Vídeo: Calculando Expressões Logarítmicas Utilizando Propriedades de Logaritmos

Encontre o valor de log₄ 1280 − 2 log₄ 2 − log₄ 5 sem usar uma calculadora.

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Transcrição do vídeo

Encontre o valor do log de 1280 na base quatro menos duas vezes o log de dois na base quatro menos o log de cinco na base quatro sem usar uma calculadora.

Então, acabamos de escrever a expressão novamente. Para descobrir o valor dessa expressão, como nos é pedido, simplificaremos isso repetidamente. A primeira coisa que podemos notar é que podemos simplificar o termo: duas vezes o log de dois na base quatro. Fazemos isso usando a lei dos logaritmos que diz: 𝑛 vezes log de 𝑎 na base 𝑏 é igual a log de 𝑎 elevado à 𝑛 na base 𝑏. E assim duas vezes log de dois na base quatro torna-se log de dois elevado à dois na base quatro.

Essencialmente, o que fizemos foi movermos a constante multiplicativa, dois, da frente de um log de dois na base quatro para se tornar o expoente do dois dentro do log. E é claro que dois elevado à dois, ou dois ao quadrado, é quatro. E assim, temos log de 1280 na base quatro menos log de quatro na base quatro menos log de cinco na base quatro. Agora todos os três termos são o logaritmo ou log de base quatro de um número, e podemos simplificar isso usando outra lei de logaritmos.

Em geral, o log de 𝑚 na base 𝑏 menos log de 𝑛 na base 𝑏 é igual a log de 𝑚 sobre 𝑛 na base 𝑏. Aplicando isto, vemos que log de 1280 na base quatro menos log de quatro na base quatro é log de 1280 sobre quatro na base quatro. E, é claro que, 1280 sobre quatro é 320. E assim nossa expressão torna-se log de 320 na base quatro menos log de cinco na base quatro.

Então agora temos outra diferença de nossos logaritmos para a mesma base; o log de 320 na base quatro menos o log de cinco na base quatro. E você já deve estar pensando qual será a próxima linha de trabalho. A regra que usamos é log de 𝑚 na base 𝑏 menos log de 𝑛 na base 𝑏 que é log de 𝑚 sobre 𝑛 na base 𝑏. E assim obtemos log de 320 sobre cinco na base. E, é claro que, isso é log de 64 na base quatro.

Nós terminamos? Bem, ainda não. Podemos simplificar ainda mais quando isso acontece. Vamos resolver 𝑥 igual a log de 64 na base quatro. A forma exponencial dessa relação é quatro elevado à 𝑥 é igual a 64. Você imagina qual o valor que 𝑥 deveria ter? Bem, sabemos que quatro elevado à três ou quatro elevado ao cubo é 64. E assim, 𝑥 é igual a três.

Então escrevemos que nossa resposta é três. Pode ser surpreendente que recebamos uma resposta tão legal de uma expressão tão complicada. Duas vezes o log de dois na base quatro é um. Mas o log de 1280 na base quatro e o log de cinco na base quatro são números irracionais. E então algo realmente bom teve que acontecer para nós obtermos uma resposta de três no final.

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