Vídeo: Integrais que Envolvem Funções Logarítmicas

Neste vídeo, aprenderemos como utilizar a integração por substituição em funções da forma 𝑓′(𝑥)/𝑓(𝑥).

16:41

Transcrição do vídeo

Integrais que envolvem funções logarítmicas. Neste vídeo, aprenderemos como utilizar a integração por substituição em funções da forma 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. Veremos alguns exemplos para ver os tipos de integrais em que podemos utilizar este método. Agora, vamos começar por considerar o seguinte integral. E este é o integral indefinido 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. E vamos tentar resolver este integral. E podemos de facto fazê-lo com uma substituição. Seja 𝑢 igual 𝑓 de 𝑥. E podemos diferenciar 𝑢 em ordem a 𝑥. E isso dá-nos d𝑢 sobre d𝑥 igual a 𝑓 linha de 𝑥. Onde linha denota uma diferenciação em ordem a 𝑥. E isso diz-nos que d𝑢 é igual a 𝑓 linha de 𝑥 d𝑥.

Agora podemos reescrever o nosso integral como o integral de um sobre 𝑓 de 𝑥 multiplicado pelo 𝑓 linha de 𝑥 d𝑥. Agora estamos prontos para realizar a nossa substituição. Substituiremos 𝑢 em 𝑓 de 𝑥 e d𝑢 em 𝑓 linha de 𝑥 d𝑥. Portanto, obtém que o nosso integral é igual à integral de um sobre 𝑢 em ordem a 𝑢. E este é um integral que sabemos resolver. Sabemos que o integral de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑥 mais 𝑐. Portanto, o nosso integral é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑢 mais a nossa constante de integração 𝑐. E aqui, podemos substituir o nosso valor de 𝑢 de volta na nossa equação. E isso leva-nos ao nosso resultado, que é que o integral indefinido de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑐.

Vamos agora ver um exemplo de como isso funciona.

Determine o integral indefinido de dois 𝑥 mais um sobre 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos sete em ordem a 𝑥.

Quando olhamos para o integrando deste integral, podemos notar que o numerador se parece muito com a derivada do denominador. Vamos verificar isto rapidamente. Podemos chamar o denominador 𝑓 de 𝑥. Então, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos sete. E agora podemos diferenciar isto. Utilizando a regra das potências em cada termo, obtemos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a dois 𝑥 mais um. Qual é o numerador da nossa fração. Portanto, o nosso integrando tem a forma 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. E, de facto, temos uma regra para integrar funções desta forma. Diz-nos que o integral de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑐. Utilizando esta regra, obtemos que o integral de dois 𝑥 mais um sobre 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos sete em ordem a 𝑥 é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos sete mais a nossa constante de integração 𝑐.

No próximo exemplo, veremos como este método pode ser muito útil ao integrar determinadas funções trigonométricas.

Determine ao integral indefinido do cot 𝑥 em ordem a 𝑥.

Agora sabemos que cot 𝑥 pode ser escrito como cos de 𝑥 sobre o sen de 𝑥. Portanto, podemos reescrever o nosso integral como o integral de cos 𝑥 sobre o sen 𝑥 em ordem a 𝑥. Em seguida, utilizaremos o facto de que a derivada de sen 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a cos 𝑥. E assim, se deixarmos o denominador sen 𝑥 ser igual a 𝑓 de 𝑥, o nosso numerador, cos de 𝑥, será igual a 𝑓 linha de 𝑥. E aqui, podemos ver que o nosso integral é da forma do integral de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥.

E conhecemos uma fórmula para resolver integrais desta forma. E esta fórmula di-nosz que o integral indefinido de 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑐. Se aplicarmos esta fórmula ao nosso integral com 𝑓 de 𝑥 igual a sen 𝑥, chegaremos à nossa solução. O que significa que o integral indefinido de cot 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao logaritmo natural do módulo do sen 𝑥 mais 𝑐.

Agora, de facto, podemos levar este método um passo adiante. E considere quando o nosso numerador difere da derivada do denominador por um fator constante. Portanto, se o nosso integrando for igual a 𝑎 vezes 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥, em que 𝑎 é um número real. Agora, isto pode parecer mais direto. Como podemos utilizar o facto de que podemos fatorizar uma constante de dentro de um integral. Isso dá-nos que o nosso integral é igual a 𝑎 multiplicado pelo logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑐. E assim este método parece mais direto. É apenas um pequeno passo em ordem ao que estávamos a fazer antes. No entanto, existem duas partes potencialmente bastante difíceis em estabelecer o nosso integral. Então, podemos aplicar esta fórmula.

E o primeiro desses dois pontos é realmente identificar que o nosso integral pode estar nesta forma. Como nem sempre é óbvio que o nosso numerador é uma constante multiplicada pela derivada do denominador. Às vezes, podemos ser obrigados a multiplicar o nosso integrando por alguma função em si, como ℎ de 𝑥 sobre ℎ de 𝑥. Para obtê-lo na forma, utilize este método. A segunda parte, que geralmente é um pouco menos complicada, é determinar o valor da nossa constante 𝑎, pois nem sempre é imediatamente óbvio.

Vamos agora ver um exemplo de como podemos utilizar este método.

Determine o integral indefinido de 𝑥 ao quadrado mais sete sobre 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 menos cinco em ordem a 𝑥.

Agora, a primeira coisa que notamos é que o numerador do nosso integrando se parece muito com a derivada do denominador. Vamos verificar isso rapidamente. Seja 𝑓 de 𝑥 o nosso denominador. Então 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 menos cinco. E agora derivamos. E obtemos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado mais 21, que não é igual ao nosso numerador. No entanto, percebemos que, na verdade, é um fator de três. Se dividirmos o 𝑓 linha de 𝑥 por três, obtemos que um terço do 𝑓 linha de 𝑥 igual a 𝑥 quadrado mais sete. E isso agora é igual ao numerador do nosso integrando. Poderíamos escrever o nosso integral em termos de 𝑓 de 𝑥. E obteríamos que é igual ao integral de um terço 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥.

Agora podemos utilizar uma regra que sabemos para integrar integrais desta forma. Diz-nos que o integral de 𝑎 multiplicado por 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝑎 multiplicado pelo logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑐. Então, podemos aplicar esta fórmula. Exceto que, no nosso caso, 𝑎 é um terço. E 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 menos cinco. Ao fazer isso, chegamos à nossa solução, que é a de que o integral indefinido de 𝑥 ao quadrado mais sete sobre 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 ao menos cinco em ordem a 𝑥 é igual a um terço multiplicado pelo logaritmo natural do módulo de 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 menos cinco mais 𝑐.

Neste último exemplo, vimos como podemos determinar a nossa constante 𝑎 por inspeção. No entanto, isso nem sempre é particularmente óbvio. Outra maneira de determiná-la é utilizando a substituição, como veremos no próximo exemplo.

Determine o integral indefinido de 27 sen 𝑥 mais 21 cos 𝑥 sobre sete sen 𝑥 menos nove cos 𝑥 em ordem a 𝑥.

Aqui, notamos que o numerador do integrando parece ser a derivada no denominador. Como a derivada no sen 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a cos 𝑥 e a derivada de menos cos 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao sen 𝑥. Agora parece que o numerador pode diferir da derivada no denominador por um fator constante. No entanto, não sabemos qual é esse fator. Podemos tentar encontrá-lo utilizando uma substituição. Seja 𝑢 igual ao denominador do integrando, portanto, sete sen 𝑥 menos nove cos𝑥. Agora podemos diferenciar 𝑢 em ordem a 𝑥. Utilizando o facto de que seno se deriva para cos 𝑥 e menos cos 𝑥 se deriva para sen 𝑥. Obtemos que d𝑢 sobre d𝑥 igual a sete cos 𝑥 mais nove sen 𝑥. Isso dá-nos que d𝑢 é igual a nove sen 𝑥 mais sete cos 𝑥 d𝑥.

Agora vamos reorganizar o nosso integral para que possamos aplicar esta substituição. Percebemos que podemos colocar em evidência um fator de três no nosso numerador. E isso permite-nos escrever o nosso integral como o integral de três sobre sete sen 𝑥 menos nove cos 𝑥 multiplicado por nove sen 𝑥 mais sete cos 𝑥 d𝑥. E assim podemos substituir 𝑢 no denominador da nossa fração. E podemos substituir d𝑢 por nove sen 𝑥 mais sete cos 𝑥 d𝑥. Dando-nos que é igual ao integral de três sobre 𝑢 d𝑢, que pode ser integrado para três multiplicado pelo logaritmo natural do módulo de 𝑢 mais 𝑐. Na nossa etapa final, simplesmente substituímos de volta sete sen 𝑥 menos nove cos 𝑥 em 𝑢. Isso dá-nos a nossa solução, que é três multiplicado pelo logaritmo natural do módulo de sete sen 𝑥 menos nove cos 𝑥 mais 𝑐.

Agora, este método de integração pode ser utilizado para integrar muitos tipos diferentes de funções. No próximo exemplo, veremos uma integração de uma função que envolve um logaritmo natural.

Determine o integral indefinido de menos trêssobre 𝑥 multiplicado pelo logaritmo natural de oito 𝑥 em ordem a 𝑥.

Agora, embora isto possa parecer um integral complicado de calcular, é de facto de uma forma que sabemos integrar. Se deixarmos 𝑓 de 𝑥 igual ao logaritmo natural de oito 𝑥, podemos diferenciar 𝑓 de 𝑥 utilizando o facto de que a derivada no logaritmo natural de 𝑥 é um sobre de 𝑥 para descobrir que 𝑓 linha de 𝑥 é igual para um sobre oito 𝑥. E, a seguir, como esta é uma função composta, temos oito 𝑥 dentro da função logaritmo natural. Não devemos esquecer de multiplicar pela derivada de oito 𝑥, que é apenas oito. Isso ocorre por causa da regra em cadeia. Simplificando, podemos obter que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥.

Agora vamos reescrever o nosso integral. Se multiplicarmos o numerador e o denominador da nossa fração por um sobre 𝑥, poderemos reescrever o nosso integral como integral de menos três sobre 𝑥 sobre o logaritmo natural de oito 𝑥 em ordem a 𝑥. E agora podemos fatorizar o menos três no numerador. E quando chegamos a esta etapa, percebemos que isto está numa forma que sabemos como integrar. Uma vez que é da forma o integral de 𝑎 multiplicado por 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Onde o nosso 𝑓 de 𝑥 é o logaritmo natural de oito 𝑥. E o nosso 𝑓 linha de 𝑥 é um sobre 𝑥. Portanto, o nosso valor de 𝑎 é menos três. Agora sabemos que este integral é calculado como 𝑎 multiplicado pelo logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑐. E podemos simplesmente substituir os valores de 𝑎 e 𝑓 de 𝑥 para encontrar a nossa solução. Menos três multiplicado pelo logaritmo natural do módulo do logaritmo natural de oito 𝑥 mais 𝑐.

No nosso exemplo final, veremos uma integração de uma função trigonométrica em que é necessário multiplicar o nosso integrando por uma fração de uma função sobre si própria.

Determine o integral indefinido de dois multiplicado por csc de sete 𝑥 em ordem a 𝑥.

Agora, esta é uma função realmente complicada de integrar. Requer que realmente conheçamos as nossas derivadas de funções trigonométricas. Agora, como estamos a tentar determinar o integral indefinido de dois csc de sete 𝑥, vamos escrever qual é a derivada de csc de sete 𝑥. É igual a menos sete csc de sete 𝑥 multiplicado por cot de sete 𝑥. Agora, o que pretendemos fazer nesta fase é tentar obter o nosso integrando na forma 𝑎 multiplicado por 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. Uma vez que sabemos como integrar isto e para tentar obter o nosso integral nesta forma. Vamos tentar multiplicar o integrando por uma fração que consiste numa função sobre si própria, que é obviamente igual a um. A parte difícil é tentar determinar uma função 𝑔 de 𝑥. Portanto, o nosso integral terminará na forma que sabemos integrar.

Vamos ver o que acontece se deixarmos que 𝑔 de 𝑥 seja igual a csc de sete 𝑥. Multiplicamos o nosso integrando por csc de sete 𝑥 sobre csc de sete 𝑥. E obtemos o integral de dois csc ao quadrado de sete 𝑥 sobre csc de sete 𝑥 em ordem a 𝑥. No entanto, isso claramente não está na forma necessária. No entanto, isto dá-nos uma dica, pois temos um csc ao quadrado de sete 𝑥 no numerador. E de facto conhecemos outra função trigonométrica que se diferenciaria para nos dar um múltiplo de csc ao quadrado de sete 𝑥. E esta é cot de sete 𝑥. A derivada do cot de sete 𝑥 é menos sete csc ao quadrado de sete 𝑥.

Agora é nesta etapa em que podemos começar a identificar qual é o nosso 𝑔 de 𝑥. Quando multiplicamos por 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 no nosso integrando, teremos sempre este fator de csc de sete 𝑥, que está originalmente no integrando. Se fatorizarmos um fator de csc de sete 𝑥 das nossas duas derivadas, ficaremos com cot de sete 𝑥 multiplicado por uma constante e um csc de sete 𝑥 multiplicado pela mesma constante. Agora, isto é muito importante, pois as funções que estamos a diferenciar são csc de sete 𝑥 e cot de sete 𝑥.

E então, talvez, para o próximo 𝑔 de 𝑥, possamos tentar adicionar essas duas funções juntas. Mas primeiro, vamos fazer uma anotação rápida sobre qual é o diferencial da soma destas duas funções. Utilizando o facto de que a derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas das funções. E mantendo o termo csc de sete 𝑥 fatorizado. Temos que a derivada de csc de sete 𝑥 mais cot de sete 𝑥 é igual a csc de sete 𝑥 multiplicado por menos sete cot de sete 𝑥 menos sete csc de sete 𝑥.

Então agora podemos tentar 𝑔 de 𝑥 igual a csc de sete 𝑥 mais cot de sete 𝑥. Temos o integral de dois csc de sete 𝑥 multiplicado por csc de sete 𝑥 mais cot de sete 𝑥 sobre csc de sete 𝑥 mais cot de sete 𝑥 em ordem a 𝑥. E podemos reescrever isto com os dois csc de sete 𝑥 no numerador. Agora podemos notar que o nosso integral está quase na forma que precisamos. Se 𝑓 de 𝑥 for igual a 𝑔 de 𝑥, podemos ver que o denominador do nosso integrando é 𝑔 de 𝑥. E se compararmos o numerador com a derivada de 𝑔 de 𝑥, podemos ver que é muito, muito semelhante. As únicas duas pequenas diferenças são que há este fator constante de dois no numerador do integrando e um fator de menos sete na derivada. E assim podemos chegar à conclusão de que o numerador do nosso integrando é igual a dois sobre menos sete vezes por 𝑔 linha de 𝑥.

Agora podemos ver mais claramente que o nosso integral é de facto a forma que pretendemos. No nosso caso, 𝑎 é igual a menos dois sobre sete. E 𝑓 de 𝑥 é igual a csc de sete 𝑥 mais cot de sete 𝑥. E assim podemos aplicar a fórmula. Aqui, chegamos à nossa solução, que é a de que o integral indefinido de dois csc de sete 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a menos dois sétimos vezes o logaritmo natural do módulo de csc de sete 𝑥 mais cot de sete 𝑥 mais 𝑐 .

Neste último exemplo, vimos como às vezes podemos determinar um integral de uma função difícil utilizando este método multiplicando por 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 para alguma função 𝑔 de 𝑥. E a parte mais difícil deste método é descobrir o que 𝑔 de 𝑥 precisa de ser. Conhecer as derivadas de muitos tipos diferentes de funções é certamente uma ferramenta muito útil para fazer isto.

Assim, cobrimos uma variedade de exemplos neste vídeo. Vamos recapitular alguns dos pontos principais. Pontos chave. O integral indefinido de 𝑎 multiplicado por 𝑓 linha de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝑎 multiplicado pelo logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑐, onde 𝑎 é um número real. Este método pode ser utilizado para determinar os integrais de muitos tipos diferentes de funções, incluindo trigonométricas, como cot 𝑥, tan 𝑥, csc 𝑥 and e assim por diante. Às vezes, não é imediatamente óbvio que podemos utilizar este método para integrar. Mas multiplicar por 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 para algum 𝑔 de 𝑥 pode permitir-nos utilizá-lo.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.