Vídeo: Lei da Gravitação Universal de Newton

Neste vídeo aprendemos sobre o desenvolvimento da Lei de Gravitação Universal de Newton, o propósito da constante gravitacional 𝐺 e como usar a lei gravitacional praticamente.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender sobre a lei de gravitação universal de Newton. Veremos o que esta lei diz, como foi desenvolvida e como podemos aplicá-la na prática. Para começar, imagine que você viveu no tempo de Isaac Newton em 1600. Durante esse tempo, os cientistas estavam enfrentando um desafio difícil.

Por um lado, graças às observações astronômicas, eles tinham uma clara evidência de que os planetas, corpos celestes que eles chamavam, se moviam em órbitas regulares. Com base nisso, parecia claro que havia algum tipo de atração entre essas massas quando elas se moviam. Mas, por outro lado, no planeta Terra, com massas diárias regulares, não fazia sentido que essas massas se atraíssem, mesmo que fossem mantidas muito próximas.

Por enquanto, parecia que as leis físicas que governavam os corpos massivos, os corpos celestes, o tamanho dos planetas podiam ter uma forma diferente ou ser fundamentalmente diferentes das leis que governavam todos os dias o tamanho de objetos mais tangíveis. Para ver como esses dois mundos foram reunidos, será útil aprender sobre a lei de gravitação universal de Newton. Como diz a história, um dia Isaac Newton estava descansando sob uma macieira refletindo sobre todos esses mistérios. Então, uma maçã cai da árvore, bate na cabeça dele e ele tem uma grande ideia.

Há uma boa chance de que a história não seja precisa. Mas, no entanto, mostra como a lei de Newton conecta objetos do cotidiano com os quais estamos familiarizados com objetos muito maiores na escala do tamanho de nosso planeta ou outros planetas. Um motivo pelo qual essa lei é tão significativa é porque ela é verdadeiramente universal. Aplica-se a qualquer massa, não importa quão grande ou pequena e não importa onde elas estejam localizadas no universo.

Considerando o escopo desse desenvolvimento, é notável que em uma declaração simples seja possível resumir a força gravitacional de atração entre duas massas qualquer. Mas isso é exatamente com o que Newton ajudou seus contemporâneos. Esta lei universal diz que a força gravitacional entre dois objetos, massa um e massa dois, é igual ao seu produto dividido pelo quadrado da distância entre eles. Esta é a espinha dorsal da lei de Newton a partir de uma perspectiva física. E esse valor é então multiplicado por um valor constante chamado 𝐺.

Esse valor, chamado de constante gravitacional universal, foi desenvolvido para fazer as unidades na expressão geral funcionarem. Tem sua própria história interessante de desenvolvimento. Mas antes de contar essa história, vamos considerar o restante dessa lei universal da gravitação. Às vezes essa lei, que é uma das equações mais reconhecíveis da física, pode se tornar tão familiar para nós que perdemos de vista o que a torna especial.

Na época de seu desenvolvimento, essa lei não era de todo óbvia. Por exemplo, considere o denominador onde vemos um termo 𝑟 quadrado. Isso significa que a lei universal da gravitação é uma lei do inverso do quadrado. Apesar de vermos essas leis na física, ainda é um resultado surpreendente. Por que um mais 𝑟 ao quadrado? Por que não um sobre 𝑟 ao cubo ou um sobre 𝑟 elevado a 1.99? Ou até por que a força da gravidade diminuiria com o aumento da distância?

Todas as alternativas que podemos pensar para uma relação de um sobre 𝑟 ao quadrado nos lembram quão especial essa lei é e como ela ajuda a estabelecer a estrutura do nosso universo. Agora vamos passar a considerar os valores de massa 𝑚 um e 𝑚 dois. Esta lei nos diz que, se temos dois objetos de qualquer forma, desde que tenham massa, há uma força gravitacional de atração entre eles.

Nossas massas poderiam ser esferas ou blocos ou crocodilos ou átomos. Quaisquer objetos que tenham massa atendem ao padrão e, portanto, possuem uma força gravitacional entre eles. Independentemente das formas que nossas duas massas têm, quando falamos sobre a distância entre elas, estamos falando da distância entre seus centros de massa onde quer que esses centros estejam localizados dentro da massa geral em si. Agora digamos que tentamos um experimento.

E se nós obtivermos duas massas e deixarmos as massas igualarem exatamente a um quilograma e separarmos essas massas em exatamente um metro? Assim, podemos ver quando olhamos para essa lei da gravitação que teremos uma equação que diz que a força gravitacional de atração entre essas duas massas de um quilo é igual a um quilo vezes um quilo, que é um quilo ao quadrado, tudo sobre um metro ao quadrado vezes 𝐺, a constante gravitacional.

Para mostrar por que essa constante gravitacional é necessária, vamos imaginar por um segundo que ela não está lá. Em outras palavras, vamos deixá-la igual a um e ver o que obtemos como resultado desse cálculo. Se 𝐺 tivesse esse valor sem unidades, isso significaria que a força gravitacional de atração entre essas duas massas é de um quilograma ao quadrado metro ao quadrado.

Mas espere um segundo, sabemos que a força é medida em unidades de newtons e que um newton tem unidades básicas de um quilograma metro por segundo ao quadrado. Isso significa que os dois lados da nossa equação não se somam quando deixamos 𝐺 igual a apenas um. Estamos agora entrando em todo o significado para a existência da constante gravitacional em primeiro lugar. Estamos vendo que, se não estiver lá — isto é, se for igual a um, então toda a nossa expressão para a força gravitacional da atração não faz sentido.

Isaac Newton postulou essa constante para dar às forças gravitacionais a magnitude certa, bem como as unidades certas. A gravidade como a mais fraca das quatro forças fundamentais cria uma força de atração entre duas massas de um quilograma separadas por um metro de muito menos do que um newton. Então, 𝐺 serve em dobro. Dá-nos as unidades certas para a nossa expressão, bem como uma magnitude que concorda com a experiência.

Nós dissemos que a gravidade é uma força fraca em comparação com as outras quatro forças fundamentais do eletromagnetismo e as forças nucleares fortes e fracas. Uma maneira de vermos que a fraqueza na ação é pegar dois objetos domésticos que podemos encontrar, digamos, um lápis e um copo de água. Se mantivermos esses dois objetos juntos, não podemos sentir a força gravitacional de atração entre eles. É muito fraca.

Por outro lado, se tivéssemos dois ímãs, um em cada mão, poderíamos definitivamente sentir a força de atração ou repulsão entre eles quando se aproximassem. Tudo isso é para dizer que a constante gravitacional universal 𝐺 é um valor muito pequeno. Não é um. Na verdade, é muito menor que um. É tão pequeno que é muito difícil medir 𝐺.

Uma das medidas mais precisas e engenhosas dessa constante gravitacional ficou sob a guarda de um cavalheiro chamado Henry Cavendish. Em seu experimento, Cavendish suspendeu um fio de metal muito fino de uma estrutura sólida. A partir do final desse fio, ele pendurou um pequeno pedaço de metal que continha quantidades de valores cuidadosamente medidos nas duas extremidades.

Uma vez que este sistema se estabilizou e não estava se movendo ou girando de qualquer maneira, Cavendish trouxe duas massas pesadas relativamente grandes perto dos lados opostos das massas suspensas menores. Em resposta à atração gravitacional, as massas suspensas menores moveram-se ligeiramente para as maiores, causando uma torção no fio. Cavendish foi capaz de medir essa torção com alta precisão. E já que ele conhecia todas as massas envolvidas, bem como as distâncias que as separavam, ele tinha valores para 𝑚 um, 𝑚 dois, 𝑟 bem como a força 𝐹, a força de torção agindo sobre o fio.

Em outras palavras, ele tinha todos os ingredientes necessários para chegar a um valor para 𝐺. O valor para 𝐺 que Cavendish encontrou é muito próximo do valor que costumamos usar hoje, que é que 𝐺 é aproximadamente igual a 6.67 vezes 10 elevado a menos 11 metros cúbicos por quilograma de segundo ao quadrado. Olhando para esse valor, duas coisas talvez se destaquem: uma, 𝐺 é de fato pequena, muito menor que um e, duas, tem um estranho conjunto de unidades ligadas a ela.

Mas, lembre-se, as unidades de 𝐺 são projetadas para fazer com que o resto da lei universal da gravitação tenha unidades consistentes. Medições para valores cada vez mais precisos de 𝐺 ainda acontecem hoje. No entanto, para nossos propósitos, estaremos bem servidos para usar este valor dado por 𝐺, muito próximo do que Cavendish encontrou experimentalmente. Vamos praticar um pouco com a lei de gravitação universal de Newton através de um exemplo.

Um asteroide tem uma massa de 4.7 vezes 10 elevado a 13 quilogramas. O asteroide passa perto da Terra e, na sua aproximação mais próxima, a separação dos centros de massa do asteroide e da Terra é quatro vezes a média do raio orbital da Lua. Que força o asteroide exerce na Terra quando está a uma distância mínima da Terra? Use um valor de 384400 quilômetros para o raio orbital médio da Lua.

Vamos rotular essa força, queremos resolver, 𝐹 maiúsculo e começar esboçando a situação. Nesta situação, nosso asteroide rotulado 𝑎 passa pela Terra rotulado 𝐸 a uma distância mínima de quatro vezes o raio orbital da lua ao redor da Terra. Dada a massa do asteroide 𝑚 sub 𝑎 e o raio orbital da lua ao redor da Terra 𝑂𝑅 sub 𝑚, queremos resolver a força gravitacional de atração entre o asteroide e a Terra quando eles estão mais próximos.

Para resolver essa força, lembramos que a força gravitacional de atração entre quaisquer duas massas, 𝑚 um e 𝑚 dois, é igual ao seu produto dividido pelo quadrado da distância entre seus centros de massa, todos multiplicados pela constante gravitacional universal 𝐺. Vamos deixar essa constante 𝐺 ser exatamente 6.67 vezes 10 elevado a menos 11 metros cúbicos por quilograma de segundo quadrado.

Quando aplicamos a relação matemática da força gravitacional ao nosso cenário, podemos dizer que 𝐹, a força que queremos resolver, é igual a 𝐺 vezes a massa da Terra vezes a massa do asteroide, tudo dividido por quatro vezes a quantidade do raio orbital da Lua ao quadrado. Conhecemos o valor no denominador que nos é dado, e também conhecemos a massa do asteroide, bem como a constante 𝐺.

Tudo o que resta é resolver a massa da Terra, e podemos fazer isso procurando esse valor. Um valor comumente aceito para a massa da Terra é de 5.95 vezes 10 elevado a 24 quilogramas. Sabendo disso, estamos prontos para substituir e resolver 𝐹. Quando inserimos esses valores, temos o cuidado de converter o raio orbital da Lua em unidades de metros, de modo que seja consistente com as unidades no restante de nossa expressão.

Falando em unidades, vamos levar um segundo para considerar quais serão as unidades finais desse cálculo. Olhando no numerador dessa expressão geral, vemos que um fator de quilogramas será cancelado. Olhando, então, para as unidades de metros que aparecem em nossa expressão, vemos que o metro ao quadrado no denominador removerá dois fatores no nosso numerador, de modo que, em geral, teremos apenas metros para o primeiro. As unidades do segundo quadrado permanecerão no nosso denominador global.

Assim, esperamos obter unidades finais de quilogramas metros por segundo ao quadrado, o que está de acordo com as unidades que esperamos para uma força; isto é, unidades de newtons. Quando calculamos esse resultado, descobrimos, para duas casas significativas, que é 7.9 vezes 10 elevado a nove newtons. Essa é a força gravitacional de atração entre o asteroide e a Terra. Vamos resumir o que aprendemos até agora sobre a lei de gravitação universal de Newton.

Neste vídeo, vimos que a lei de gravitação universal de Newton especifica a força da gravidade entre duas massas separadas por uma distância. Como uma equação, diz que essa força gravitacional é igual ao produto das massas dividido pelo quadrado da distância entre seus centros de massa, todos multiplicados por essa constante gravitacional universal chamada 𝐺. Também vimos que a gravidade é a mais fraca das quatro forças fundamentais do eletromagnetismo por gravidade e a força nuclear forte e fraca.

E como a gravidade é uma força tão fraca, vimos que a constante gravitacional 𝐺 é difícil de medir. Entretanto, um valor de trabalho para 𝐺 foi determinado em 6.67 vezes 10 elevado a menos 11 metros cúbicos por quilograma de segundo ao quadrado.

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