Lesson Video: Aproximação Polinomial de Taylor de uma Função

Video Transcript

Neste vídeo, aprenderemos como determinar polinómios de Taylor e utilizá-los para aproximar uma função. Veremos alguns exemplos de polinómios de Taylor de algumas funções. Esta é a forma geral de um polinómio de Taylor até à 𝑛-ésima derivada de uma função 𝑓 centrada no ponto 𝑎.

Mas para entender de onde isto vem e por que utilizamos os polinómios de Taylor, pense numa série de potências centrada em 𝑎. Sabemos que, se podemos escrever uma função como uma série de potências, descobrimos que esta é muito mais fácil de derivar e integrar. Portanto, ser capaz de escrever uma função como uma série de potências é uma ferramenta realmente útil.

Os polinómios de Taylor dão-nos um método geral para escrever uma representação em séries de potências perto de um ponto. Vamos tentar reescrever estes coeficientes em termos de 𝑓 e das suas derivadas. E primeiro assumimos que 𝑓 tem uma representação em séries de potências no ponto 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑓 tem derivadas de todas as ordens. E que o módulo de 𝑥 menos 𝑎 é menor que 𝑅, onde 𝑅 é o raio de convergência.

Centrando a nossa aproximação em 𝑎, substituindo 𝑥 igual 𝑎, determinamos 𝑓 de 𝑎 e todos os termos são anulados, exceto 𝑐 zero. Então, 𝑓 de 𝑎 é igual a zero. Em seguida, vamos derivar 𝑓 de 𝑥 para determinar 𝑓 linha de 𝑥. 𝑐 zero é uma constante. Então, isto deriva para zero. 𝑐 um multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 vai derivar para 𝑐 um. A seguir, 𝑐 dois 𝑥 menos 𝑎 ao quadrado deriva para dois 𝑐 dois 𝑥 menos 𝑎. E prosseguimos da mesma maneira. Podemos então calcular esta primeira derivada em 𝑥 igual a 𝑎. E descobrimos que todos os termos, exceto 𝑐 um, na verdade desaparecem.

Agora vamos determinar a segunda derivada de 𝑓. E fazemos isso derivando a primeira derivada de 𝑓. E a seguir, fazemos a substituição 𝑥 igual 𝑎. E descobrimos que todos os termos, exceto dois 𝑐 dois, desaparecem. Agora, lembre-se de que o nosso objetivo é reescrever estes coeficientes em termos de 𝑓 e das suas derivadas. Então, reorganizamos isto para 𝑐 dois. E descobrimos que 𝑐 dois é igual a 𝑓 duas linhas de 𝑎 sobre dois.

Em seguida, continuamos e determinamos a terceira derivada de 𝑓. Calcular esta no ponto 𝑎 dá-nos seis 𝑐 três, que se reorganiza para nos dar que 𝑐 três igual 𝑓 três linhas de 𝑎 sobre seis. Agora, se observarmos o que descobrimos para 𝑐 zero, 𝑐 um, 𝑐 dois e 𝑐 três, podemos estabelecer uma regra mais geral. Cada 𝑐 𝑛 é igual à 𝑛-ésima derivada de 𝑓 em 𝑎 sobre 𝑛 fatorial. E lembre-se de que 𝑛 fatorial é o produto de 𝑛 e todos os inteiros inferiores a este até um. Por exemplo, três fatorial é três multiplicado por dois multiplicado por um, que é seis. Portanto, isto leva-nos à seguinte definição.

O polinómio de Taylor de 𝑓 centrado em 𝑎 até à 𝑛-ésima derivada é 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 mais 𝑓 duas linhas de 𝑎 sobre dois fatorial. Multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 ao quadrado, mais 𝑓 três linhas de 𝑎 sobre três fatorial multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 ao cubo. E isto continua até à 𝑛-ésima derivada de 𝑓 em 𝑎 sobre 𝑛 fatorial multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛.

Às vezes, pode ver isto escrito como a soma de 𝑛 igual a zero até 𝑛 da 𝑛-ésima derivada de 𝑛 em 𝑎 sobre 𝑛 fatorial multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛. Há algumas coisas a serem observadas sobre esta fórmula. Às vezes, vemos 𝑓 linha de 𝑎 escrito como 𝑓 linha de 𝑎 sobre um fatorial. Mas como um fatorial é apenas um, fica exatamente na mesma.

Observe também que, embora este primeiro termo parece um pouco diferente, continua a seguir esta regra geral. Se aplicarmos a fórmula quando 𝑛 for igual a zero, então isto será 𝑓 de 𝑎. Além disso, 𝑥 menos 𝑎 elevado a zero será apenas um, porque qualquer coisa elevada a zero é um. E, finalmente, zero fatorial é definido como um. Então, podemos dizer que isto dar-nos-á 𝑓 de 𝑎.

Vamos agora ver uma representação visual de como os polinómios de Taylor nos ajudam a aproximar uma função.

Se tomarmos o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual 𝑒 elevado a 𝑥 e determinarmos o polinómio de Taylor para esta função centrado em 𝑥 igual a dois. Pode ver aqui o gráfico de 𝑒 elevado a 𝑥. E lembramo-nos da fórmula dos polinómios de Taylor. Se tentarmos aproximar isto com 𝑛 igual a zero, o nosso polinómio de Taylor é 𝑒 ao quadrado. E isso dá-nos uma linha reta, o que não é uma aproximação muito boa da nossa função.

Mas se determinarmos o nosso polinómio de Taylor até ao primeiro grau, mesmo que este ainda não seja uma ótima aproximação, podemos ver que é um pouco melhor. Mas se levarmos o polinómio de Taylor até ao segundo grau, teremos uma aproximação ainda mais melhor. E aqui estão os gráficos para 𝑛 igual a três e 𝑛 igual a quatro, o polinómio de Taylor até ao terceiro grau e o polinómio de Taylor até ao quarto grau. Podemos ver que cada vez mais a aproximação fica um pouco melhor. Portanto, quanto maior o valor de 𝑛, melhor a aproximação.

Vamos agora ver alguns exemplos de polinómios de Taylor para aproximar uma função.

Determine os polinómios de Taylor de grau dois aproximando a função 𝑓 de 𝑥 igual 𝑥 ao cubo mais dois 𝑥 menos três no ponto 𝑎 igual a dois.

Vamos começar por escrever a forma geral de um polinómio de Taylor até ao grau 𝑛 para uma função 𝑓. E nesta questão, estamos a centrar a nossa aproximação no ponto 𝑎 igual a dois. Então, fazemos a substituição 𝑎 igual a dois. Observe também que subimos apenas para o grau dois, pois é o que nos pedem para fazer na questão.

Então agora precisamos de calcular 𝑓 de dois, 𝑓 linha de dois e 𝑓 duas linhas de dois. Bem, sabemos que 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo mais dois 𝑥 menos três. E assim, 𝑓 de dois é igual a dois ao cubo mais dois multiplicado por dois menos três. Então, 𝑓 de dois é igual a nove.

Para determinar 𝑓 linha de dois, precisamos primeiro de determinar 𝑓 linha de 𝑥. Para fazer isso, derivamos 𝑓 de 𝑥, o que fazemos termo a termo utilizando a regra para potências, para obter 𝑓 linha de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado mais dois. Observe que menos três se deriva para zero porque é uma constante. E então 𝑓 linha de dois é igual a três multiplicado por dois ao quadrado mais dois, o que nos dá 14.

Para determinar 𝑓 duas linhas de dois, precisamos primeiro de determinar 𝑓 duas linhas de 𝑥, que determinamos derivando a primeira derivada, para obter seis 𝑥. Então, 𝑓 duas linhas de dois é igual a seis multiplicado por dois, que é 12.

Em seguida, substituímos estes valores no nosso trabalho. A partir daqui, podemos calcular estes fatoriais. Sabemos que o fatorial de um número é o produto deste número com todos os inteiros inferiores a este até um. Portanto, um fatorial é um multiplicado por um, que é um. E dois fatorial é dois multiplicado por um, que é dois. A partir daqui, apenas precisamos de fazer algumas simplificações. 14 sobre um é apenas 14 e 12 sobre dois é apenas seis. E isso dá-nos a resposta final: nove mais 14 multiplicado por 𝑥 menos dois mais seis multiplicado por 𝑥 menos dois ao quadrado.

Determine os polinómios de Taylor do terceiro grau aproximando a função 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑥 no ponto 𝑎 igual a nove.

Vamos começar esta questão escrevendo a fórmula geral para os polinómios de Taylor até ao grau 𝑛. E vamos começar por substituir no ponto em que estamos a centrar a nossa aproximação, em 𝑎 igual a nove. Observe também que fomos solicitados determinar os polinómios de Taylor até o terceiro grau. A partir daqui, podemos ver que precisamos de determinar 𝑓 de nove, 𝑓 linha de nove, 𝑓 duas linhas de nove e 𝑓 três linhas de nove. Para fazer isto, precisaremos de determinar 𝑓 linha de 𝑥, 𝑓 duas linhas de 𝑥 e 𝑓 três linhas de 𝑥.

Bem, sabemos pela questão que 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥, que sabemos que é o mesmo que 𝑥 elevado a um meio. Escrever desta maneira ajudar-nos-á a derivá-lo para determinar a primeira derivada. Utilizando a regra das potências, que nos diz para multiplicar pelo expoente e depois subtrair uma unidade ao expoente, dá-nos a primeira derivada. 𝑓 linha de 𝑥 é igual a um sobre dois 𝑥 elevado a menos um meio.

E, em seguida, derivamos esta para obter a segunda derivada de 𝑓. A aplicação da regra das potências novamente dá-nos que a segunda derivada de 𝑓 é menos um sobre dois multiplicada por um sobre dois 𝑥 elevado a menos três sobre dois. Mas podemos simplesmente simplificar isto para menos um sobre quatro 𝑥 elevado a menos três sobre dois.

E derivamos mais uma vez para obter a terceira derivada de 𝑓. Esta dá-nos menos três sobre dois multiplicado por menos um sobre quatro 𝑥 elevado a menos cinco sobre dois. Mas, novamente, podemos simplificar isto para nos dar três sobre oito 𝑥 elevado a menos cinco sobre dois.

Mas o que realmente queremos aqui é 𝑓 de nove, 𝑓 linha de nove, 𝑓 duas linhas de nove e 𝑓 três linhas de nove. Então, substituímos nove em cada uma destas funções. E, em seguida, substituímos os valores que determinámos novamente no nosso trabalho. E a partir daqui, só precisamos de fazer algumas simplificações para alcançar a nossa resposta final.

Se começarmos aqui com um sobre seis sobre um fatorial e recordarmos que 𝑛 fatorial é o produto de 𝑛 com todos os inteiros inferiores a este até um. Então, um fatorial é apenas um. Portanto, um sobre seis sobre um fatorial é apenas um sobre seis sobre um, que é apenas um sobre seis.

Agora vamos simplificar menos um sobre 108 dividido por dois fatorial. Bem, dois fatorial é apenas dois multiplicado por um, que é dois. Portanto, este é apenas menos um sobre 108 sobre dois. E sabemos pelas leis das frações que isso é apenas menos um sobre 108 multiplicado por dois, o que é menos um sobre 216. E, finalmente, precisamos de simplificar um sobre 648 dividido por três fatorial. Bem, três fatorial é três multiplicado por dois multiplicado por um, que é seis. Portanto, este é apenas um sobre 648 multiplicado por seis, o que nos dá um sobre 3888. Portanto, esta é a resposta final. O polinómio de Taylor do terceiro grau que aproximam a função 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 no ponto 𝑎 igual a nove.

Determine o polinómio de quarto grau da função 𝑓 de 𝑥 igual a sen de 𝑥 no ponto 𝑎 igual a 𝜋 sobre dois.

Vamos começar por escrever a forma geral de um polinómio de Taylor que se aproxima de uma função 𝑓 de 𝑥 no ponto 𝑥 igual a 𝑎. Pediram-nos para determinar o polinómio Taylor de quarto grau desta função no ponto 𝑎 igual 𝜋 sobre dois. Então, vamos escrever a nossa forma geral para um polinómio de Taylor até ao quarto grau e substituir em 𝑎 igual 𝜋 a dois.

Podemos ver aqui que precisaremos de substituir em valores de 𝑓 de 𝜋 sobre dois, a primeira derivada de 𝑓 em 𝜋 sobre dois, a segunda derivada de 𝑓 em 𝜋 sobre dois, a terceira derivada de 𝑓 em 𝜋 sobre dois e a quarta derivada de 𝑓 em 𝜋 sobre dois.

Então, vamos começar por determinar as derivadas de que precisamos. 𝑓 de 𝑥 é a função sen de 𝑥. Neste ponto, lembramo-nos deste ciclo útil, que mostra como cada uma destas funções se deriva. Então, vemos que sen de 𝑥 deriva-se para cos de 𝑥. Em seguida, 𝑓 linha de 𝑥 é igual a cos de 𝑥. E, em seguida, deriva a primeira derivada para obter a segunda derivada. E vemos que este será menos sen de 𝑥. A seguir, derivamos novamente para obter a terceira derivada, que vemos ser menos cos de 𝑥. E derivamos mais uma vez para obter a quarta derivada de 𝑓. E temos sen de 𝑥.

Mas o que realmente precisamos de fazer é calcular cada uma destas funções em 𝜋 sobre dois. Então, substituímos 𝜋 sobre dois em cada uma destas funções. Podemos resolver isto numa calculadora ou utilizando os gráficos. Então, podemos ver que sen de mais 𝜋 sobre dois dar-nos-á um. Portanto, menos sen de 𝜋 sobre dois será menos um. E podemos ver que cos de 𝜋 sobre dois é zero. Portanto, menos cos de 𝜋 sobre dois também será zero.

Portanto, agora podemos substituir estes valores de novo no nosso trabalho. Quando fazemos isso, descobrimos que dois dos nossos termos são realmente zero. A partir daqui, precisamos apenas de simplificar a nossa resposta. Lembrando que o fatorial de um número é o produto deste número e os inteiros inferiores a este até um. Então, dois fatorial é dois multiplicado por um, que é dois. E quatro fatorial é quatro multiplicado por três multiplicado por dois multiplicado por um, que é 24. Portanto, a substituição destes valores dá-nos a resposta final.

Para resumir, os polinómios de Taylor permitem-nos aproximar funções. E aqui está a forma geral do polinómio de Taylor que aproxima a função 𝑓 centrada no ponto 𝑎. Um bom lugar para começar com estas questões é determinar as derivadas necessárias e depois calculando-as no ponto 𝑎.