Vídeo: Àrea de Superfície de Prismas

Aprende a calcular a área total da superfície de um prisma desenhando a sua planificação ou considerando as suas faces individualmente. Veremos exemplos que incluem cubos, prismas retangulares e prismas triangulas e discutiremos o facto de as áreas seres apresentadas em unidades quadradas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como calcular a área da superfície de um prisma. Agora, um prisma lembra-se de que é um tipo particular de sólido tridimensional. Tem a propriedade especial de que se o cortares em qualquer ponto ao longo do seu comprimento, a face que vês é sempre constante. Tem o que é referido como uma secção transversal constante. Os exemplos no ecrã aqui, temos um cubo; se o cortares em qualquer ponto do seu comprimento, verás sempre um quadrado; um paralelepípedo, se o cortares em qualquer ponto, verás um retângulo; e o prisma triangular, se o cortares em qualquer ponto, verás esta face triangular aqui.

Agora, o que se quer dizer com a área da superfície de um prisma é a área total de todas as faces do prisma.

Também podes pensar nisso de duas formas diferentes. A primeira talvez, como podes imaginar, se embrulhares um destes prismas, então será a área exata do papel de embrulho que precisarias para cobrir todas as suas faces sem sobreposições e sem lacunas. Ou podes pensar nisso como se fosses desembrulhar um destes prismas e torná-lo bidimensional; então é a área exata de cartão, por exemplo, que precisarias para criar o que chamamos de planificação do prisma.

Portanto, a planificação é o modelo bidimensional que criarias para depois dobrá-lo para construir um destes prismas tridimensionais. Então, vamos ver como calcular a área da superfície de prismas para alguns tipos diferentes.

Então, a nossa primeira questão pede-nos para determinar a área da superfície de um cubo com oito centímetros de comprimento da aresta. Vou responder a esta questão pensando na planificação de um cubo, então precisamos de pensar sobre quais são as diferentes faces que este cubo tem.

Um cubo tem seis faces e são todas quadradas com comprimento de oito centímetros. Existem várias maneiras diferentes de organizar estes seis quadrados quando desenhas a planificação de um cubo, mas talvez o mais comum seja vê-los organizados em forma de cruz, como este aqui.

Se quisesses, poderias desenhar uma planificação como esta num pedaço de papel ou cartolina e recortá-la e, em seguida, dobrá-la e verificar se de facto volta à forma de cubo.

Então, agora sabemos como é a planificação do cubo. Só precisamos de descobrir qual será a área deste cartão. Então, temos seis faces e, no caso do cubo, todas são exatamente iguais, portanto podemos calcular apenas a área de uma e multiplicá-la por seis.

Agora cada uma destas faces é um quadrado e o comprimento da aresta é de oito centímetros, então, na área de um quadrado, vamos multiplicar oito por oito e isso dar-nos-á sessenta e quatro centímetros quadrados. Então, esta é a área de cada uma destas faces quadradas.

Para calcular a área total da superfície, precisamos de multiplicar estes sessenta e quatro por seis, e depois isto dar-nos-á uma resposta de trezentos e oitenta e quatro centímetros quadrados.

Então, desenhar a planificação de qualquer que seja o prisma do nosso interesse é uma maneira realmente útil de nos certificarmos de que podemos visualizar todas as diferentes faces envolvidas e de incluir as áreas de todas as faces nos nossos cálculos.

Apenas uma nota sobre unidades, estamos a olhar para formas 3D, mas estamos a pensar em desdobrá-las em formas bidimensionais. Portanto, as unidades são unidades de área: centímetros quadrados, milímetros quadrados e assim por diante.

A nossa próxima questão é sobre um paralelepípedo ou prisma retangular, e pede-nos para determinar a área da superfície deste paralelepípedo em baixo, que tem dimensões de cinco, doze e três milímetros.

Então poderíamos responder como fizemos na questão do cubo. Poderíamos desenhar a planificação deste paralelepípedo, mas na verdade vou abordar esta questão de uma maneira um pouco diferente. Em vez de desenhar todas as faces, vou apenas imaginar as diferentes faces envolvidos.

Então, um paralelepípedo também tem seis faces, mas ao contrário do cubo, não são todas iguais, porque as medidas são diferentes. No entanto, vêm aos pares e há três pares de faces em que precisamos de pensar: à frente e a parte de trás, que são as mesmas, o topo e a base, e depois à esquerda e à direita.

Então, vou dividir este cálculo em três etapas, onde determino as áreas destes três pares. Então, vou começar com a frente e o verso primeiro. A frente e o verso são retângulos e possuem medidas de cinco milímetros e de três milímetros para a altura.

Então, para estes retângulos, as áreas poderão ser determinadas multiplicando o três e o cinco, e como há dois deles, vou incluir um fator dois também. E isto dá-me uma contribuição de trinta milímetros quadrados para a frente e para trás.

Em seguida, vou pensar no topo e na base do paralelepípedo que são estas faces que marquei a verde. Agora, são retângulos e as medidas para o topo e a base são cinco milímetros e doze milímetros, para multiplicar os dois.

Então, novamente, é o topo e a base, tenho dois deles, então também preciso de multiplicar por dois. Isto dá-me uma contribuição de cento e vinte milímetros quadrados para o topo e a base.

Por fim, preciso de pensar nas faces do paralelepípedo à esquerda e à direita. Estas também são retângulos e as suas medidas são de doze e três milímetros, então vou multiplicar doze por três. E novamente, como no caso de todos os outros pares, há dois deles, então também preciso de fazer o dobro.

E isto dá-me setenta e dois milímetros quadrados para os dois lados. Passo final, quero a área da superfície total, preciso de somar estas áreas que calculei, então trinta mais cento e vinte mais setenta e dois.

E isso dá-me uma área da superfície total para todo o paralelepípedo de duzentos e vinte e dois milímetros quadrados. Então, uma rápida recapitulação do que fizemos, olhámos para os três diferentes pares de faces que tínhamos: a frente e o verso, o topo e a base, e depois os dois lados. E depois calculámos essas áreas e adicioná-mo-las, e tivemos seis faces incluídas no cálculo geral.

A nossa última questão pede-nos para determinar a área da superfície do prisma triangular apresentado. Então, olhando para o diagrama, temos um prisma triangular e é um triângulo retângulo; podemos ver isto a partir da marca no diagrama.

Ora, poderias desenhar uma planificação completa para o prisma triangular ou poderias pensar cuidadosamente sobre quais são as diferentes faces envolvidas. Agora, podes querer tirar um minuto apenas para parares o vídeo e visualizares quantas faces existem e quais as formas de cada uma delas.

Existem cinco faces num prisma triangular. Existem os triângulos retângulos que vemos à frente e nas costas, que são iguais; há um retângulo na base plana deste prisma; há outro retângulo que é este, a face que não podemos ver de lado no prisma; e depois há o lado inclinado, que também é outro retângulo. E precisamos de pensar cuidadosamente sobre as dimensões de cada uma delas.

Então vamos começar com a base. A base como disse é um retângulo e as dimensões da base são três metros e sete metros. Então, para determinar a área desta base retangular, vamos multiplicar três e sete. E isso dá-nos vinte e um metros quadrados como a contribuição da base.

Agora vamos pensar nas faces triangulares à frente e nas costas deste prisma. Então, para o triângulo, fazemos a base multiplicada pela altura e depois dividimos por dois. Para estes triângulos, será três vezes quatro dividido por dois. Mas como há dois deles, à frente e as costas, também precisamos de multiplicar por dois.

Então, esta divisão e esta multiplicação por dois na verdade anulam-se, e ficamos com doze metros quadrados como a contribuição da frente e das costas. Agora vamos pensar na face vertical por trás deste prisma, é a face do lado que realmente não podemos ver.

Esta face é também um retângulo e tem uma altura de quatro aqui, e depois esta dimensão aqui é de sete metros. Então, a área desta face vertical, é um retângulo, é quatro vezes sete, vinte e oito metros quadrados.

Então, isto representa quatro das cinco faces. E a última em que precisamos pensar é esta face inclinada aqui, que estou a marcar a roxo neste momento. Agora, esta também é um retângulo, e podemos ver que uma das suas dimensões é de sete metros, mas precisamos de pensar cuidadosamente sobre qual é a sua outra dimensão, que é este comprimento aqui.

E para fazer isso, precisamos de olhar para o triângulo retângulo de que este comprimento faz parte, portanto o triângulo retângulo à frente deste prisma triangular. Precisas de te lembrar de outro trabalho dentro da matemática. Precisa de te lembrar do teorema de Pitágoras, que nos diz como os comprimentos das arestas num triângulo retângulo estão relacionados entre si.

E se te lembras, o teorema de Pitágoras diz-nos que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa, o lado mais comprido, de modo que é este lado vermelho aqui, é igual à soma dos quadrados dos dois lados mais curtos. Então, neste triângulo, são os três metros e os quatro metros.

E preciso de um pouco de trabalho. Se der uma letra, talvez a letra 𝑥, então posso escrever o que o teorema de Pitágoras me diz acerca deste triângulo. Diz-me que 𝑥 ao quadrado é igual a três ao quadrado mais quatro ao quadrado. Então posso fazer o trabalho para calcular a que 𝑥 é igual a.

Então, três ao quadrado e quatro ao quadrado são nove e dezasseis, e quando os adiciono, tenho vinte e cinco. Se, então, aplicar a raiz quadrada, isso diz-me que 𝑥 é igual a cinco.

Até podes ter conseguido identificar isso sem realmente fazer qualquer trabalho porque três quatro cinco é um exemplo de um terno pitagórico, isto é, um triângulo retângulo onde os comprimentos dos três lados são todos inteiros.

Então, se soubesses disso, poderias ter sido capaz de fazer um pequeno atalho. E, de qualquer maneira, nós descobrimos que o comprimento deste lado é de cinco metros, então agora só precisas de calcular a área desta face final.

Então, fá-lo-ei aqui em baixo. Já agora, estes esboços pequenos não estão à escala. A face inclinada com medidas sete metros e cinco metros, a sua área será sete multiplicada por cinco, ou seja, trinta e cinco metros quadrados para a área daquela face inclinada final.

Certo, o passo final neste cálculo, só preciso de somar as áreas de todas estas faces, a área a superfície total, vinte e um mais doze mais vinte e oito mais trinta e cinco, o que me dá uma resposta final de noventa e seis metros quadrados ou metros quadrados.

Então, para resumir, a área da superfície de um prisma é a área total de todas as faces. Precisas ter certeza de que consideras todas as faces e podes fazer isso desenhando a planificação do prisma ou pode apenas visualizar as diferentes faces e as dimensões, ou talvez possas esboçar todas elas separadamente como fizemos neste exemplo aqui.

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