Vídeo: Introduzindo Gráficos de Equações Lineares ou Retas

Aqui, explicamos equações lineares, representamos gráficos de equações lineares, calculamos o declive ou gradiente e a interseção com O𝑦 , recorrendo a 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ou 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, falaremos sobre equações lineares. Vamos explicar o que queremos dizer quando dizemos equações lineares. Vamos ver alguns exemplos e desenhar alguns gráficos de equações lineares. E então encontraremos ligações entre a aparência dos gráficos e os elementos da própria equação.

Primeiro, vamos pensar numa situação da vida real, que é um exemplo de uma equação linear. Imagina um táxi que cobra uma taxa fixa de três dólares por cada viagem — é basicamente um preço para entrar no táxi — e depois dois dólares por cada milha percorrida nessa viagem. Podemos fazer uma equação linear disto. Se 𝑥 for o número de milhas que viajamos e 𝑦 for o custo total da tarifa em dólares, 𝑦 será igual a duas vezes o número de milhas que dirigimos porque são dois dólares por milha mais a taxa fixa de três dólares que temos para cada viagem.

Agora podemos desenhar um gráfico. Então, primeiro vamos criar uma tabela de valores e depois podemos marcar os pontos. Ora, vamos considerar casos em que o número de milhas está entre zero e dez. Obviamente, poderíamos ir muito mais longe, mas é tudo o que faremos por enquanto. E veremos zero milhas, uma milha, duas milhas, três milhas, quatro milhas e assim por diante.

Portanto, se viajarmos zero milhas, 𝑦 será duas vezes zero mais três; isto é igual a três dólares. Se viajarmos uma milha, 𝑦 será duas vezes um, ou seja dois dólares por essa milha mais os três dólares para entrar no táxi; isto é cinco dólares. Se viajarmos duas milhas, será dois lotes de duas milhas; será quatro dólares mais os três para entrar no táxi é sete dólares. Serão nove dólares por três milhas, onze dólares por quatro milhas, treze dólares por cinco milhas e assim por diante.

Então, o que podes ter percebido é que sempre que adiciono um ao número de milhas em que estamos a viajar, adicionamos dois à tarifa total. Portanto, adiciona outro um ao número de milhas que estamos a viajar aqui, que adiciona dois ao número ou à quantidade de dinheiro que temos que pagar. Então, para calcular para seis milhas, teremos que adicionar dois dólares aqui, o que dará quinze dólares. E podemos preencher o resto da tabela muito mais rapidamente.

Ok, vamos representar tudo isto num gráfico e ver como é. Então, eu desenhei os meus eixos aqui; o meu custo da tarifa é o eixo O𝑦 e o número de milhas que viajamos está no eixo O𝑥. Então, quando 𝑥 é zero, 𝑦 é três; este é o ponto aqui, quando 𝑥 é um, 𝑦 é cinco, quando 𝑥 é dois, 𝑦 é sete e assim por diante. Pelo que posso juntar todos com uma bela linha reta.

E o que podes ver no gráfico de uma reta é que, se estou no início da minha viagem aqui, se percorrer uma milha extra, isso custar-me-á dois dólares extra. Se eu estiver no final da minha viagem e percorrer uma milha extra, ainda me custará dois dólares extra. Portanto, independentemente de eu estar apenas a partir ou se já dei a volta ao mundo duas vezes neste táxi, quero percorrer uma milha extra; esta milha extra vai custar-me dois dólares extra. E este conceito é chamado de declive da reta ou gradiente da reta e é definido como a quantidade que a coordenada em 𝑦 mudaria se eu adicionasse uma unidade à coordenada em 𝑥. E a definição de uma reta é que, não importa onde estejas nessa reta, esse número será sempre o mesmo. O declive da reta não muda, independentemente de quais sejam as coordenadas em 𝑥.

Então, esperamos que tenhas notado que o número pelo qual multiplicamos 𝑥 é o declive ou o gradiente da reta. Agora, vamos pensar sobre este ponto aqui, onde esta reta interseta o eixo O𝑦. Agora, se pensarmos nas coordenadas desse ponto, a coordenada em 𝑥 é zero e a coordenada em 𝑦 é três. Agora, se colocarmos esta coordenada em 𝑥 na nossa equação, obtemos 𝑦 igual a duas vezes zero mais três. Bem, duas vezes zero é obviamente zero. E zero mais três é apenas três.

Agora esse valor também tem um nome especial. Onde a reta interseta o eixo O𝑦 ou qual é a coordenada em 𝑦 quando a coordenada em 𝑥 é zero, esta é chamada de ordenada na origem da reta. Portanto, no nosso exemplo específico, isto representa a tarifa que eu pagaria se viajasse zero milhas e é três dólares. Portanto, desde que a tua equação da reta — onde quer que esteja essa reta — esteja nesta forma 𝑦 seja igual a algo vezes 𝑥 mais algum outro número, podemos dizer instantaneamente como a reta ficará. Conhecemos o declive da reta — por outras palavras, o que está a acontecer com as coordenadas em 𝑦 — à medida que aumentamos a nossa coordenada em 𝑥 uma unidade de cada vez e onde interseta o eixo O𝑦.

Portanto, todas as equações de retas são assim: 𝑦 é igual a um número vezes 𝑥 mais alguma outra coisa. Agora, o que multiplicamos por 𝑥 diz-nos o declive da reta — quão inclinada está a reta — e a ordenada na origem é o outro número, onde interseta o eixo O𝑦. Assim, por exemplo, 𝑦 é igual a três 𝑥 mais sete; sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 aumentaria três. Portanto, esta seria uma reta mais inclinada do que a que estamos a ver. E, neste caso, intersetaria o eixo O𝑦 em sete. Então, relacionando isto de volta ao exemplo do táxi, a sua tarifa por entrar no táxi será de sete dólares neste caso. E cada quilómetro percorrido seria de três dólares.

Então, voltemos ao nosso exemplo original e era um pouco restrito, porque se baseava no mundo real. Por exemplo, não podemos viajar distâncias negativas. Imagine se apanhasse um táxi e dissesse “por favor, volte para casa”. Ora, podes começar aqui a uma distância de zero milhas, o que custaria três dólares. E, em seguida, queres dirigir dez milhas para casa, o que é menos dez milhas porque estás a dirigir para trás. E quando diriges dez milhas, a sua tarifa chega a dezassete dólares negativos. Isto significa que o taxista tem que pagar dezassete dólares. Bem, não acho que este seja um modelo de negócios que dure. Portanto, no mundo real, podemos ser forçados a utilizar parte do gráfico de uma reta, mas, em teoria, desaparecem para sempre nesta direção em 𝑥 e para sempre nesta direção em 𝑥.

Certo, vamos dar uma olhadela nalguns gráficos de mais retas. Então este aqui, interseta o eixo O𝑦 aqui em zero. Então será mais zero. E sempre que aumentamos a nossa coordenada em 𝑥 uma unidade — por exemplo, três a quatro — a coordenada em 𝑦 também está a subir uma unidade, então aqui de três para quatro. Portanto, a equação desta reta é 𝑦 igual a um 𝑥 mais zero. Portanto, o um vem de quanto a coordenada em 𝑦 varia sempre que aumentamos a coordenada em 𝑥 uma unidade e o zero vem de onde interseta o eixo O𝑦.

Agora, aqui está outro gráfico. Novamente interseta o eixo O𝑦 em zero, mas desta vez sempre que aumentamos a nossa coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 aumenta. Portanto, se formos deste ponto para este ponto na reta, a coordenada em 𝑦 subiu dois. Portanto, o declive da reta é dois. Portanto, a equação desta reta é 𝑦 igual a dois 𝑥 mais zero. Na verdade, provavelmente nem nos damos ao trabalho de escrever a parte do mais; apenas escrevemos isto como 𝑦 é igual a dois 𝑥.

Esta reta novamente tem uma ordenada na origem de zero. E agora, quando aumentamos a nossa coordenada em 𝑥 um, a nossa coordenada em 𝑦 aumenta três. Então, isto é 𝑦 igual a três 𝑥. O que achas que este é? Bem, tem uma ordenada na origem de zero, então é mais zero no final. E tem um declive ou um gradiente de quatro positivo, então é 𝑦 igual a quatro 𝑥. E este tem uma ordenada na origem de zero e um declive de cinco, então é 𝑦 igual a cinco 𝑥. Espero que agora estejas a entender isto. Este valor aqui, o multiplicador de 𝑥, diz-nos o quão inclinada esta reta é. Agora, para esta reta, mais uma vez, a ordenada na origem é zero. Portanto, não devemos adicionar nada à equação. Mas sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada em 𝑦 diminui um; é menos um. Portanto, o declive ou o gradiente é menos um. Portanto, isto é 𝑦 igual a menos um 𝑥 mais zero ou apenas é 𝑦 igual a menos 𝑥.

Então esta reta tem ordenada na origem em zero. Sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 diminui duas unidades. Então, o que achas que esta equação será? É esta, é 𝑦 igual a menos dois 𝑥 e podes colocar mais zero, se quiseres. Neste caso, obtive uma ordenada na origem zero novamente; então é mais zero. E agora a minha coordenada em 𝑦 diminui três sempre que a minha coordenada em 𝑥 aumenta um; então isso é 𝑦 igual a menos três 𝑥. E aqui é 𝑦 igual a 𝑥 menos quatro e 𝑦 igual a menos cinco 𝑥. Então, declives negativos ou um múltiplo negativo de 𝑥 e a equação de uma reta será uma reta decrescente da parte superior esquerda para a parte inferior direita. E o tamanho desse número diz-nos o quão acentuada essa reta vai diminuir.

Agora antes de continuarmos. Vamos voltar para a reta 𝑦 igual 𝑥. Agora analisamos valores positivos; vimos valores negativos. E, mas e se houver valores fracionários? Vamos dar uma olhadela nisso. Bem, se 𝑦 igualou a um meio 𝑥, é assim que seria. Sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada em 𝑦 aumenta um meio. Agora isto é difícil de dizer às vezes. Mas se olharmos de muito perto, se eu avançasse dois quadrados, subiria um quadrado inteiro. Isto deve significar que sempre que avanço um está a subir exatamente metade de um quadrado.

E aqui é 𝑦 igual a um quinto 𝑥. Então, sempre que avanço uma unidade, subo um quinto dessa unidade. Novamente, isto não é muito fácil de dizer. Mas podes ver se eu começar aqui cinco quadrados depois — se a minha coordenada em 𝑥 aumentar em cinco — subi um quadrado inteiro. Então, para cada cinco que avanço, subo um. Isso significa que vou cerca de um quinto de cada vez; o meu declive é um quinto positivo.

E o que achamos que é esta reta então? Bem, é necessário avançar três quadrados, aumentando a minha coordenada em 𝑥 três para que eu desça um inteiro. Portanto, sempre que eu avanço um e aumento a minha coordenada em 𝑥 um, devo diminuir a minha coordenada em 𝑦 um terço. Então o declive deste será menos um terço de 𝑥. Portanto, o multiplicador de 𝑥 é o declive. Qualquer que seja o número que multiplique determina o declive desta reta e inclina-se para cima assim ou para baixo assim.

Vamos brincar com a outra coisa, o que estamos a adicionar no final desta equação — a nossa ordenada na origem. Então, é 𝑦 igual 𝑥. Esta reta é paralela a isto, porque sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada em 𝑦 também sobe um. Mas neste caso, eu tenho uma ordenada na origem de dois, então tenho que adicionar dois a esta equação. Então, temos o mesmo declive se um, mas desta vez a nossa ordenada na origem é dois, dois positivo. Esta reta azul. Tem o mesmo declive. Portanto, ainda tem este declive de um. Sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada 𝑦 — em 𝑦 também aumenta um. Mas agora tenho uma ordenada na origem de quatro, então esta será 𝑦 igual a 𝑥 mais quatro.

E esta reta também tem um declive de um, porque sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada em 𝑦 também aumenta um, mas a minha ordenada na origem é menos seis. Então, a minha equação será 𝑦 igual a um vezes 𝑥 ou apenas 𝑦 igual a 𝑥 menos seis.

Ok, aqui está uma para te testares rapidamente a ti mesmo. Qual é a equação desta reta? Pensa no declive; pensa onde interseta o eixo O𝑦. Bem, sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 aumenta dois. E isso acontece em qualquer lugar da reta que estamos a olhar. E também interseta o eixo O𝑦 em menos três, então a ordenada na origem é menos três. Então, o que é que esta fará com a equação da nossa reta? Lembra-te de que o declive é o múltiplo de 𝑥 e a ordenada na origem é o outro número no final, neste caso menos três.

Agora, temos esta. Tenta descobrir qual é a equação desta reta. Bem, interseta o eixo O𝑦 em quatro, quatro positivos, então a ordenada na origem é quatro positivo. E se eu aumentar a minha coordenada em 𝑥 dois, diminuo a minha coordenada em 𝑦 um. Agora, isso significa que sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, o que é uma coisa crucial, a minha coordenada em 𝑦 deve diminuir um meio. Portanto, o declive é menos um meio. Então, isto é menos um meio 𝑥 e a ordenada na origem era quatro, então isso é quatro positivo. 𝑦 é igual amenos um meio 𝑥 mais quatro.

Então, vamos fazer esta pergunta ao contrário. Queremos desenhar o gráfico de 𝑦 igual a três 𝑥 menos cinco. Vê se consegues descobrir como seria este gráfico, desde que tenhas o declive e a ordenada na origem que tens nesta equação. Bem, a ordenada na origem é menos cinco, então vai intersetar o eixo O𝑦 aqui. E o declive é três, três positivo. Então, sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada em 𝑦 aumentará três. Portanto, há um ponto: sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada em 𝑦 aumenta três, então há outro ponto. E podemos continuar a fazer isto: aumenta 𝑥 uma unidade, aumenta 𝑦 três unidades, aumenta 𝑥 uma unidade, aumenta 𝑦 três unidades.

Agora vamos pensar no que vai acontecer à esquerda do eixo O𝑦. Se sempre que aumentar a minha coordenada em 𝑥 um, a minha coordenada em 𝑦 aumentará três. Se eu diminuir a minha coordenada em 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 diminuirá em três. Então diminui um, diminui três. E é assim que o meu gráfico se parece: 𝑦 igual a três 𝑥 menos cinco.

Então, vamos resumir o que aprendemos até agora. A equação de uma reta, está sempre nesta forma 𝑦 é igual a um número de vezes 𝑥 mais ou menos outro número. Agora, alguns de vocês já devem ter ouvido falar disto, como descrito como 𝑦 igual a 𝑥 mais 𝑏. Alguns podem ter ouvido falar disto como 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑐. De facto, deves ter ouvido falar disto de maneiras diferentes. Mas o declive ou gradiente diz-nos se é uma reta a subir ou a descer e quão inclinada é esta reta. E a ordenada na origem ou o valor de 𝑐 onde interseta o eixo O𝑦 diz-nos onde interseta o eixo O𝑦. E lembra-te, se é um declive positivo, esta vai subir assim; se for um declive negativo, desce assim. E a definição do declive é de quanto a coordenada em 𝑦 varia se aumentar a coordenada em 𝑥 um ao longo do gráfico.

Ok, uma questão final antes de terminarmos. Este gráfico representa uma tarifa de táxi em que a coordenada em 𝑦 informa a tarifa em dólares e a coordenada em 𝑥 informa o número de milhas que percorreste. Quero que faças pausa no vídeo e responde a estas três perguntas: quanto é o custo fixo de cada viagem para entrar no táxi? Quanto cobram por milha? E qual é a equação desta reta?

Bem, quando percorremos uma distância de zero, a coordenada em 𝑦 correspondente seria sete. Então, estão a cobrar sete dólares por não acumular milhas. Esse é o custo fixo para cada viagem. Quanto custa por milha? Bem, sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 um e adiciono outra milha, a coordenada em 𝑦 aumenta dois. É dois dólares por milha. E qual é a equação desta reta? Bem, a ordenada na origem que acabámos de calcular é sete, sete positivo e o declive, dois. Com uma ordenada na origem de sete e um declive de dois, isso é 𝑦 igual a dois 𝑥 mais sete.

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