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Liam usou a divisão sintética para provar que quatro é a raiz do polinômio 𝑓 de 𝑥
igual a dois 𝑥 ao cubo menos nove 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais 12. Usando seu resultado, fatore 𝑓 de 𝑥 em três fatores lineares.
Então, primeiro vamos em frente e entender a divisão sintética que Liam usou. Então ele pegou sua função 𝑓 de 𝑥 e usou os coeficientes e as constantes - dois,
menos nove, um e 12 - e então ele dividiu por quatro para provar que era uma
raiz. E a forma como sabemos que é uma raiz é se dividi em funções uniformemente.
Como há um resto de zero, ela foi uniformemente dividida. Então, quatro seria uma raiz. Então, mesmo que estivéssemos usando estritamente números para essa divisão
sintética, ao dividir por quatro, estamos realmente assumindo nossas funções e
dividindo por 𝑥 menos quatro, porque pensemos a respeito, se estamos dividindo por
𝑥 é igual a quatro, se quisermos mover quatro para a esquerda com o 𝑥, teríamos
que subtrair de ambos os lados da equação e teríamos que 𝑥 menos quatro é igual a
zero.
Então, 𝑥 menos quatro é uma das raízes. E devemos usar o resultado dela para encontrar três fatores lineares. Então, precisamos encontrar os outros dois. Bem, quando ele dividiu pelo 𝑥 menos quatro, temos uma resposta. Como dissemos que zero é o resto, menos três é o número que é constante, menos um é o
coeficiente com 𝑥 e dois é o coeficiente com 𝑥 ao quadrado.
Então ficamos com dois 𝑥 ao quadrado 𝑥 menos três iguais a zero. Então, isso é o que resta depois de dividir nossa função por quatro. Então nossos dois últimos fatores serão feitos a partir disso. Então podemos fatorar isso para encontrar nossos dois últimos fatores. E como é um trinômio avançado porque o coeficiente principal não é um, podemos usar o
método multiplica e divide.
Então, vamos multiplicar o dois com o menos três e obter 𝑥 ao quadrado menos 𝑥
menos seis igual a zero. Então, precisamos encontrar dois números que se multiplicam para ser menos seis e
somados dão menos um; isso seria menos três e dois. Agora a parte da divisão vem onde precisamos dividir pelo dois que nós multiplicamos
lá atrás, nós o escrevemos bem embaixo deles.
E depois simplificamos. Três meios não simplificam, mas dois meios simplificam. Dois sobre dois é igual a um. Agora não o deixamos como 𝑥 menos três meios. Nós pegaremos o dois e o traremos com o 𝑥, fazendo com que nossos outros dois
fatores sejam dois 𝑥 menos três e 𝑥 mais um.
Então, aqui estão nossos fatores lineares. Não importa a ordem em que os escrevemos, temos 𝑥 menos quatro, dois 𝑥 menos três e
𝑥 mais um.
