Vídeo: Diferenciação de Funções Inversas

Neste vídeo, aprenderemos como determinar as derivadas de funções inversas.

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Transcrição do vídeo

Diferenciação de Funções Inversas

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a derivada de funções inversas. E abordaremos uma variedade de exemplos de como podemos o fazer. Vamos começar por recapitular algumas informações sobre funções inversas.

Seja 𝑓 uma função de domínio 𝑈 e contradomínio 𝑉, então 𝑓 vai de 𝑈 a 𝑉. Chamamos a função 𝑔, que vai de 𝑉 a 𝑈, a inversa de 𝑓, se para todo o 𝑦 contido em 𝑉, 𝑓 de 𝑔 de 𝑦 for igual a 𝑦. E para todo o 𝑥 contido em 𝑈, 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥. O que esta definição nos está a dizer é que, se alguma função 𝑓 tem uma inversa e aplicamos 𝑓 e a inversa a algum valor. Então, obteremos o próprio valor. Agora, se a função 𝑔 desta definição existe, podemos dizer que 𝑓 admite inversa e 𝑔 é a inversa de 𝑓. Também podemos denotar a função inversa como 𝑓 com menos um sobrescrito.

No entanto, devemos ter cuidado para não confundir isto com 𝑓 elevado a menos um. Uma vez que são completamente diferentes, apesar da notação semelhante. Se houver menos um sobrescrito próximo a uma função, significa a inversa. Mas se estiver ao lado de uma variável ou constante, significa elevado a menos um. Outra coisa a notar é que se 𝑓 é a inversa de 𝑔, então 𝑔 também é a inversa de 𝑓. Vamos agora considerar o gráfico de alguma função 𝑓.

Agora, sabemos que podemos determinar o gráfico da inversa desta função refletindo-o na reta 𝑦 igual a 𝑥, que é esta reta aqui. Portanto, a nossa função inversa será mais ou menos assim. O que pretendemos fazer aqui é determinar a derivada da função inversa. Agora, a derivada é a função do declive do gráfico. E uma maneira de determinar o declive de um determinado ponto é determinar a tangente nesse ponto e, em seguida, determinar o declive da tangente. Vamos determinar a tangente a 𝑓 num valor de 𝑥, que podemos chamar de 𝑎. Agora, as coordenadas do ponto em que estamos a considerar a tangente será 𝑎 𝑓 de 𝑎. No entanto, também podemos chamar 𝑓 de 𝑎 𝑏 de modo que o ponto em que estamos a considerar a tangente seja 𝑎, 𝑏.

Agora, isso dá-nos que 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑏. Agora, de alguma forma, precisamos de vincular este ponto à função inversa de 𝑓. Se aplicarmos a inversa de 𝑓 para ambos os lados aqui, obteremos que a inversa de 𝑓 de 𝑓 de 𝑎 é igual a inversa de 𝑓 de 𝑏. No entanto, devido à definição de uma função inversa, sabemos que a inversa de 𝑓 de 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑎. Isso dá-nos que a inversa de 𝑓 de 𝑏 é igual a 𝑎. Vamos determinar este ponto em a inversa de 𝑓 de 𝑥. E podemos determinar a tangente da inversa de 𝑓 de 𝑥 neste ponto. Agora, parece que as nossas tangentes de 𝑓 de 𝑥 em 𝑎, 𝑏 e a inversa de 𝑓 de 𝑥 em 𝑏, 𝑎 são reflexões uma da outra na reta 𝑦 igual a 𝑥. E isso faria sentido, uma vez que 𝑓 de 𝑥 é uma reflexão da inversa de 𝑓 de 𝑥 na reta 𝑦 igual a 𝑥. E o ponto 𝑎, 𝑏 é a reflexão do ponto 𝑏, 𝑎 na reta 𝑦 é igual a 𝑥.

Agora, o que nos preocupa aqui é esta função dos declives da inversa de 𝑓 de 𝑥. Então, vamos considerar o declive destas duas tangentes. Vamos chamar a tangente de 𝑓 de 𝑥 𝐿 um e a tangente da inversa de 𝑓 de 𝑥 𝐿 dois. Podemos chamar a equação de 𝐿 um é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Agora, uma reflexão na reta 𝑦 igual 𝑥 corresponde a uma transformação de 𝑥, 𝑦 indo para 𝑦, 𝑥. Portanto, a equação da reta 𝐿 dois é, 𝑥 igual a 𝑚𝑦 mais 𝑐. E podemos reorganizar esta equação para isolar 𝑦, dando-nos que 𝑦 é igual a um sobre 𝑚𝑥 menos 𝑐 sobre 𝑚.

Outra coisa com a qual estamos preocupados aqui são os declives destas duas tangentes. Podemos ver que o declive da tangente a 𝑓 de 𝑥 é 𝑚. E o declive da tangente à inversa de 𝑓 de 𝑥 é um sobre 𝑚. Como 𝑚 é o declive da tangente em 𝑎, 𝑏, também pode ser definido como o declive de 𝑓 em 𝑥 igual a 𝑎. E assim, temos que 𝑚 é igual a 𝑓 linha de 𝑎. Um sobre 𝑚 representa o declive da tangente à inversa de 𝑓 de 𝑥 em 𝑏, 𝑎. Portanto, é o declive da inversa de 𝑓 em 𝑥 igual a 𝑏. Portanto, podemos dizer que a derivada da inversa de 𝑓 em 𝑏 é igual a um sobre 𝑚. No entanto, acabámos de descobrir que 𝑚 é igual a 𝑓 linha de 𝑎. Portanto, isto pode ser substituído. E dá-nos o resultado. E isto é, se 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑏, então a derivada da inversa de 𝑓 em 𝑏 é igual a um sobre a derivada de 𝑓 em 𝑎. O que, é claro, só faz sentido se 𝑓 linha de 𝑎 for diferente de zero.

Agora, não provámos este resultado rigorosamente. Uma vez que nos baseámos apenas no facto de que as tangentes serem reflexões um do outro a partir da intuição. Este resultado, no entanto, pode ser comprovado utilizando a regra em cadeia. Se temos alguma função 𝑓 com uma função inversa 𝑔, então pela definição da função inversa, 𝑓 de 𝑔 de 𝑦 é igual a 𝑦. Agora, se utilizarmos a regra em cadeia para diferenciar os dois membros desta equação em ordem a 𝑦. Em seguida, obteremos que 𝑓 linha de 𝑔 de 𝑦 multiplicado por 𝑔 linha de 𝑦 igual a um. Reorganizando, obtemos o nosso resultado. Qual é que 𝑔 linha de 𝑦 é igual a um 𝑓 linha de 𝑔 de 𝑦. Isto também é muitas vezes escrito na notação de Leibniz. Que nos diz que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a um sobre d𝑥 sobre d𝑦. Vamos agora aplicar estas definições nalguns exemplos.

Dado que 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑦, determine d𝑦 sobre d𝑥, dando a sua resposta em termos de 𝑥.

Podemos começar por diferenciar 𝑥 em ordem a 𝑦. Utilizando o facto de que a derivada de uma exponencial é apenas a exponencial, obtemos que d𝑥 sobre d𝑦 é igual a 𝑒 elevado a 𝑦. Agora, estamos a tentar determinar a derivada da função inversa, que é 𝑦, em ordem a 𝑥. Então, isso é d𝑦 sobre d𝑥. E, para o fazer, podemos utilizar o facto de que a derivada da inversa de uma função é igual à inversa da derivada da função. Dar-nos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a um sobre d𝑥 sobre d𝑦. Para utilizar isto, devemos garantir que o denominador da nossa fração seja diferente de zero. Então, isto é d𝑥 sobre d𝑦.

Acabámos de descobrir que d𝑥 sobre d𝑦 é igual a 𝑒 elevado a 𝑦. Como 𝑒 elevado a 𝑦 é uma exponencial, sabemos que 𝑒 elevado a 𝑦 será maior que zero para todos os valores de 𝑦. Portanto, é diferente de zero. E assim, podemos utilizar esta fórmula. E assim, obtemos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a um sobre 𝑒 elevado a 𝑦. No entanto, a questão pediu-nos para dar a nossa resposta em termos de 𝑥. Para obter a nossa resposta em termos de 𝑥, podemos utilizar o facto de que 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑦 e substituir 𝑥 em 𝑒 elevado a 𝑦. A partir daqui, chegamos à nossa solução, que é d𝑦 sobre d𝑥 é igual a um sobre 𝑥.

Vamos parar rapidamente para pensar sobre o que é apresentado aqui. A nossa função original é 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑦. Podemos isolar 𝑦 nesta equação. Simplesmente aplicamos logaritmos naturais em ambos os membros. Isso dá-nos 𝑦 igual ao logaritmo natural de 𝑥. E esta é a inversa da função dada na questão. Agora, determinamos d𝑦 sobre d𝑥. Como 𝑦 é igual ao logaritmo natural de 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥 é a derivada do logaritmo natural de 𝑥 em relação a 𝑥. Portanto, acabámos de mostrar que a derivada do logaritmo natural de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a um sobre 𝑥.

Vamos agora considerar outro exemplo.

Dado que 𝑥 é igual a 𝑦 elevado a cinco mais a raiz quadrada de 𝑦 mais a raiz cúbica de 𝑦 ao quadrado, determine d𝑦 sobre d𝑥.

Podemos determinar d𝑦 sobre d𝑥 utilizando a fórmula da derivada da função inversa. Que é d𝑦 sobre d𝑥 é igual a um sobre d𝑥 sobre d𝑦. Então começamos a diferenciar 𝑥 em ordem a 𝑦. Vamos começar por reescrever alguns dos termos em 𝑥. Podemos reescrever a raiz quadrada de 𝑦 como 𝑦 elevado a um meio e a raiz cúbica de 𝑦 ao quadrado com 𝑦 elevado a dois sobre três. Agora, podemos utilizar a regra da potência para a diferenciação, a fim de diferenciar 𝑥 em ordem a 𝑦, termo a termo.

Multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente uma unidade. Isso dá-nos que d𝑥 sobre d𝑦 é igual a cinco 𝑦 elevado a quatro mais um meio 𝑦 elevado a menos um meio mais dois terços 𝑦 elevado a menos um terço. Podemos reescrever as potências fracionários de 𝑦 na sua forma irracional. E a seguir, podemos combinar estes três termos numa fração, criando um denominador comum de seis 𝑦. O nosso primeiro termo torna-se 30𝑦 elevado a cinco sobre seis 𝑦. O nosso segundo termo torna-se três multiplicado pela raiz quadrada de 𝑦 sobre seis 𝑦. E o nosso terceiro termo torna-se quatro multiplicado pela raiz cúbica de 𝑦 ao quadrado sobre seis 𝑦. Obtemos que d𝑥 sobre d𝑦 é igual a 30 multiplicado por 𝑦 elevado a cinco mais três multiplicado pela raiz quadrada de cinco mais quatro multiplicado pela raiz cúbica de 𝑦 ao quadrado sobre seis 𝑦.

Agora, podemos aplicar a fórmula para a derivada da função inversa. E isso dá-nos a nossa solução de que d𝑦 sobre d𝑥 é simplesmente a inversa de d𝑥 sobre d𝑦.

Às vezes, podemos ser solicitados a determinar a derivada da função inversa num determinado ponto. Devemos ter cuidado com o ponto em que calculamos a função, como o próximo exemplo mostrará.

Seja 𝑓 de 𝑥 igual a um meio 𝑥 ao cubo mais um meio 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 menos quatro e seja 𝑔 a inversa de 𝑓. Dado que 𝑓 de dois é igual a 12, o que é 𝑔 linha de 12?

Para nos ajudar a determinar 𝑔 linha de 12, podemos utilizar a fórmula para derivadas de funções inversas. Isso diz-nos que se 𝑔 é a função inversa de 𝑓, então 𝑔 linha de 𝑦 é igual a um sobre 𝑓 linha de 𝑔 de 𝑦. Vamos começar por determinar 𝑓 linha de 𝑥, a derivada de 𝑓 em ordem a 𝑥. Podemos ver que 𝑓 é um polinómio. Portanto, para determinar a sua derivada, podemos diferenciá-la termo por termo utilizando a regra da potência para a diferenciação. Simplesmente multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente uma unidade. Isso dá-nos que 𝑓 linha de 𝑥 igual a três sobre dois 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais cinco.

Em seguida, observaremos o facto de que estamos a tentar determinar 𝑔 linha de 12. E assim, podemos substituir 𝑦 igual a 12 na nossa fórmula por 𝑔 linha de 𝑦. Isso dá-nos que 𝑔 linha 12 é igual a um 𝑓 linha de 𝑔 de 12. Agora, não sabemos o que é 𝑔 de 12. No entanto, foi-nos dado na questão que 𝑓 de dois é igual a 12. E como 𝑔 é a função inversa de 𝑓, podemos aplicar 𝑔 a ambos os membros aqui. E obteremos que 𝑔 de 12 é igual a dois. Isso ocorre pela maneira como as funções inversas funcionam. Se tirarmos 𝑔 de 𝑓 dois, obteremos simplesmente dois.

Agora, podemos substituir este valor de 𝑔 de 12 de volta na nossa equação para 𝑔 linha de 12. E obtemos que é igual a um sobre 𝑓 linha de dois. Agora, já determinámos 𝑓 linha de 𝑥. Portanto, podemos simplesmente substituir 𝑥 é igual a dois para determinar 𝑓 linha de dois. E obtemos que 𝑓 linha de dois é igual a 13. E substituindo o valor de 𝑓 linha de dois de volta para 𝑔 linha de 12, obtemos que 𝑔 linha de 12 é igual a um sobre 13.

Agora, a nossa definição original para a derivada de uma função inversa admitindo que a inversa existe. Abordaremos agora o chamado teorema da função inversa, que é mais poderoso do que a nossa definição original. Uma vez que garante a existência e a continuidade do inverso de uma função quando é diferenciável continuamente com uma derivada diferente de zero.

O Teorema da Função Inversa

Seja 𝑓 uma função continuamente diferenciável com uma derivada diferente de zero em um ponto 𝑎. Então, o teorema da função inversa diz-nos que: um, 𝑓 é invertível numa vizinhança de 𝑎. Segundo, 𝑓 tem uma inversa continuamente diferenciável numa vizinhança de 𝑎. Terceiro, a derivada do inverso do ponto 𝑏 é igual a 𝑓 de 𝑎 é igual à inversa da derivada de 𝑓 em 𝑎. Ou seja, a derivada da inversa de 𝑓 de 𝑏 é igual a um sobre a derivada de 𝑓 de 𝑎.

Tudo o que exigimos para utilizar este teorema é 𝑓 ser continuamente diferenciável e ter uma derivada diferente de zero nalgum ponto 𝑎. Agora, a prova deste teorema está para lá do âmbito deste vídeo. Portanto, não o abordaremos aqui.

Vamos agora seguir em frente e ver mais alguns exemplos.

Se 𝑓 de dois 𝜋 é igual a menos um, 𝑓 linha de dois 𝜋 é igual a um e 𝑎 é igual a menos um, determine a derivada da inversa de 𝑓 em 𝑎.

Utilizaremos o facto de que a derivada da inversa de 𝑓 em 𝑎 é igual a um sobre 𝑓 linha da inversa de 𝑓 de 𝑎. No nosso caso, 𝑎 é igual a menos um. Precisamos de começar por determinar a inversa de 𝑓 de menos um. É nos dado na questão que 𝑓 de dois 𝜋 é igual a menos um. Como sabemos que inversa de 𝑓 é a função inversa de 𝑓, isso diz-nos que inversa de 𝑓 de menos um é igual a dois 𝜋. Portanto, podemos substituir isto na nossa equação. E agora, temos que a derivada da inversa de 𝑓 em menos um é igual a um sobre 𝑓 linha de dois 𝜋. E podemos ver que, na verdade, obtemos 𝑓 linha de dois 𝜋 na questão. E é igual a um.

Portanto, podemos substituir isto. E chegamos à nossa solução, que é que a derivada da função inversa de 𝑓 em menos um é igual a um.

Vamos agora ver um exemplo final.

Seja 𝑔 a inversa de 𝑓. Utilizando a tabela em baixo, determine 𝑔 linha de zero.

Para determinar 𝑔 linha de zero, utilizaremos a fórmula para determinar a derivada da inversa de uma função. O que nos diz que 𝑔 linha de 𝑦 igual a um sobre 𝑓 linha de 𝑔 de 𝑦. Estamos a tentar determinar 𝑔 linha de zero. Portanto, podemos substituir zero em 𝑦. Isso dá-nos que 𝑔 linha de zero é igual a um sobre 𝑓 linha de 𝑔 de zero. Da tabela, podemos ver que quando 𝑥 é igual a zero, 𝑔 é igual a menos um. E assim, temos que 𝑔 de zero é igual a menos um. Em que podemos substituir para nos dar que 𝑔 linha de zero é igual a um sobre 𝑓 linha de menos um.

E agora, podemos simplesmente ler 𝑓 linha de menos um da tabela. Como quando 𝑥 é igual a menos um, 𝑓 linha é igual a um terço. Dando-nos que 𝑓 linha de menos um é igual a um terço. E, novamente, isso pode ser substituído. E assim, obteremos que 𝑔 linha de zero é igual ao inverso de um terço. E aqui chegamos à nossa solução de três.

Aprendemos sobre derivadas de funções inversas. E vimos vários exemplos de como funcionam. Vamos recapitular alguns pontos principais deste vídeo.

Pontos chave

Dada uma função continuamente diferenciável 𝑓 com uma derivada diferente de zero num ponto 𝑎. A derivada da inversa da função em 𝑏, que é igual a 𝑓 de 𝑎, é a derivada da inversa de 𝑓 em 𝑏 é igual a um sobre a derivada de 𝑓 em 𝑎. Isso geralmente está escrito na notação de Leibniz, pois d𝑦 sobre d𝑥 é igual a um sobre d𝑥 sobre d𝑦. Precisamos de ter cuidado com os pontos que estamos a utilizando.

Ao utilizar estas equações, podemos determinar derivadas de muitas funções inversas familiares, como o logaritmo natural. O teorema da função inversa garante a existência de uma função contínua inversa em torno de pontos com derivadas diferentes de zero. Utilizando este teorema, podemos determinar as derivadas de funções inversas. Mesmo quando não conseguimos determinar uma fórmula explícita para a inversa.

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