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Vídeo da aula: Equações logarítmicas com bases diferentes Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações logarítmicas que envolvem logaritmos com bases diferentes.

17:54

Transcrição do vídeo

Nesta aula, aprenderemos como resolver equações logarítmicas que envolvem logaritmos com bases diferentes. Portanto, após esta aula, deverá ser capaz de determinar um conjunto de soluções a partir de uma equação que contém logaritmos com bases diferentes.

E podemos ver aqui qual é a base de um logaritmo. Então, temos aqui a base e o argumento registados. No entanto, antes de começarmos a resolver as nossas equações logarítmicas, há uma coisa que queremos recapitular. E é como mudamos a base de um logaritmo. Bem, vamos pensar sobre o que temos aqui, e é quando procuramos mudar a base de um logaritmo.

Então, temos logaritmo na base 𝑎 de 𝑏. Mas o que temos é a situação ou uma fórmula aqui que nos ajuda a mudar isto para um logaritmo com qualquer base que quisermos. E isto é, se tivermos logaritmo na base 𝑎 de 𝑏, isto pode ser igual ao logaritmo na base 𝑥 de 𝑏 sobre log na base 𝑥 de 𝑎, onde a base pode ser qualquer coisa que quisermos. E podemos ver como é que isto é útil numa segunda causa, vou mostrar um exemplo. Bem, vamos dar uma olhadela neste exemplo para ver como é que isto se torna útil.

Bem, se temos logaritmo na base nove de 27, podemos reescrever isto utilizando a fórmula que temos no primeiro membro. Então, isto torna-se log de base algo de 27 sobre log de base algo de nove. E temos algo porque cabe a nós decidir o que será útil. Bem, se dermos uma olhadela em 27 e nove, podemos ver que, de facto, ambos são três elevado a algo. Então, temos três elevado a três ou três ao quadrado. Portanto, poderemos utilizar três como a nossa base, porque isto pode tornar-se muito útil quando dermos uma olhadela numa das nossas regras dos logaritmos brevemente para realmente simplificar o que temos aqui.

Então, o que isto nos dará é log de base três de três ao cubo sobre log de base três de três ao quadrado. E agora, obviamente, mudámos a base do nosso logaritmo aqui. Mas o que eu quero fazer é realmente mostrar como simplificaremos isto. Fazemos isto utilizando as nossas regras dos logarítmicos. E as regras dos logaritmos que vamos utilizar são logaritmos de base 𝑎 de 𝑚 elevado a 𝑛 igual a 𝑛 logaritmo de base 𝑎 de 𝑚. E também, log de base 𝑎 de 𝑎 é igual a um. Bem, utilizando a primeira regra, obtemos três logarítmico de base três de três sobre dois logaritmo de base três de três.

Bem, então, se utilizar a segunda regra, vemos que log de base três de três será apenas um. Então, temos três multiplicado por um sobre dois multiplicado por um, o que nos dará três sobre dois. Então, o que fizemos foi mostrar como alterámos a base de um logaritmo para nos ajudar a simplificar, porque mostrámos que o log de base nove de 27 seria igual a três sobre dois.

Ok, ótimo. Então, agora recapitulámos algumas das habilidades de que precisaremos para realmente resolver as nossas equações. Vamos continuar e ver alguns exemplos de como resolvemos equações utilizando a mudança de base de um logaritmo.

Determine o conjunto-solução de log de base três de 𝑥 igual a log de base nove de quatro no conjunto dos números reais.

Então, para resolver este problema, o que vamos fazer é realmente mudar a base do nosso logaritmo. E fazemos isto utilizando esta fórmula aqui, que é log de base 𝑎 de 𝑏 igual a log de base 𝑥 de 𝑏 sobre log de base 𝑥 de 𝑎. E no nosso problema, vamos mudar apenas a base do logaritmo no segundo membro da equação. E isto porque vamos mantê-lo como log de base três no primeiro membro, porque é para isso que vamos mudar o número da base com o nosso logaritmo à direita.

Bem, quando fazemos isto, obtemos log de base de três de 𝑥 igual a log de base de três de quatro sobre log de base de três de três ao quadrado. E o que eu fiz aqui foi realmente mudar o nosso nove para três ao quadrado porque esta, de facto, é a razão pela qual queríamos ter a base três. E isto porque podemos realmente utilizar uma das nossas regras dos logaritmos ou duas das nossas regras de logaritmos para nos ajudar a simplificar.

Bem, a primeira regra que vamos utilizar é que log de base 𝑎 de 𝑚 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 log de base 𝑎 de 𝑚. Então, vamos colocar logaritmo de base três de 𝑥 igual a logaritmo de base três de quatro sobre dois logaritmo de base três de três. Então, agora o que fazemos é aplicar outra regra dos logaritmos, que nos diz que log de base 𝑎 de 𝑎 é igual a um.

E quando fazemos isto, obtemos log de base de três de 𝑥 é igual a log de base de três de quatro sobre dois. Isto porque tínhamos dois multiplicados por um, porque logarítmico de base de três era um. Então, agora o que podemos fazer é multiplicar cada membro por dois. E quando fazemos isto, obtemos dois log de base de três de 𝑥 igual a log de base de três de quatro.

Bem, agora, se realmente aplicarmos a nossa primeira regra, mas ao contrário, podemos reorganizar o primeiro membro para ser log de base três de 𝑥 ao quadrado igual a log de base três de quatro. E a razão pela qual queremos fazer isto é porque agora o que podemos fazer é igualar os nossos argumentos, porque vemos que temos log de base três e depois de 𝑥 ao quadrado e log de base três de quatro. Portanto, quando fazemos isto, obtemos 𝑥 ao quadrado igual a quatro. E a seguir, quando calcularmos a raiz quadrada disto, obteremos 𝑥 igual a dois.

Mas pode pensar: “Bem, espera aí! E o valor negativo, porque não devemos ter menos dois ou dois? ” Bem, na verdade, não estamos interessados no valor negativo. E isto porque o que sabemos é que o argumento de um logaritmo deve ser positivo e não igual a um. E como procuramos determinar 𝑥, que é, de facto, o argumento do logaritmo no primeiro membro, não podemos ter um valor negativo. Portanto, podemos dizer que o conjunto-solução da nossa equação será dois.

Ok, ótimo. Então esta é a nossa primeira equação resolvida. Mas aqui, mencionámos algo. Mencionámos que o argumento de um logaritmo deve ser positivo e não igual a um. Mas porquê isso? Bem, vamos dar uma olhadela rápida. Então, como dissemos, se temos logaritmo de base 𝑎 de 𝑏, então diríamos que 𝑏 deve ser positivo e não igual a um. Mas porquê isso? E pode realmente aplicar um pouco de lógica e dizer: “Bem, espere um pouco. Se logarítmico de base 𝑎 de 𝑏 for igual a 𝑥, então sabemos que 𝑎 elevado a 𝑥 será igual a 𝑏. ”

Bem, 𝑏 pode ser claramente negativo. Isto porque aqui está um exemplo que mostra isto. Se tivermos menos três ao cubo, isto dar-nos-á um resultado de menos 27. Então, porque é que 𝑏 não pode ter um valor negativo? Bem, na verdade, não é o argumento que precisamos de olhar. É a base, porque este é o nosso fator limitante e dá-nos o nosso domínio dos valores possíveis do nosso argumento. Bem, de facto, sabemos que uma base não pode ser negativa. E o que vamos fazer é utilizar este exemplo para destacar o porquê.

Então, se tivéssemos logaritmo de base menos dois de 𝑥 igual a um meio, bem, o que teríamos se colocássemos na nossa forma expoente é menos dois elevado a um meio igual a 𝑥. Então, se quiséssemos resolver isto em, teríamos que obter a raiz quadrada de menos dois. E isto porque a potência de um meio é o mesmo que raiz quadrada. Então, teríamos a raiz quadrada de menos dois igual a 𝑥, que sabemos que não está definida.

Portanto, isto mostra porque não podemos ter uma base negativa. E, portanto, a partir disto, se não podemos ter uma base negativa, então não podemos ter um argumento negativo. Então, isto mostra porque não pode ser negativo. Então, também vamos mostrar porque é que não pode ter o valor um, e isto porque a base não pode ter o valor um. E isto porque vamos, por exemplo, pensar que se tivéssemos logaritmo de base um de dois igual a 𝑎, então se reorganizássemos isto será um elevado a 𝑎 igual a dois. Bem, isto não pode acontecer porque um elevado a qualquer coisa é apenas um. E vamos ver o mesmo com o exemplo embaixo.

Ok, ótimo. Então, agora sabemos porque é que o argumento de um logaritmo deve ser positivo e não igual a um. Então, vamos resolver mais alguns problemas.

Determine o conjunto-solução da equação log de base três de 𝑥 mais log de base 243 de 𝑥 elevado a cinco mais três igual a zero no conjunto dos números reais.

Então, para resolver este problema, o que vamos fazer é utilizar a nossa fórmula de mudança de base, que temos, que é log de base 𝑎 de 𝑏 igual a log de base 𝑥 de 𝑏 sobre log de base 𝑥 de 𝑎. Então, se dermos uma olhadela no nosso problema, ou na nossa equação, o que faremos é utilizar esta fórmula de mudança de base no logaritmo de base 243 de 𝑥 elevado a cinco. E vamos utilizá-la nisto porque, na verdade, o que queremos fazer é mudar a base para log de base três, para termos cada um dos nossos logaritmos com a mesma base.

Então, quando fizermos isto, o que obteremos é log de base três de 𝑥 mais log de base de três de 𝑥 elevado a cinco sobre log de base de três de 243 mais três é igual a zero. E isto acontece porque podemos decidir qual é a base quando estamos a mudar a base. E a razão pela qual isto será útil é porque sabemos que 243 é três elevado a cinco. Então, agora o que vamos fazer é utilizar isto em algumas das nossas regras dos logaritmos para nos ajudar a simplificar a nossa equação.

As leis que veremos são log de base de 𝑚 elevado a 𝑛 igual a 𝑛 log de base 𝑎 de 𝑚 e log de base 𝑎 de 𝑎 é igual a um. Então, quando os aplicarmos, o que obteremos é log de base de três de 𝑥 igual a cinco log de base de três de 𝑥, e isto porque utilizamos a nossa primeira regra para esta, e depois dividimos por cinco log de base três de três. E isto porque, como dissemos, 243 era o mesmo que três elevado a cinco. Então, colocamos o cinco à frente do log de base três.

Então, temos cinco logaritmo de base três, mais três é igual a zero. Bem, sabemos que o log de base de três é um. Portanto, teremos apenas cinco multiplicado por um no denominador. Então, o que vamos fazer é dividir por cinco também, o que nos dará dois logaritmos de base três de 𝑥 mais três igual a zero. E isto é porque tínhamos logaritmo de base três de 𝑥 e mais log de base três de 𝑥. Então, isto dá-nos dois deles. Então, o que vamos fazer é subtrair três de cada membro da equação, o que nos dará logaritmo de dois de base três de 𝑥 igual a três.

Bem, então, o que temos é um pequeno truque para nos ajudar. E é nisto que podemos transformar o segundo membro em algo em log de base três. E poderemos fazer isto porque menos três será o mesmo que menos três multiplicado por log de base três de três. Portanto, temos dois log de base três de 𝑥 igual a menos três log de base três de três. Então, o que podemos fazer é aplicar o inverso da nossa primeira regra. Portanto, podemos ter log de base três de 𝑥 ao quadrado igual a log de base três de três elevado a menos três.

Bem, porque a nossa base é a mesma, o que podemos fazer agora é igualar os nossos argumentos. Então temos 𝑥 ao quadrado igual a três elevado a menos três. Portanto, 𝑥 ao quadrado será igual a um sobre 27. Bem, então, se tomarmos a raiz quadrada de ambos os membros, o que obteremos é 𝑥 igual a um sobre a raiz de 27. Não estamos interessados no valor negativo porque nos dizem que queremos apenas determinar o conjunto dos números reais. E isto acontece porque 𝑥 é, de facto, o argumento em dois dos nossos logaritmos, e um argumento tem que ser positivo e não pode ser igual a um.

Bem, então o que vamos fazer é simplificar a nossa raiz 27 utilizando uma das nossas regras dos radicais ou irracionais. E esta é que a raiz de 27 é o mesmo que a raiz de nove multiplicada pela raiz de três, o que nos dá três raiz de três. Portanto, podemos dizer que o conjunto-solução da nossa equação é um sobre três raiz de três.

Ótimo, na verdade resolvemos este problema com uma equação. Então, agora, vamos dar uma olhadela num que envolve uma expressão quadrática.

Determine o conjunto-solução de log de base dois de 𝑥 igual a log de base quatro de três 𝑥 mais 28 no conjunto dos números reais.

Portanto, neste problema, o que podemos fazer é utilizar a fórmula de mudança de base. Portanto, log de base 𝑎 de 𝑏 é igual a log de base 𝑥 de 𝑏 sobre log de base 𝑥 de 𝑎. E vamos utilizá-lo porque o que queremos fazer é ter o segundo membro com a mesma base do primeiro membro. Então, quando fizermos isso, o que obteremos é log de base dois de 𝑥 igual a log de base dois de três 𝑥 mais 28 sobre log de base dois de quatro.

E sempre que estamos a resolver um problema como este, o que procuramos é onde poderíamos realmente ter algo onde temos, por exemplo, logaritmo de base dois de dois. Portanto, é o mesmo que a forma log de base 𝑎 de 𝑎. E, de facto, podemos ter isto aqui porque quatro é o mesmo que dois ao quadrado. Portanto, podemos reescrevê-lo como o nosso denominador, sendo log de base dois de dois ao quadrado.

Agora, para simplificar ainda mais, o que podemos fazer é aplicar algumas das nossas regras dos logaritmos. Primeiro, é que log de base 𝑎 de 𝑚 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 log de base 𝑎 de 𝑚. E a seguir, temos log de base 𝑎 de 𝑎 igual a um. Então, aplicando a primeira regra, temos log de base dois de 𝑥 igual a log de base dois de três 𝑥 mais 28 sobre dois log e base dois de dois. E, em seguida, aplicando a segunda regra, podemos dizer que o denominador se torna apenas dois porque é dois multiplicado por um, pois log de base dois de dois é apenas um.

Então, se multiplicarmos ambos os membros por dois, obtemos dois log de base dois de 𝑥 igual a log de base dois de três 𝑥 mais 28. Então, agora o que vamos fazer é olhar para o primeiro membro e aplicar o inverso da primeira regra que vimos para os nossos logaritmos. E quando fazemos isto, obtemos log de base dois de 𝑥 ao quadrado igual a log de base dois de três 𝑥 mais 28. Então, agora o que podemos fazer é igualar os nossos argumentos, porque temos log com a mesma base em ambos os membros da equação.

Então, quando fazemos isto, agora temos 𝑥 ao quadrado igual a três 𝑥 mais 28. Então, agora o que podemos fazer é reorganizar para realmente mudar isto para uma quadrática igual a zero. Então, vamos subtrair três 𝑥 e subtrair 28 de cada membro. Então, quando fazemos isto, obtemos a quadrática 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos 28 igual a zero. Então, agora, o que precisamos de fazer é resolver isto para 𝑥. Então, se quisermos resolver 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos 28 igual a zero, o que vamos fazer é fatorizá-lo. Então, se fatorizarmos esta quadrática, teremos 𝑥 menos sete multiplicado por 𝑥 mais quatro igual a zero. Portanto, temos 𝑥 igual a sete ou menos quatro.

Então, o nosso conjunto-solução será sete ou menos quatro, não é? Bem, não, porque 𝑥 não pode ser um dos nossos valores. O valor que não pode ser é menos quatro. E isto porque sabemos que, se olharmos para trás na nossa equação, 𝑥 é o argumento do primeiro membro. E sabemos que o argumento deve ser positivo e não igual a um. Portanto, o conjunto-solução da nossa equação é apenas sete.

Ok, então resolvemos um problema com uma quadrática. O que vamos fazer agora é passar para um problema em que, de facto, teremos mais do que um resultado no nosso conjunto.

Resolva log de base dois de log de base de três de 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 igual a um onde 𝑥 está no conjunto de números reais.

Portanto, a primeira coisa que podemos fazer com este problema é garantir que temos um logaritmo na mesma base em cada membro da equação. E podemos fazer isto aplicando uma das nossas regras dos logaritmos. E este é o log de base em 𝑎 de 𝑎 igual a um. Então, podemos dizer que log de base dois de log de base três de 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 é igual a log de base dois de dois porque, como dissemos, um é exatamente o mesmo que log de base dois de dois.

Então, agora, a razão pela qual fizemos isto é porque o que temos é logaritmo na mesma base no primeiro e segundo membros. Então, o que podemos fazer é igualar os nossos argumentos. Então, podemos dizer que logaritmo de base três de 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 é igual a dois. Então, agora, para resolver 𝑥, o que podemos fazer primeiro é reorganizar da forma logarítmica para a forma de potência. Então, se tivermos log de base 𝑎 de 𝑏 igual a 𝑥, dizemos que 𝑎 elevado a 𝑥 será igual a 𝑏.

Portanto, se identificarmos os nossos 𝑎, 𝑏 e 𝑥, podemos reescrever a nossa equação como três ao quadrado igual a 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥, o que nos dará nove iguais 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥. Então, o que vamos fazer é subtrair nove de cada membro da equação. Então, temos zero igual a 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 menos nove. Então, agora o que precisamos de fazer é resolver esta quadrática.

Bem, podemos resolver a quadrática fatorizando. E se o fizermos, obteremos zero igual a 𝑥 menos nove multiplicado por 𝑥 mais um. Portanto, podemos dizer que 𝑥 será igual a nove ou menos um. Ótimo, e estes dois estarão no nosso conjunto-solução. Bem, pode pensar: “Bem, não, não pode ser porque sabemos que o argumento deve ser positivo e não igual a um”. Portanto, não podemos ter o valor negativo. No entanto, este não é o caso neste problema em particular, porque se olharmos para o argumento, o argumento não é 𝑥. O argumento é 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥, bem, o argumento de um dos nossos logaritmos.

E o que vamos fazer para o provar na verdade é substituir 𝑥 igual a menos um neste argumento. Bem, se fizermos isto, teremos menos um ao quadrado menos oito multiplicado por menos um, o que nos dará um mais oito porque menos um ao quadrado é apenas um. E se subtrair um negativo, é o mesmo que adicionar um positivo. Bem, isto dá-nos o valor de nove, que é positivo e não igual a um. Portanto, satisfaz as condições que temos para o nosso argumento. Portanto, podemos dizer que o conjunto-solução da nossa equação é nove e menos um.

Ok, ótimo. Vimos uma série de problemas diferentes. Então, agora, vamos dar uma olhadela num resumo dos pontos principais. Então, se dermos uma olhadela nos nossos pontos-chave, o primeiro é que se quisermos mudar a base de um dos nossos logaritmos, então podemos dizer que o log de base 𝑎 de 𝑏 é igual ao log de base 𝑥 de 𝑏 sobre o log de base 𝑥 de 𝑎. Então, podemos realmente ter a base alterada para qualquer coisa que quisermos. E o que tendemos a fazer é escolher uma base que será mais útil quando procuramos resolver uma equação ou simplificar uma expressão.

Então, o que também vimos é que, se tivermos logaritmo na base 𝑎 de 𝑏, então o 𝑏 será o nosso argumento e o 𝑎 será a nossa base. E o argumento deve ser positivo e igual a um. E, de facto, isto acontece porque a base também deve ser um valor positivo, não igual a um ou zero. E isto é importante porque precisamos de utilizá-la ao considerar o domínio de 𝑥 se 𝑥 fizer parte de um argumento de um logaritmo numa equação que estamos a tentar resolver.

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