Question Video: Encontrando o Resto Resultante da Divisão de Dois Polinômios

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Encontre o resto quando quatro 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais três é dividido por dois 𝑥 menos três.

Nós configuramos isso como um problema de divisão longa polinomial, onde estamos dividindo quatro 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais três por dois 𝑥 menos três. O termo de maior grau do divisor é dois 𝑥 e o termo de maior grau do dividendo é quatro 𝑥 ao quadrado.

E nos perguntam o que é quatro 𝑥 ao quadrado dividido por dois 𝑥. A resposta é dois 𝑥. E nós colocamos isso em cima [embaixo] assim, para que se alinhe bem com o 𝑥 termo do dividendo. Tomamos dois 𝑥, multiplicamos pelo divisor, dois 𝑥 menos três e subtraímos esse produto do dividendo.

Para facilitar essa subtração, expandimos os parênteses. E agora que os termos 𝑥 e 𝑥 ao quadrado estão alinhados, é mais fácil subtrair; quatro 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 ao quadrado é zero 𝑥 ao quadrado ou apenas zero. Então, não escrevemos nada. Quatro 𝑥 menos menos seis 𝑥 é 10 𝑥, o que anotamos, mantendo-o na mesma coluna que os outros termos 𝑥. E ficamos com mais três, dos quais não subtraímos nada. Assim, descobrimos que a diferença entre esses dois polinômios é 10𝑥 mais três.

Nós ainda não terminamos; podemos dividir ainda mais. Agora, queremos dividir 10𝑥 mais três por dois 𝑥 menos três. O processo é muito parecido; perguntamos, quanto é 10𝑥 dividido por dois 𝑥? A resposta é cinco. E assim nosso quociente tem um mais cinco, que colocamos na mesma coluna que os outros termos constantes.

E agora, precisamos subtrair cinco vezes o divisor dois 𝑥 menos três para descobrir o que resta. Como antes, expandimos esses parênteses para facilitar essa subtração. Ao subtrair, obtemos três menos menos 15, que são 18.

Podemos ir mais longe? Não podemos dividir 18 por dois 𝑥 sem entrar no mundo das frações algébricas. O divisor dois 𝑥 menos três é um polinômio de grau um, enquanto o polinômio constante 18 tem grau zero. O grau de 18 é menor que o do nosso divisor dois 𝑥 menos três e, assim, paramos de dividir.

Descobrimos que nosso quociente é dois 𝑥 mais cinco, e nosso resto é 18. A resposta o resto quando quatro 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais três é dividido por dois 𝑥 menos três é, portanto, 18. E podemos ter certeza de que acertou isto verificando que o dividendo quatro 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais três é igual ao produto do quociente dois 𝑥 mais cinco e o divisor dois 𝑥 menos três mais o resto 18.