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Integrais Impróprios: Limites de Integração Infinitos
Neste vídeo, aprenderemos como calcular integrais impróprios, onde um ou mais dos
pontos-extremidade se aproximam de infinito. Veremos alguns exemplos de como podemos resolver integrais desta forma.
Agora, vamos começar por considerar a seguinte função 𝑓 de 𝑥 e vamos considerar um
integral desta função 𝑓 de 𝑥 com um limite infinito; portanto, o integral de 𝑎 a
infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. E seja 𝑎 um ponto no nosso eixo O𝑥, digamos aqui. Então, este integral representa a área entre 𝑓 de 𝑥 e o eixo O𝑥 de 𝑎 até
infinito. Agora, isto realmente não parece fazer sentido. Como é que infinito pode ser um limite quando não é um número? E como é que podemos determinar uma área que segue para infinito? Agora, embora isto não pareça fazer sentido, é de facto possível calcular certos
integrais desta forma. E fazemo-lo utilizando limites.
A fórmula que utilizamos para resolver este integral diz-nos que este integral é
igual ao limite quando 𝑡 tende para infinito do integral de 𝑎 a 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em
ordem a 𝑥, para 𝑡 maior que 𝑎. É importante observar que isto só funciona em certos casos. Primeiramente, exigimos que o integral de 𝑎 a 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥
exista. Então, este é o integral da nossa fórmula. Também exigimos que o limite deste integral para 𝑡 a tender para infinito, também
exista. Então, este é o limite da nossa fórmula. Agora, podemos dizer que, se o integral e o limite existem, podemos dizer que o
integral com um limite infinito, que é o integral que vamos determinar,
converge. E se o integral não existe ou o limite não existe, então podemos dizer que o nosso
integral com limite infinito diverge. Apenas para recapitular, podemos dizer que o nosso integral de 𝑎 a infinito de 𝑓 de
𝑥 em ordem a 𝑥 converge se existe e é igual a uma constante real 𝑘. E o integral de 𝑎 até infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 diverge se não existir.
Vamos agora ver um exemplo de um integral desta forma.
O integral de um até infinito de um sobre 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥 é
convergente. Para o que converge?
Nesta questão, somos informados de que este integral é convergente. E isto diz-nos que este integral resulta numa constante. Podemos descobrir qual é essa constante utilizando a fórmula a seguir, que nos diz
que o integral de 𝑎 a infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando
𝑡 tende para infinito do integral de 𝑎 a 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Agora, se olhar para o nossa integral, podemos ver que 𝑎 é igual a um e 𝑓 de 𝑥 é
igual a um sobre 𝑥 ao quadrado. Podemos substituir estes dois na nossa fórmula. E obtemos que o integral é igual ao limite quando 𝑡 tende para infinito do integral
de um a 𝑡 de um sobre 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥.
Podemos começar por determinar este integral. Podemos reescrever um sobre 𝑥 ao quadrado como 𝑥 elevado a menos dois. E a seguir, podemos utilizar a regra das potências para a integração. Aumentamos o expoente uma unidade e depois dividimos pelo novo expoente. Aumentar o expoente uma unidade dá-nos 𝑥 elevado a menos um. E a seguir, dividimos pelo novo expoente. Então, é menos um. E não devemos esquecer os nossos limites 𝑡 e um. Agora, dividir por menos um é o mesmo que multiplicar por menos um. E 𝑥 elevado a menos um é um sobre 𝑥. Então, podemos reescrever 𝑥 elevado a menos um como menos um sobre 𝑥.
Agora, podemos substituir os nossos limites. Como 𝑡 é nosso limite superior, quando o substituímos, o sinal permanece o
mesmo. Temos menos um sobre 𝑡. No entanto, como um é o nosso limite inferior, devemos alterar o sinal quando o
substituímos, dando-nos menos menos um sobre um. Simplificando isto, podemos ver que o nosso integral é igual a um menos um sobre
𝑡. E, portanto, podemos substituir isto no nosso limite. E agora, temos que o integral de um a infinito de um sobre 𝑥 ao quadrado em ordem a
𝑥 é igual ao limite quando 𝑡 tende para infinito de um menos um sobre 𝑡.
Agora, podemos dividir este limite utilizando regras dos limites. Temos que o limite de uma diferença de funções, portanto 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥, é
igual à diferença dos limites das funções, ou seja, o limite de 𝑓 de 𝑥 menos o
limite de 𝑔 de 𝑥. Podemos aplicar isto ao nosso limite para dizer que é igual ao limite quando 𝑡 tende
para infinito de um menos o limite quando 𝑡 tende para infinito de um sobre 𝑡. Agora, como um não depende de 𝑡, o limite quando 𝑡 tende para infinito é
simplesmente um. E podemos considerar o limite quando 𝑡 tende para infinito de um sobre 𝑡. Como 𝑡 tende para infinito, 𝑡 fica cada vez maior e maior e maior. Portanto, o inverso de 𝑡 ou um sobre 𝑡 está a aproximar-se cada vez mais de
zero. E assim, podemos dizer que o limite quando 𝑡 tende para infinito de um sobre 𝑡 é
igual a zero. E aqui chegamos à nossa solução, que é o integral de um a infinito de um sobre 𝑥 ao
quadrado em ordem a 𝑥 converge para — e, portanto, é igual a — um.
Em seguida, podemos levar esta fórmula para calcular integrais com limite infinito um
passo adiante. Vamos editá-la um pouco para que possamos calcular integrais de uma forma
ligeiramente diferente. Suponhamos que tínhamos uma função 𝑓 de 𝑥, que se parece com isto. E suponha que nos seja pedido que determinemos o integral de menos infinito até 𝑎 de
𝑓 de 𝑥. Agora, 𝑎 pode ser qualquer ponto no nosso eixo O𝑥. Mas vamos supor que está aqui. Agora, este integral pede-nos para determinar a área entre 𝑓 de 𝑥 e o eixo O𝑥 de
𝑎 até menos infinito. Isto é muito semelhante aos integrais que vão para mais infinito. Às vezes, o seu integral pode convergir e, às vezes, pode divergir. Nos casos em que converge, podemos dizer que é igual ao limite quando 𝑡 tende para
menos infinito do integral de 𝑡 a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 para 𝑡 menor que
𝑎.
Agora, esta fórmula funciona de forma muito, muito semelhante à que vimos
anteriormente. A principal diferença é que é o nosso limite inferior que é infinito e é menos
infinito. Fora isto, esta fórmula funciona de forma muito, muito semelhante à anterior.
Vamos agora ver um exemplo de como esta funciona.
O integral de menos infinito a zero de dois elevado a 𝑟 em ordem a 𝑟 é
convergente. Para o que converge?
Agora conhecemos uma fórmula para calcular integrais desta forma. Diz-nos que o integral de menos infinito a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao
limite quando 𝑡 tende para menos infinito do integral de 𝑡 a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em
ordem a 𝑥. No nosso caso, podemos ver que 𝑎 é igual a zero. Na verdade, estamos a integrar em ordem a 𝑟 em vez de em ordem a 𝑥. Portanto, a nossa função 𝑓 de 𝑥, ou no nosso caso, 𝑓 de 𝑟, é dois elevado a
𝑟. Podemos substituir estes valores na nossa fórmula. Temos agora que o integral de menos infinito a zero de dois elevado a 𝑟 em ordem a
𝑟 é igual ao limite quando 𝑡 tende para menos infinito do integral de 𝑡 a zero de
dois elevado a 𝑟 em ordem a 𝑟. Vamos começar por determinar esta integral.
Podemos considerar a primitiva. Se tentarmos derivar dois elevado a 𝑟 em ordem a 𝑟, obteremos o logaritmo natural
de dois multiplicado por dois elevado a 𝑟. Como o logaritmo natural de dois é uma constante, podemos dividi-lo nos dois membros
e colocá-lo dentro da derivada. E obtemos que a derivada de dois elevado a 𝑟 do logaritmo natural de dois é igual a
dois elevado a 𝑟. E então, aqui, determinamos a primitiva de dois elevado a 𝑟. É dois elevado a 𝑟 sobre o logaritmo natural de dois.
E podemos utilizar isto para dizer que o integral de 𝑡 a zero de dois elevado a 𝑟
em ordem a 𝑟 é igual a dois elevado a 𝑟 sobre o logaritmo natural de dois de 𝑡 a
zero. Como zero é o limite superior, quando o substituímos, o sinal permanece o mesmo,
dando-nos dois elevado a zero sobre o logaritmo natural de dois. E como 𝑡 é o limite inferior, quando o substituímos, devemos alterar o sinal,
dando-nos menos dois elevado a 𝑡 sobre o logaritmo natural de dois. Como qualquer coisa elevado a zero é um, podemos reescrever para utilizar a potência
de zero como um.
Portanto, calculamos que este integral é igual a um sobre o logaritmo natural de dois
menos dois elevado a 𝑡 sobre o logaritmo natural de dois. E podemos substituir este valor pelo nosso integral de volta ao nosso limite. Podemos utilizar as propriedades dos limites para dividir este limite. Temos que o limite de uma diferença de funções seja igual à diferença dos limites das
funções, dando-nos que o nosso limite é igual ao limite quando 𝑡 tende para menos
infinito de um sobre o logaritmo natural de dois menos o limite como 𝑡 tende para
menos infinito de dois elevado a 𝑡 sobre o logaritmo natural de dois.
Agora, no nosso primeiro limite aqui, estamos a assumir o limite de um sobre o
logaritmo natural de dois, que não depende de 𝑡. Portanto, este limite é simplesmente igual a um sobre o logaritmo natural de
dois. Podemos aplicar outra propriedade dos limites no segundo limite. E isto é que o limite de um quociente de funções é igual ao quociente do limite de
funções. Agora, no denominador aqui, estamos a assumir o limite de uma função constante. Portanto, o denominador é simplesmente igual ao logaritmo natural de dois. No numerador, temos o limite em que 𝑡 tende para menos infinito de dois elevado a
𝑡. Aqui, 𝑡 está a ficar cada vez mais negativo. Portanto, dois elevado a 𝑡 estará cada vez mais próximo de zero. E assim, podemos dizer que o limite quando 𝑡 tende para menos infinito de dois
elevado a 𝑡 deve ser zero. Aqui, chegamos à nossa solução: o integral de menos infinito a zero de dois elevado a
𝑟 em ordem a 𝑟 converge para — e é, portanto, igual a — um sobre o logaritmo
natural de dois.
Em seguida, combinaremos as duas fórmulas que vimos neste vídeo até agora para formar
uma terceira fórmula. Utilizaremos a propriedade da integração que nos diz como integrar uma função em
integrais adjacentes, o que nos diz que o integral de 𝑎 a 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a
𝑥 é igual ao integral de 𝑎 a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 mais o integral de 𝑐 a
𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. O que esta fórmula nos diz é que, se estivermos a tentar determinar a área entre 𝑓
de 𝑥 e o eixo O𝑥 entre dois pontos 𝑎 e 𝑏, esta área será igual à soma das áreas
entre 𝑓 de 𝑥 e o eixo O𝑥 entre 𝑎 e 𝑐 e 𝑐 e 𝑏.
Vamos considerar o integral de menos infinito a infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a
𝑥. Se tivermos 𝑓 de 𝑥, como apresentado aqui, este integral representa a área entre 𝑓
de 𝑥 e o eixo O𝑥, de menos infinito a mais infinito. E utilizando a propriedade de integrais em intervalos adjacentes, podemos escolher
qualquer valor 𝑐 no eixo O𝑥. E o nosso integral de menos infinito a mais infinito será igual à soma dos integrais
de menos infinito a 𝑐 e de 𝑐 a mais infinito, dando-nos a seguinte fórmula, que é
o integral de menos infinito a mais infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao
integral de menos infinito a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 mais o integral de 𝑐 a
mais infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥.
Agora, conhecemos fórmulas para calcular estes dois integrais. Podemos utilizá-los aqui para dizer que o integral de menos infinito a mais infinito
de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑠 tende para menos infinito do
integral de 𝑠 a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 mais o limite quando 𝑡 tende para
infinito do integral de 𝑐 a 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. E aqui, 𝑠 deve ser menor que 𝑐 e 𝑡 deve ser maior que 𝑐. Aqui, alteramos 𝑡 do primeiro limite para um 𝑠 para evitar confusão, pois um dos
limites tende para menos infinito e o outro para mais infinito. E observe também que 𝑐 pode ser qualquer número real. Podemos utilizar esta fórmula para nos ajudar a resolver o seguinte problema.
O integral entre menos infinito e mais infinito de 𝑥 multiplicado por 𝑒 elevado a
menos 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥 é convergente. Para o que converge?
Temos uma fórmula que pode nos ajudar a calcular integrais desta forma. A fórmula diz-nos que o integral de menos infinito a mais infinito de 𝑓 de 𝑥 em
ordem a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑠 tende para menos infinito do integral de 𝑠 a
𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 mais o limite quando 𝑡 tende para mais infinito do
integral de 𝑐 a 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥, onde 𝑐 pode ser qualquer número
real. Agora, no nosso caso, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 multiplicado por 𝑒 elevado a menos 𝑥 ao
quadrado. Então, podemos substituir isto na nossa fórmula. Agora, podemos escolher 𝑐 como qualquer número real. Vamos escolher 𝑐 ser igual a zero. No entanto, pode escolher qualquer valor de 𝑐 que desejar.
Vamos agora tentar resolver os nossos integrais. E podemos fazê-lo tentando determinar a primitiva de 𝑥 multiplicado por 𝑒 elevado a
menos 𝑥 ao quadrado. Notamos que a derivada de 𝑒 elevado a menos 𝑥 ao quadrado é igual a menos dois 𝑥𝑒
elevado a menos 𝑥 ao quadrado. Agora, podemos dividir os dois membros desta equação pelo termo constante menos
dois. E obtemos isto. No primeiro membro, temos um termo constante a multiplicar por uma derivada. Utilizando a regra da derivada para multiplicação escalares, podemos mover menos um
meio para dentro da derivada. E assim, determinamos a nossa primitiva de 𝑥 multiplicada por 𝑒 elevado a menos 𝑥
ao quadrado. É menos um meio 𝑒 elevado a menos 𝑥 ao quadrado.
Utilizando esta primitiva, podemos calcular os integrais dentro dos nossos
limites. Em seguida, podemos substituir os nossos limites superior e inferior. Obtivemos o limite quando 𝑠 tende para menos infinito de menos um meio multiplicadp
por 𝑒 elevado a menos zero ao quadrado menos menos um meio multiplicado por 𝑒
elevado a menos 𝑠 ao quadrado. Além disso, o limite quando 𝑡 tende para mais infinito de menos um meio multiplicado
por 𝑒 elevado a menos 𝑡 ao quadrado menos menos um meio multiplicado por 𝑒
elevado a menos zero ao quadrado. Como 𝑒 elevado a menos zero ao quadrado é simplesmente 𝑒 elevado a zero, que é
apenas um, os termos menos um meio multiplicado por 𝑒 elevado a menos zero ao
quadrado é simplesmente menos um meio. E agora, podemos resolver os dois sinais negativos que nos darão um sinal
positivo.
Em seguida, podemos utilizar uma das propriedades dos limites, o que nos diz que o
limite de uma soma de funções é igual à soma dos limites das suas funções. E assim, somos capazes de dividir os nossos limites desta maneira. Aqui tem dois limites de termos constantes. Portanto, estes limites são simplesmente iguais a este termo constante. O primeiro sendo menos um meio e o segundo sendo apenas um meio. Portanto, quando adicionarmos estes dois termos, estes serão anulados um com o
outro. Agora, precisamos de nos preocupar com estes dois limites restantes. Vamos considerar o da direita primeiro.
À medida que 𝑡 aumenta e aumenta, menos 𝑡 ao quadrado fica cada vez maior, mas no
sentido negativo. Portanto, 𝑒 elevado a menos 𝑡 ao quadrado estará cada vez mais próximo de zero. E assim, podemos dizer que o limite quando 𝑡 tende para infinito de menos um meio 𝑒
elevado a menos 𝑡 ao quadrado é igual a zero. Da mesma forma, à medida que 𝑠 aumenta cada vez mais no sentido negativo, 𝑠 ao
quadrado fica cada vez maior no sentido positivo. E assim, menos 𝑠 ao quadrado ficará cada vez maior no sentido negativo. E quando isso acontece, 𝑒 elevado a menos 𝑠 ao quadrado se aproxima cada vez mais
de zero. Portanto, este limite também é igual a zero.
Como menos um meio e mais um meio se anularam e estes dois limites são iguais a zero,
podemos dizer que o integral de menos infinito a mais infinito de 𝑥 multiplicado
por 𝑒 elevado a menos 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥 converge para — e é, portanto,
igual a — zero.
Vimos agora uma variedade de exemplos de como calcular limites com limites
infinitos. Vamos recapitular alguns pontos principais deste vídeo.
Pontos chave
O integral de 𝑎 ao infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑡
tende para infinito do integral de 𝑎 a 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥, onde 𝑡 é
maior que 𝑎. O integral de menos infinito a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando
𝑡 tende para menos infinito do integral de 𝑡 a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥, onde
𝑡 é menor que 𝑎. E o integral de menos infinito a mais infinito de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao
limite quando 𝑠 tende para menos infinito do integral de 𝑠 a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em
ordem a 𝑥 mais o limite em que 𝑡 tende para infinito positivo do integral de 𝑐 a
𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥, onde 𝑐 é qualquer número real. E um integral com um limite infinito converge se o limite existe e diverge, se não
existir.
