Vídeo: Valor Médio de uma Função

Neste vídeo, vamos aprender a utilizar o teorema do valor médio para integrais para determinar o valor médio de uma função.

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Transcrição do vídeo

Nesta aula, aprenderemos como utilizar o teorema do valor médio para integrais para determinar o valor médio de uma função. Nesta fase, deve sentir-se confiante em determinar integrais definidos de uma variedade de funções, em particular funções polinomiais.

Neste vídeo, analisaremos estas ideias e estendê-las-emos para determinar o valor médio de uma determinada função num intervalo fechado. Começamos então por recordar o teorema do valor médio para integrais. Isto é, se 𝑓 é uma função contínua num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, então existe um número 𝑐 nesse intervalo tal modo que o integral calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑐 vezes 𝑏 menos 𝑎. E neste teorema, o valor de 𝑓 de 𝑐 é o valor médio da nossa função 𝑓 nesse intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. Mas o que isto na verdade significa?

Essencialmente, diz-nos que garantimos que uma função contínua terá pelo menos um ponto, onde a própria função é igual ao valor médio da função nesse intervalo fechado. Podemos reorganizar esta equação para isolar 𝑓 de 𝑐. E deduzimos a fórmula para o valor médio da nossa função. Se 𝑓 é integrável num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, então o valor médio da função nesse intervalo fechado é dado por um sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes o integral calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Agora, analisaremos a aplicação desta fórmula por meio de vários exemplos.

Determine o valor médio de 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 no intervalo fechado de menos três a cinco.

Lembre-se, a fórmula para o valor médio da função 𝑓 num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 é um sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes o integral calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Neste caso, vemos que o nosso 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥. O nosso intervalo fechado é de menos três a cinco. Então, seja 𝑎 igual a menos três e 𝑏 igual a cinco. Um sobre menos 𝑏 menos 𝑎 torna-se um sobre cinco menos menos três. E isto é multiplicado pelo integral calculado entre menos três e cinco de três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 em ordem a 𝑥. Cinco menos menos três é oito. E precisamos de calcular este integral definido.

Aqui, lembramos que o integral indefinido de um termo polinomial genérico 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 é 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝑐, onde 𝑎 e 𝑐 são constantes e 𝑛 não é igual a menos um. Também lembramos que podemos integrar a soma dos termos polinomiais integrando cada termo individualmente. E vemos que o integral de três 𝑥 ao quadrado é três 𝑥 ao cubo sobre três. E o integral de menos dois 𝑥 é menos dois 𝑥 ao quadrado sobre dois. E vamos calcular isto entre menos três e cinco.

Agora, isso simplifica um pouco para 𝑥 ao cubo menos 𝑥 quadrado. Ora, vamos substituir os nossos limites. Estamos à procura de um oitavo de cinco ao cubo menos cinco ao quadrado menos menos três ao cubo menos menos três ao quadrado. Isso é um oitavo de 100 menos menos 36, que é igual a 17. Portanto, o valor médio da nossa função três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 no intervalo fechado de menos três a cinco é 17.

Agora que temos uma ideia de como a fórmula do valor médio de uma função funciona, veremos um exemplo que envolve um pouco mais de trabalho na parte da integração.

Determine o valor médio de 𝑓 de 𝑥 igual 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 ao cubo menos cinco, tudo ao quadrado no intervalo fechado de menos um a um.

Lembre-se de que a fórmula para o valor médio de uma função num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 é dada por um sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes o integral de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 calculado entre 𝑎 e 𝑏. Neste caso, podemos ver que a nossa função é igual a 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 ao cubo menos cinco ao quadrado. E vemos que o nosso intervalo fechado é de menos um a um. Então, 𝑎 vai ser igual a menos um e 𝑏 igual a um. E isso significa que o valor médio da nossa função é dado por um sobre um menos menos um multiplicado pelo integral de 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 ao cubo menos cinco ao quadrado tudo ao quadrado em ordem a 𝑥 calculado entre menos um e um.

Um menos menos um é dois. Mas como calculamos este integral definido? Bem, precisamos de notar que o numerador é um múltiplo escalar da derivada de parte do denominador. A derivada de 𝑥 ao cubo menos cinco é três 𝑥 ao quadrado. E isso diz-nos que podemos utilizar a integração por substituição. Seja 𝑢 igual a 𝑥 ao cubo menos cinco, e d𝑢 sobre d𝑥 é, portanto, igual a três 𝑥 ao quadrado. Sabemos que d𝑢 sobre d𝑥 não é uma fração. Mas, para os propósitos da integração por substituição, tratamo-lo um pouco como uma quando dizemos que isto é equivalente a um terço d𝑢 igual a 𝑥 ao quadrado d𝑥.

Agora estamos em posição de substituir as várias partes do nosso integral. Substituímos 𝑥 quadrado d𝑥 por um terço d𝑢. E substituímos 𝑥 ao cubo menos cinco por 𝑢. E vemos que o valor médio da nossa função é igual metade do integral de um terço vezes um sobre 𝑢 ao quadrado em ordem a 𝑢. Mas o que fazemos sobre estes limites?

Bem, utilizamos a nossa definição de 𝑢. Dissemos que 𝑢 era igual a 𝑥 ao cubo menos cinco. Portanto, para o nosso limite superior, quando 𝑥 é igual a um, 𝑢 é igual a um cubo menos cinco, que é menos quatro. E quando 𝑥 é igual a menos um, 𝑢 é igual a menos um ao cubo menos cinco, que é igual a menos seis. Podemos colocar a constante um terço fora do sinal de integral e reescrever um sobre 𝑢 ao quadrado como 𝑢 elevado a menos dois. E sabemos que o integral de 𝑢 elevado a menos dois é 𝑢 elevado a menos dividido por menos um, ou menos 𝑢 elevado a menos um, que pode então ser escrito como menos um sobre 𝑢.

Substituímos menos quatro e menos seis. E temos um sexto de menos um sobre menos quatro menos menos um sobre menos seis. Bem, menos um sobre menos quatro é apenas um quarto. E menos um sobre menos seis é um sexto. Subtraímos estas frações criando um denominador comum. E vemos que o valor médio da nossa função é um sexto vezes um doze avos, ou seja, um sobre 72 avos.

No nosso próximo exemplo, veremos como utilizar o inverso da fórmula do valor médio de uma função para nos ajudar a calcular valores em falta.

O valor médio de 𝑓 de 𝑥 é igual a menos seis 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos um no intervalo fechado de zero a 𝑏 é zero. Determine todos os valores possíveis de 𝑏.

Lembre-se de que a fórmula para o valor médio de uma função 𝑓 num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 é um sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes o integral calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 é igual a menos seis 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos um. E vemos que 𝑎 é igual a zero e não sabemos o valor de 𝑏. Então, começamos por substituir o que sabemos sobre o valor médio da nossa função na fórmula.

Temos um sobre 𝑏 menos zero, o que é obviamente um sobre 𝑏. E multiplicamos isto pelo integral definido de menos seis 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos um calculado entre zero e 𝑏. Entretanto, sabemos que o valor médio da nossa função é igual a zero. Então, podemos estabelecer isto igual a zero.

Vamos analisar o nosso integral. O integral do menos seis 𝑥 ao quadrado é menos seis 𝑥 ao cubo sobre três. O integral de seis 𝑥 é seis 𝑥 ao quadrado sobre dois. E o integral de menos um é menos 𝑥. Vamos substituir 𝑏 e zero nesta expressão. Vemos que o zero é igual a um sobre 𝑏 vezes menos dois 𝑏 ao cubo mais três 𝑏 ao quadrado menos 𝑏. E a seguir dividimos por 𝑏. E assim obtemos que menos dois 𝑏 ao quadrado mais três 𝑏 menos um é igual a zero. E vemos que temos uma equação do segundo grau.

Então, vamos multiplicar por menos um. E, em seguida, fatorizaremos a expressão dois 𝑏 ao quadrado menos três 𝑏 mais um. Quando o fazemos, vemos que dois 𝑏 menos um vezes 𝑏 menos um deve ser igual a zero. E para que esta afirmação seja verdadeira, dois 𝑏 menos um deve ser igual a zero ou 𝑏 menos um deve ser igual a zero. E resolvemos em ordem a 𝑏. E vemos que 𝑏 deve ser igual a um meio ou um.

Determine todos os 𝑐 tais que 𝑓 de 𝑐 seja igual ao valor médio de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos dois ao quadrado no intervalo fechado de menos um a cinco.

Começamos por recordar a fórmula para o valor médio de uma função num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. É um sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes o integral calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Vemos que 𝑓 de 𝑥 aqui é 𝑥 menos dois ao quadrado. E o nosso intervalo é de menos um a cinco, incluídos. Então dizemos que 𝑎 é igual a menos um e 𝑏 é igual a cinco.

Portanto, o valor médio desta função neste intervalo fechado é de um sobre cinco menos menos um vezes o integral calculado entre menos um e cinco de 𝑥 menos dois tudo ao quadrado em ordem a 𝑥. E existem algumas maneiras pelas quais podemos calcular este integral definido. Poderíamos procurar desembaraçar os parênteses. Alternativamente, descobrimos que, se fizermos 𝑢 igual a 𝑥 menos dois, obteremos d𝑢 sobre d𝑥 igual a um, o que, por sua vez, significa que podemos dizer que d𝑢 deve ser igual a d𝑥.

E, portanto, podemos utilizar a integração por substituição. Substituimos 𝑥 menos dois por 𝑢 e d𝑥 por d𝑢. Mas ainda precisamos xs lidar com os limites. Então, utilizamos a nossa definição de 𝑢. E vemos que quando 𝑥 é igual a cinco, 𝑢 é igual a cinco menos dois, que é, claro, três. Também vemos que quando 𝑥 é igual a menos um, 𝑢 é menos um menos dois, o que é menos três. E o valor médio da nossa função é um sexto do integral calculado entre menos três e três de 𝑢 ao quadrado em ordem a 𝑢. E o integral de 𝑢 ao quadrado é 𝑢 ao cubo sobre três. E quando substituímos os nossos limites na expressão, obtemos um sexto de três ao cubo sobre três menos menos três ao cubo sobre três, que é simplesmente três.

Ainda não terminámos aqui. Estamos a tentar determinar os valores de 𝑐 ais que 𝑓 de 𝑐 seja igual ao valor médio de 𝑓 de 𝑥 neste intervalo fechado, ou seja, quando 𝑓 de 𝑐 for igual a três. Bem, 𝑓 de 𝑐 é 𝑐 menos dois tudo ao quadrado. Então, procuramos descobrir quando é que 𝑐 menos dois tudo ao quadrado é igual a três. Então, resolveremos esta equação em ordem a 𝑐. Aplicamos a raiz quadrada em ambos os membros da nossa equação, lembrando de determinar uma raiz quadrada positiva e negativa de três. E, em seguida, adicionamos dois aos dois membros. E obtemos 𝑐 igual a dois mais a raiz de três e dois menos a raiz de três.

No nosso exemplo final, consideraremos a interpretação geométrica desta fórmula em relação aos gráficos de funções.

Qual é o valor médio desta função no intervalo fechado de menos cinco a quatro?

Começamos por recordar a fórmula para o valor médio de uma função num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. É um sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes o integral de 𝑓 de 𝑥 calculado entre 𝑎 e 𝑏. No nosso caso, os limites são quatro e menos cinco. Portanto, é um sobre quatro menos menos cinco vezes o integral definido. Este gráfico, no entanto, mostra uma função composta por várias funções diferentes.

Em vez de determinar a função em cada ponto, recordaremos a definição mais básica do integral de uma função. Permite-nos determinar a área entre o gráfico da função e o eixo O𝑥. Portanto, podemos determinar a área entre o gráfico desta função e o eixo O𝑥 dividindo em subintervalos e lembrando que, quando calcularmos a área abaixo do eixo O𝑥, teremos um valor negativo.

Começaremos por determinar a área deste triângulo. A fórmula para a área de um triângulo é metade da base vezes a altura. Portanto, a área deste triângulo é um meio vezes um vezes quatro, ou seja, duas unidades quadradas. Como este triângulo fica abaixo do eixo O𝑥, atribuímos a esta um valor negativo de dois no nosso integral. O nosso próximo triângulo fica acima do eixo O𝑥. A sua área é um meio vezes dois vezes um, que é apenas uma unidade quadrada. E assim, adicionamos um.

A próxima forma com que nos cruzaremos é um trapézio, embora possamos dividi-lo num triângulo e num quadrado. A sua área é um meio vezes quatro mais três vezes três, ou seja, 10.5 unidades quadradas. E adicionamos 10.5. Em seguida, encontramos um segundo trapézio, que tem uma área um meio vezes três mais dois vezes um, que é de 2.5 unidades quadradas. E temos um trapézio final, que tem uma área de um meio vezes quatro mais dois vezes dois, que é três unidades quadradas. Ou determinar a soma destes valores, e isso é igual ao integral calculado entre menos cinco e quatro de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Vemos que o valor médio da nossa função é, portanto, um nono vezes 15, ou seja, cinco terços.

Neste vídeo, aprendemos que podemos determinar o valor médio de uma função 𝑓 num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 desde que 𝑓 seja integrável utilizando a fórmula um sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes o integral calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. E vimos que este processo pode ser aplicado em funções mais complicadas, como aquelas que exigem integração por substituição. E, finalmente, vimos que, quando temos o gráfico de uma função, às vezes é mais fácil determinar a área entre o gráfico e o eixo O𝑥 do que tentar calcular um integral.

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