Vídeo: Raízes Reais e Complexas de Polinómios

Neste vídeo, vamos aprender como compreender as relações entre o grau de um polinómio, os seus coeficientes e as suas raízes e como aplicar este conhecimento na resolução de problemas.

17:49

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender sobre as raízes reais e complexas dos polinómios. Veremos que podemos dizer facilmente quantas raízes um determinado polinómio tem. E veremos que, no caso de polinómios com coeficientes reais, se tivermos uma raiz complexa do polinómio, podemos determinar facilmente outra. Vamos começar com o teorema fundamental da álgebra. Vamos analisar o enunciado deste teorema.

Lembre-se de que o polinómio 𝑝 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado mais um não tem raízes reais. Mas definimos 𝑖 como uma raiz não-real desse polinómio. 𝑝 de 𝑖 é 𝑖 ao quadrado mais um e 𝑖 ao quadrado é menos um. Então 𝑝 de 𝑖 é zero. Também podemos ver que este menos 𝑖 é uma raiz. 𝑝 de menos 𝑖 é menos 𝑖 ao quadrado mais um. E escrevendo menos 𝑖 como menos um vezes 𝑖, podemos reorganizar os fatores para obter menos um quadrado vezes 𝑖 quadrado mais um. Menos um ao quadrado é um e 𝑖 ao quadrado é menos um e o seu produto é menos um. Portanto, menos 𝑖 também é uma raiz.

E, tendo determinado as duas raízes da expressão quadrática 𝑥 ao quadrado mais um, podemos fatorizar esta quadrática. É uma constante 𝐴 vezes 𝑥 menos 𝑖 vezes 𝑥 menos menos 𝑖. 𝑥 menos menos 𝑖 é apenas 𝑥 mais 𝑖. E como o coeficiente de 𝑥 ao quadrado na definição de 𝑝 de 𝑥 é um, o valor de 𝐴 também é um. E assim, não precisamos de escrever isto explicitamente. Escrevendo 𝑝 de 𝑥 como 𝑥 ao quadrado mais um, vemos que, utilizando números complexos, podemos fatorizar o polinómio do segundo grau 𝑥 ao quadrado mais um num produto de fatores lineares. Não conseguiriamos fazer isso quando estávamos a trabalhar apenas com números reais.

Poderá saber que, ao completar o quadrado, é possível determinar raízes em qualquer quadrática com coeficientes reais. E assim, podemos fatorizar qualquer quadrática como o produto de fatores lineares, talvez com uma constante a multiplicar também. O teorema fundamental da álgebra generaliza amplamente este facto. Diz que todo polinómio de grau 𝑛 — portanto não estamos a lidar apenas com quadráticas que têm grau dois — com coeficientes complexos — para que os coeficientes não precisem de ser reais; podem sê-lo, mas não precisam para o teorema ser aplicável — podem ser considerados fatores lineares.

Pode ser útil utilizar alguns símbolos aqui. Um polinómio de grau 𝑛 que é da forma 𝑎 índice 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 mais 𝑎 índice 𝑛 menos um vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um e assim por diante até 𝑎 um 𝑥 mais 𝑎 zero, onde exigimos que o coeficiente de 𝑥 elevado a 𝑛 — que é 𝑎 índice 𝑛 — não seja igual a zero; caso contrário, o seu polinómio não é realmente de grau 𝑛 com coeficientes complexos. Portanto, 𝑎 zero, 𝑎 um e assim por diante até 𝑎 𝑛 são complexos. Podem ser números reais. Qualquer número real também é um número complexo. Mas não precisam de o ser. O teorema afirma que este polinómio pode ser fatorizado em fatores lineares.

Geralmente gostamos de tirar um fator de 𝑎 𝑛 primeiro. Portanto, só precisamos de considerar o caso em que o coeficiente de 𝑥 elevado a 𝑛 é um. E a seguir, o coeficiente de 𝑥 em cada um destes fatores lineares pode ser um. Quantos destes fatores lineares existem? Eu deixei este número ser 𝑚. Mas, ao multiplicar todos os 𝑥 dos parênteses, esperamos obter um 𝑥 para o termo 𝑛. E assim, deve haver 𝑛 fatores lineares. O número de fatores lineares que obtemos é o grau do polinómio 𝑛. Uma quadrática tem grau dois. E assim, esperamos dois fatores lineares, que é o que obtemos. Uma cúbica teria três, uma de grau quatro quatro e assim por diante.

Agora, esperamos entender melhor o que o teorema nos diz. Permitam-me apenas observar que não poderíamos realmente esperar um resultado melhor. Não poderíamos esperar fatorizar mais. Este teorema significa que 𝑝 de 𝑥 tem 𝑛 raízes? Bem, em certo sentido, não. Não nos disseram que os fatores são únicos. Portanto, 𝑥 menos 𝑟 um pode ser o mesmo que 𝑥 menos 𝑟 dois. Por outras palavras, 𝑟 um poderia ser igual a 𝑟 dois.

Por exemplo, considere o polinómio do quarto grau 𝑥 menos dois vezes 𝑥 menos dois vezes 𝑥 menos dois vezes 𝑥 mais três. Este fator de 𝑥 menos dois aparece três vezes. E assim, 𝑝 de 𝑥 não tem quatro raízes distintas, como poderíamos esperar, mas apenas duas. A raiz dois corresponde aos fatores 𝑥 menos dois e a raiz menos três corresponde ao fator 𝑥 mais três. No entanto, dizemos que a raiz dois tem multiplicidade três porque o fator 𝑥 menos dois aparece três vezes na fatorização de 𝑝 de 𝑥. Quando contamos as raízes com multiplicidade, contamos dois três vezes, uma para cada um destes fatores. E dizemos que 𝑝 de 𝑥 tem quatro raízes quando estas raízes são contadas com multiplicidade. Três destas raízes são dois e a outra raiz é menos três.

Isso leva a outra maneira de enunciar o teorema fundamental da álgebra. Um polinómio 𝑝 de 𝑥 de grau 𝑛 com coeficientes complexos tem, quando contado com multiplicidade, exatamente 𝑛 raízes. Essas raízes vêm dos fatores de 𝑝 de 𝑥. E contando com multiplicidade, não nos importamos que não sejam todos distintos. Existem 𝑛 destas no total, incluindo repetições. A demostração deste teorema é bastante difícil e, portanto, está fora do âmbito deste vídeo. Portanto, teremos que adotar este teorema de boa fé quando o aplicarmos a um exemplo.

Quantas raízes tem o polinómio três 𝑥 ao quadrado menos um vezes 𝑥 ao cubo mais quatro 𝑥 menos dois?

Não precisamos de determinar as raízes para contá-las. Em vez disso, podemos utilizar o teorema fundamental da álgebra. Este teorema afirma que um polinómio 𝑝 de 𝑥 de grau 𝑛 com coeficientes complexos tem, quando contado com multiplicidade, exatamente 𝑛 raízes. Portanto, supondo que estamos a contar as raízes com multiplicidade, pois não nos perguntam quantas raízes distintas o polinómio possui, precisamos apenas determinar o grau do nosso polinómio. Qual é esse grau? Distribuindo, descobrimos que o par mais alto de 𝑥 é o par 𝑥 com a potência de cinco. E assim, o grau deste polinómio é cinco.

Poderíamos ter poupado algum trabalho aqui, notando que o par mais alto de 𝑥 viria do produto da maior potência de 𝑥 no primeiro conjunto de parênteses e do par mais alto de 𝑥 no segundo conjunto, pois precisávamos apenas de um termo para determinar o grau do polinómio. E o teorema fundamental da álgebra diz-nos que, portanto, existem cinco raízes contadas com a multiplicidade. O número de raízes é igual ao grau do polinómio. Vamos aprender agora sobre o teorema da raiz complexa conjugada.

Para este teorema, precisamos que 𝑝 seja um polinómio com coeficientes reais. Se o número complexo 𝑧 é igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são reais, é uma raiz de 𝑝, então o seu conjugado 𝑧 estrela igual a 𝑎 menos 𝑏𝑖 é também uma raiz. Portanto, se tivermos um polinómio com coeficientes reais e uma raiz complexa desse polinómio, podemos encontrar imediatamente outra raiz. É uma dada raiz, complexa conjugada. Outra maneira de dizer isto é que se 𝑝 de 𝑧 é zero, onde 𝑝 é um polinómio com coeficientes reais, então 𝑝 de 𝑧 estrela é zero. Vamos provar isto.

Primeiro provaremos um resultado mais geral. Provaremos que 𝑝 calculado no conjugado de 𝑧 é um conjugado de 𝑝 de 𝑧. Consideramos um polinómio arbitrário com coeficientes reais e chamamo-lo de 𝑝. Seja 𝑛 o grau de 𝑝 e 𝑎 zero até 𝑛 os seus coeficientes reais. Calculamos este polinómio em 𝑧 estrela, o complexo conjugado de um número complexo 𝑧. E agora, a nossa tarefa é reorganizar isto de alguma forma para obter o complexo conjugado de 𝑝 de 𝑧. Vamos ter esperança e escrever isto no final da nossa dedução, acreditando que seremos capazes de o demonstrar. Utilizando a definição do polinómio 𝑝, podemos calculá-lo em 𝑧 e, em seguida, tomar o complexo conjugado. Escrevemos isto na linha acima e esperamos encontrar-nos no meio.

O complexo conjugado de uma soma é a soma do complexo conjugado e o complexo conjugado de um produto é o produto do complexo conjugado. Ambos os factos podem ser provados. Agora, gostaríamos de comparar o que temos trabalhado em cima com o que temos trabalhado em baixo. Uma diferença é que 𝑎 temos zero em vez de 𝑎 zero estrela e 𝑎 um em vez de 𝑎 um estrela e assim por diante. Mas estes coeficientes são todos números reais. E o complexo conjugado de qualquer número real é apenas ele próprio. Podemos, portanto, substituir cada coeficiente real pelo seu complexo conjugado sem alterar nada.

Terminámos? Já nos encontramos no meio? Bem, quase, temos o quadrado do conjugado de 𝑧 aqui e o conjugado do quadrado de 𝑧 aqui e da mesma forma a quarta potência do conjugado de 𝑧 aqui e o conjugado da quarta potência de 𝑧 aqui. Queremos trocar a ordem em que tomamos o expoente e o conjugado. E, de facto, podemos fazê-lo, embora isso seja um pouco mais complicado de provar do que o outro facto que utilizámos. Podemos, por exemplo, provar este facto utilizando o teorema de de Moivre. Aplicando este facto, obtemos exatamente a mesma expressão do lado direito do que trabalhamos em cima. E assim, provamos o que queríamos.

Agora, como é que isto nos ajuda a provar o teorema da raiz complexa conjugada? Bem, no caso especial que 𝑧 é uma raiz de 𝑝, podemos aplicar o conjugado de ambos os lados para mostrar que o conjugado de 𝑝 de 𝑧 é um conjugado de zero. E o conjugado de zero é apenas zero. E acabámos de provar que o conjugado de 𝑝 de 𝑧 é 𝑝 do conjugado de 𝑧. E assim, o conjugado de 𝑧 também é uma raiz. Isto prova o teorema da raiz complexa conjugada. Vamos agora aplicar este teorema.

É possível que um polinómio com coeficientes reais tenha exatamente três raízes não reais?

Seja 𝑧 uma das raízes não reais de 𝑝. O teorema da raiz complexa conjugada diz-nos que o conjugado de 𝑧, 𝑧 estrela, também será uma raiz de 𝑝. E como 𝑧 é não real, 𝑧 estrela também é não real. Então, temos duas raízes não reais de 𝑝. E a terceira? Vamos chamá-la de 𝑤. Mas 𝑤 estrela também deve ser uma raiz não real. Portanto, se 𝑤 é distinta de 𝑧 e 𝑧 estrela, existem quatro raízes não reais. Portanto, se um polinómio com coeficientes reais possui três raízes não reais distintas, também deve ter uma quarta. Não pode ter exatamente três raízes não reais distintas.

Mas e se 𝑤 é 𝑧 ou 𝑧 estrela? Se 𝑤 é 𝑧 ou 𝑧 estrela, não existe esse problema. O que podemos fazer é escrever o nosso polinómio 𝑝 de 𝑥 como o produto dos seus fatores 𝑥 menos 𝑧 e 𝑥 menos 𝑧 estrela e o polinómio 𝑞 de 𝑧. Na distribuição, obtemos um fator do segundo grau com coeficientes reais, pois o coeficiente menos 𝑧 mais 𝑧 estrela e 𝑧 vezes 𝑧 estrela são números reais. Isso significa que 𝑞 de 𝑥 também deve ter coeficientes reais, pois é um quociente de dois polinómios com coeficientes reais. Se 𝑝 de 𝑥 tem exatamente três raízes não reais, então 𝑞 de 𝑥 tem exatamente uma raiz não real. E isso é impossível devido ao teorema da raiz complexa conjugada. A resposta para a nossa pergunta é, portanto, não.

Lembre-se de que o discriminante de 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 é 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐, geralmente denotado por Δ maiúsculo. Ao trabalhar apenas com números reais, descobrimos que uma expressão do segundo grau com discriminante maior que zero tem duas raízes reais distintas, uma expressão do segundo grau com zero discriminante tem uma raiz real repetida e uma expressão do segundo grau com discriminante menor que zero não tem raízes reais. Mas trabalhando com números complexos, o teorema fundamental da álgebra diz-nos que podemos esperar ter sempre duas raízes.

Temos que contar com a multiplicidade para fazer disto um caso em que o discriminante é zero. E quando o discriminante é menor que zero, pois não há raízes reais, deve haver duas raízes complexas. E o teorema da raiz complexa conjugada diz-nos que essas duas raízes complexas são complexas conjugadas. Tenha cuidado aqui. O teorema da raiz complexa conjugada é verdadeiro apenas para polinómios com coeficientes reais. Esta classificação é válida apenas para expressões do segundo grau com coeficientes reais.

O que dizemos sobre as raízes das cúbicas com coeficientes reais? O teorema fundamental da álgebra diz-nos que deve haver três raízes a contar com a multiplicidade. Pode-se ter o caso de essas três raízes serem reais, podem ser distintas, uma possa ser repetida ou, de facto, todas as três raízes serem as mesmas. Se temos uma raiz nominal, devemos ter uma segunda, a complexa conjugada dessa raiz. Não podemos ter exatamente uma raiz não real e a outra raiz deve ser real. Não podemos ter exatamente três raízes não reais de um polinómio com coeficientes reais.

Aqui estão algumas cúbicas fatorizados. Pode verificar se, após a distribuição, têm coeficientes reais. Estas são as únicas duas possibilidades: são três raízes reais ou um par complexo de raízes conjugadas e uma raiz real. A partir disto, podemos ver que uma cúbica com coeficientes reais possui pelo menos uma raiz real. E podemos mostrar da mesma maneira que qualquer polinómio com grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. O conceito de discriminante pode ser generalizado de quadráticas para cúbicas e outros polinómios de grau superior. Mas as expressões envolvidas são bastante complicadas e estão além do âmbito deste vídeo. Vamos agora ver como podemos utilizar esta classificação para resolver equações do terceiro grau.

Dado que 𝑖 é uma das raízes da equação 𝑥 ao cubo menos cinco 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos cinco igual a zero, determine as outras duas raízes.

O teorema da fatorização diz-nos que 𝑥 menos 𝑖 é um dos fatores deste polinómio. E assim, poderíamos dividir o primeiro membro por este fator para obter a quadrática 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐, que poderíamos resolver. Mas podemos facilitar as coisas para nós mesmos utilizando o teorema da raiz complexa conjugada, que nos diz que o complexo conjugado de 𝑖 também deve ser uma raiz, pois estamos a lidar com um polinómio com coeficientes reais. E assim, 𝑥 mais 𝑖 novamente pelo teorema da fatorização deve ser um fator deste polinómio.

Multiplicando os dois fatores conhecidos, obtemos 𝑥 ao quadrado mais um. E podemos distribuir novamente. E comparando coeficientes, podemos ver que 𝑚 é um e 𝑛 é menos cinco. Podemos substituir estes valores, fatorizando a nossa cúbica como 𝑥 menos um vezes 𝑥 mais um vezes 𝑥 menos cinco. Lembre-se de que estamos à procura das raízes desta equação. E podemos só lê-las a partir da forma fatorizada. Determinámos serem cinco, menos 𝑖 e 𝑖. Para este problema, o teorema da raiz complexa conjugada salvou-nos um pouco de trabalho, mas não era essencial.

Vamos agora olhar para equações do quarto grau, onde o teorema da raiz complexa conjugada pode ser essencial.

Vamos classificar as raízes das equações do quarto grau com coeficientes reais. Uma equação do quarto grau tem a forma 𝑎𝑥 elevado a quatro mais 𝑏𝑥 ao cubo mais 𝑐𝑥 ao quadrado mais 𝑑𝑥 mais 𝑒 igual a zero. E como possui coeficientes reais, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 e 𝑒 devem ser números reais. Pelo teorema fundamental da álgebra, uma equação do quarto grau tem quatro raízes contando com a multiplicidade. Todas as quatro podem ser reais. Se houver uma raiz não real, pelo teorema da raiz complexa conjugada deve haver um par complexo conjugado. As outras duas raízes podem ser reais ou podem formar um par complexo conjugado, não necessariamente distinto do primeiro par.

Observe que, embora uma cúbica com coeficientes reais deva ter pelo menos uma raiz real, o mesmo não ocorre com as de grau quatro. Num polinómio com coeficientes reais é garantido apenas pelo menos uma raiz real se o seu grau for ímpar. Vamos agora ver um exemplo de solução de uma equação do quarto grau, dada uma das suas raízes.

Dado que dois mais 𝑖 raiz três é uma raiz de 𝑥 elevado a quatro menos 12𝑥 ao cubo mais 55𝑥 ao quadrado menos 120𝑥 mais 112 é igual a zero, determine todas as raízes.

Temos uma raiz complexa de um polinómio com coeficientes reais. E assim, pelo teorema da raiz complexa conjugada, o seu complexo conjugado dois menos 𝑖 raiz três também é uma raiz desta equação. Determinámos duas raízes então. Mas como determinamos as outras duas? O teorema da fatorização fornece-nos dois fatores lineares da nossa equação do quarto grau a partir destas duas raízes. O que podemos dizer sobre o fator restante? Bem, deve ser do segundo grau para que a distribuição do segundo membro dê um grau quatro como no primeiro. E as raízes deste fator quadrático desconhecido são as raízes restantes da nossa equação do quarto grau. Vamos começar a determinar esse fator quadrático então.

Multiplicamos os dois fatores lineares para obter um fator quadrático conhecido. Existem algumas identidades que reduzem a quantidade de cálculo necessária. Agora, podemos apenas dividir o nosso quarto grau por este fator quadrático conhecido para determinar o fator quadrático desconhecido. Em alternativa, podemos distribuir no segundo membro multiplicando todos os termos do primeiro conjunto de parênteses por cada termo do segundo conjunto e, em seguida, juntando termos semelhantes. Podemos, em seguida, comparar os coeficientes.

Por exemplo, o coeficiente de 𝑥 elevado a quatro diz-nos que 𝑎 é um. Fazemos a substituição e depois comparamos os coeficientes de 𝑥 ao cubo, descobrindo que 𝑏 menos quatro é menos 12. E assim, 𝑏 é menos oito. Novamente, ao fazer a substituição, comparamos os coeficientes de 𝑥 ao quadrado, descobrindo que 𝑐 é 16. E fazer a substituição realmente torna o segundo membro igual ao primeiro. Determinámos assim o fator quadrático desconhecido. É um 𝑥 quadrado menos oito 𝑥 mais 16. E podemos fatorizar isto como 𝑥 menos quatro ao quadrado. Tem raiz repetida de quatro. E assim, o quarto grau original também deve funcionar.

Tendo fatorizado o nosso quarto grau, lemos as raízes. As raízes são quatro, raiz repetida com multiplicidade dois; dois mais 𝑖 raiz de três, a raiz complexa que nos foi dada; e o seu complexo conjugado dois menos 𝑖 raiz de três.

Aqui estão os pontos principais que abordámos neste vídeo. O teorema fundamental da álgebra diz-nos que um polinómio de grau 𝑛 terá, quando contado com multiplicidade, 𝑛 raízes. O teorema da raiz complexa conjugada diz-nos que raízes não reais de polinómios com coeficientes reais aparecem em pares de complexos conjugados. Como resultado destes dois teoremas, podemos categorizar a natureza das raízes dos polinómios. Podemos utilizar o teorema da raiz conjugada para nos ajudar a resolver equações cúbicas e do quarto grau com coeficientes reais. E todos os polinómios de grau ímpar com coeficientes reais têm pelo menos uma raiz real.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.