Vídeo: Identificando se uma Determinada Série Geométrica é Convergente ou Divergente

A série 884 + 884/9 + 884/81 + _ é convergente ou divergente?

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Transcrição do vídeo

A série 884 mais 884 sobre nove mais 884 sobre 81 e assim por diante é convergente ou divergente?

Bem, primeiro, vamos pensar sobre a série. O nosso primeiro termo é 884, o segundo termo é 884 sobre nove, e o terceiro termo é 884 sobre 81. Bem, eu poderia reescrever o primeiro termo como 884 sobre um, e depois podemos reparar que o denominador está a ser multiplicado por nove. Um vezes nove é nove. Nove vezes nove é 81. Bem, este é basicamente o padrão que se tem quando está perante uma série geométrica.

Se chamarmos o nosso primeiro termo 𝑎, então podemos ver que o nosso primeiro termo é 884 sobre um ou apenas 884, e a razão 𝑟, mas estamos a multiplicar cada denominador por nove. Então, na verdade, estamos a multiplicar cada termo por um sobre nove, um nono. Então, temos uma série geométrica com o primeiro termo de 884 e uma razão de um nono.

Agora, a palavra convergente neste contexto significa que se somássemos um número infinito de termos nesta série, esta soma não excederia um certo valor. E a palavra divergente neste contexto significa que se somarmos um número infinito de termos na nossa série, esta soma seria cada vez maior e maior quanto mais termos adicionássemos. Então, estamos interessados em somar termos de séries. Agora, se tivermos 𝑛 termos e os somarmos nesta série geométrica, a soma de 𝑛 termos 𝑆𝑛 é igual ao primeiro termo 𝑎 vezes um menos a razão 𝑟 elevada a 𝑛 sobre um menos a razão.

No nosso caso, a soma de 𝑛 termos será 884 vezes um menos um nono elevado a 𝑛 sobre um menos um nono. Bem, um menos um nono é oito nonos. O denominador de oito nonos, significa o denominador dividido por oito nonos que podemos reorganizar assim. Agora, nove vezes 884 é 7956. E o 7956 e o oito simplificam-se também. Então a soma de 𝑛 termos é 1989 vezes um menos um nono elevado a 𝑛 sobre dois.

E a grande questão é o que acontece quando 𝑛 tende para infinito à medida que obtemos um número infinito de termos na nossa série, qual seria a soma no infinito? Bem, quanto mais vezes multiplicarmos um nono por si, mais próximo de zero é o resultado. Então, neste termo aqui, como 𝑛 vai para infinito, vai tornar-se cada vez mais e mais próximo de zero. Então, este termo aqui um menos zero é apenas um. E a nossa soma para infinito vai aproximar-se mais e mais de 1989 sobre dois. Isto significa que vai ser uma série convergente.

Logo, esta é a nossa resposta, série convergente. Agora, outra maneira de ver isto com séries geométricas é apenas pensar sobre o valor de 𝑟. Por causa da forma desta soma de 𝑛 termos de uma série geométrica, se 𝑟 estiver entre menos um e um, então será definitivamente uma série convergente. Mas se 𝑟 for menor que menos um ou 𝑟 for maior que um, então será divergente.

De facto, se 𝑟 for igual a um, então também será divergente. E vai ser uma soma oscilante se 𝑟 for igual a menos um. Como dependerá do número de termos que utilizar, considerará um termo e, em seguida, subtrairá o mesmo termo, adicionará esse termo e subtrairá o mesmo termo. De qualquer forma, neste caso, 𝑟 está claramente entre menos um e um, por isso é uma série convergente.

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