseno. Um deles está olhando para o gráfico e dando a forma das coisas com base no pensamento sobre a inclinação do gráfico seno em cada ponto. E a outra é uma linha de raciocínio mais precisa, observando o próprio círculo unitário. Para aqueles que gostam de fazer uma pausa e refletir, veja se você pode tentar uma linha de raciocínio semelhante para descobrir qual deve ser a derivada do cos de 𝜃.

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