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Neste vídeo, aprenderemos como utilizar as propriedades das tangentes das circunferências para determinar ângulos ou comprimentos dos lados em falta. Vamos começar por lembrar o que queremos dizer com tangente.
Uma tangente a uma circunferência é uma linha reta que interseta a circunferência num único ponto. Não passa dentro da circunferência, mas apenas toca a circunferência no seu perímetro. A primeira propriedade chave que vamos considerar é esta. Qualquer tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contacto. Isto significa apenas que qualquer tangente que desenhemos a uma circunferência forma um ângulo reto com o raio da circunferência naquele ponto. A tangente também é perpendicular ao diâmetro no ponto de contacto, pois é apenas uma extensão do raio. Não entraremos em detalhes da demonstração deste teorema aqui, mas baseia-se no facto de que a menor distância entre uma reta e um ponto é a distância perpendicular entre os dois objetos.
No nosso primeiro exemplo, utilizaremos este teorema para determinar um comprimento desconhecido num diagrama que envolve uma circunferência e uma tangente.
A reta 𝐴𝐶 é tangente a uma circunferência de centro 𝑀 no ponto 𝐴. Dado que 𝐵𝑀 é igual a 55 centímetros e 𝐴𝐶 é igual a 96 centímetros, quanto é 𝐵𝐶?
Vamos começar por adicionar as informações da questão ao diagrama. 𝐵𝑀 tem 55 centímetros e 𝐴𝐶 tem 96 centímetros. Somos solicitados determinar o comprimento do segmento de reta 𝐵𝐶. Agora, podemos ver que os segmentos de reta 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 formam um triângulo. Também podemos deduzir que o comprimento do lado 𝐴𝐵 deste triângulo é de 110 centímetros. Isto porque 𝑀𝐵 e 𝑀𝐴 são raios da circunferência e, portanto, têm o mesmo comprimento. Agora sabemos dois dos comprimentos dos lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e queremos calcular o terceiro. Isto sugere que podemos querer utilizar o teorema de Pitágoras, mas só podemos fazer isto se o triângulo com o qual estamos a trabalhar for um triângulo retângulo.
Lembre-se de que a reta 𝐴𝐶 é uma tangente à circunferência e, portanto, podemos lembrar-nos de uma propriedade chave. Qualquer tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contacto. Portanto, a reta 𝐴𝐶 é perpendicular ao raio no ponto 𝐴. Este é o segmento de reta 𝐴𝑀. E, por extensão, também é perpendicular ao segmento de reta 𝐴𝐵. Portanto, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 tem um ângulo reto e, portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. 𝐵𝐶 é a hipotenusa deste triângulo, então temos que 𝐴𝐵 ao quadrado mais 𝐴𝐶 ao quadrado é igual a 𝐵𝐶 ao quadrado. Substituindo os comprimentos, 110 ao quadrado mais 96 ao quadrado é igual a 𝐵𝐶 ao quadrado. Calculando, descobrimos que 𝐵𝐶 ao quadrado é igual a 21.316. 𝐵𝐶 é a raiz quadrada deste valor, que é 146.
Então, recordando que qualquer tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contacto e, em seguida, aplicando o teorema de Pitágoras, descobrimos que 𝐵𝐶 é 146 centímetros.
A segunda propriedade chave relacionada com tangentes de circunferências é esta. Dado um ponto externo a uma circunferência, os comprimentos de duas tangentes deste ponto à circunferência são iguais. Portanto, na figura, temos um ponto 𝐴, que é exterior ao círculo 𝑀, e depois duas tangentes desenhadas deste ponto à circunferência. E o que estamos a dizer é que o comprimento 𝐴𝐵 é igual ao comprimento 𝐴𝐶. Podemos provar isto utilizando triângulos congruentes e a primeira propriedade de tangentes a circunferências. Vamos desenhar o segmento de reta 𝐴𝑀 e considerar os dois triângulos 𝐴𝐵𝑀 e 𝐴𝐶𝑀.
Sabemos desde a primeira propriedade nesta aula que cada uma das tangentes 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 é perpendicular ao raio da circunferência no seu ponto de contacto. Portanto, 𝐴𝐵 é perpendicular a 𝐵𝑀 e 𝐴𝐶 é perpendicular a 𝐶𝑀. Então, na verdade, cada um dos triângulos 𝐴𝐵𝑀 e 𝐴𝐶𝑀 são triângulos retângulos. Os segmentos de reta 𝐵𝑀 e 𝐶𝑀 são raios da circunferência e, portanto, têm o mesmo comprimento. E, finalmente, o lado 𝐴𝑀 é partilhado entre os dois triângulos. Então, utilizando o critério de congruência RHL, ângulo reto-hipotenusa-lado, estes dois triângulos são congruentes. Portanto, 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶, que são lados correspondentes nestes dois triângulos, terão o mesmo comprimento e, portanto, provámos este resultado.
Não consideraremos nenhum exemplo desta propriedade aqui. Mas as questões típicas podem incluir expressões para os comprimentos de duas tangentes desenhadas de um ponto a uma circunferência em termos de uma incógnita e a necessidade de determinar o valor desta incógnita. É claro que faríamos isto reconhecendo que os dois segmentos tangentes são iguais em comprimento, igualando as duas expressões e, em seguida, resolvendo a equação resultante para determinar o valor da incógnita.
Vamos agora considerar dois corolários deduzidos deste teorema. O primeiro é este. A reta que une um ponto exterior a uma circunferência ao centro da circunferência corta ao meio o ângulo formado por duas tangentes do ponto à circunferência e o ângulo central formado pelos dois raios que se intersetam com as tangentes.
Vamos entender o que isto significa no diagrama. Aqui temos um ponto exterior e duas tangentes desenhadas a partir deste ponto para uma circunferência. O ângulo entre estas duas tangentes está aqui e, em seguida, temos uma reta que une o ponto exterior ao centro da circunferência. O teorema diz-nos que esta reta está a dividir o ângulo entre as duas tangentes. Também temos dois raios desenhados de onde cada tangente interseta a circunferência até ao seu centro. O ângulo entre estes dois raios está aqui, e mais uma vez o teorema está a dizer-nos que a reta do ponto exterior ao centro da circunferência divide este ângulo.
O segundo corolário é este. Dado um ponto exterior a uma circunferência e duas tangentes do ponto à circunferência, a reta que une o ponto exterior e o centro da circunferência é a mediatriz da corda entre os pontos de contacto das duas tangentes. Então, no diagrama, aqui temos o ponto exterior e, em seguida, temos as duas tangentes desenhadas deste ponto até à circunferência. Aqui está a reta que une o ponto exterior ao centro da circunferência. E somos informados de que esta reta é a mediatriz da corda que une os pontos de contacto das duas tangentes.
Vamos agora considerar um exemplo no qual aplicamos um destes resultados.
Dado que a amplitude do ângulo 𝑀𝐴𝐶 é igual a 36 graus, determine a amplitude do ângulo 𝐵𝐴𝑀 e a amplitude do ângulo 𝐴𝑀𝐶.
Começaremos por adicionae as informações da questão ao diagrama. A amplitude do ângulo 𝑀𝐴𝐶 é 36 graus. Precisamos de determinar as amplitudes dos ângulos 𝐵𝐴𝑀 e 𝐴𝑀𝐶. Primeiro, devemos saber que 𝐴 é um ponto exterior à circunferência. Os segmentos de reta 𝐴𝐶 e 𝐴𝐵 são tangentes à circunferência, e o segmento de reta 𝐴𝑀 é o segmento de reta que une este ponto exterior ao centro da circunferência. Podemos lembrar que a reta que une um ponto exterior ao centro de uma circunferência divide o ângulo formado por duas tangentes deste ponto à circunferência. Portanto, no ponto 𝐴, as amplitudes dos ângulos 𝑀𝐴𝐵 e 𝑀𝐴𝐶 são iguais. Sabemos que a amplitude do ângulo 𝑀𝐴𝐶 é de 36 graus e, portanto, a amplitude do ângulo 𝑀𝐴𝐵 ou ângulo 𝐵𝐴𝑀 também é de 36 graus.
Agora determinaremos a amplitude do ângulo 𝐴𝑀𝐶 e, para fazer isto, consideraremos o triângulo 𝐴𝑀𝐶. 𝐴𝐶 é uma tangente à circunferência e 𝑀𝐶 é um raio. Recordamos que qualquer tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contacto e, portanto, o ângulo 𝑀𝐶𝐴 é um ângulo reto. Utilizando o facto de que a soma dos ângulos em qualquer triângulo é de 180 graus, determinamos a amplitude do ângulo 𝐴𝑀𝐶 subtraindo as amplitudes dos outros dois ângulos no triângulo 𝐴𝑀𝐶 de 180 graus, o que dá 54 graus. A amplitude do ângulo 𝐵𝐴𝑀 é de 36 graus e a amplitude do ângulo 𝐴𝑀𝐶 é de 54 graus.
Vamos agora considerar as aplicações de tangentes a um círculo em problemas que envolvem polígonos. Vamos considerar primeiro as definições de círculos inscritos e polígonos inscritos. Uma circunferência está inscrita num polígono se cada lado do polígono for tangente à circunferência. Portanto, na figura aqui, temos uma circunferência inscrita dentro de um triângulo e cada lado do triângulo é uma tangente à circunferência. Por outro lado, um polígono está inscrito numa circunferência se o polígono estiver dentro da circunferência e todos os vértices do polígono estiverem na circunferência. Portanto, nesta figura, temos um quadrilátero inscrito numa circunferência. Está dentro da circunferência e cada um dos seus vértices fica no perímetro da circunferência.
Vamos agora considerar um exemplo final que envolve circunferências inscritas e polígonos inscritos.
As circunferências concêntricas apresentadas têm raios de 16 centímetros e oito centímetros. Determina a área do triângulo arredondada com duas casas decimais.
Olhando para o diagrama, notamos primeiro que a circunferência menor está inscrita dentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶, pois cada um dos lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é tangente à circunferência menor. O próprio triângulo 𝐴𝐵𝐶 está inscrita dentro da circunferência maior, pois cada um dos seus vértices está no perímetro da circunferência maior. Portanto, temos uma circunferência inscrita num polígono, neste caso um triângulo, que está inscrito numa circunferência. E precisamos de determinar a área deste triângulo.
Começaremos por esboçar nos raios da circunferência maior, os segmentos de reta 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 e 𝑀𝐶, cada um dos quais com 16 centímetros de comprimento. Também podemos esboçar alguns raios da circunferência menor os segmentos de reta 𝑀𝑋, 𝑀𝑌 e 𝑀𝑍, cada um dos quais com oito centímetros de comprimento. Agora, ao fazer isto, dividimos o triângulo 𝐴𝐵𝐶 em seis triângulos menores. Será realmente útil se estes triângulos forem congruentes. Então, vamos ver se podemos provar isso. Cada triângulo tem um lado de oito centímetros de comprimento e um lado de 16 centímetros de comprimento. Como a circunferência menor está inscrita dentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶, cada lado de 𝐴𝐵𝐶 é tangente à circunferência menor.
Lembramos que qualquer tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contacto. Portanto, os ângulos 𝐶𝑌𝑀, 𝐵𝑌𝑀, 𝐵𝑋𝑀, 𝐴𝑋𝑀, 𝐴𝑍𝑀 e 𝐶𝑍𝑀 são todos ângulos retos. Mostrámos, portanto, que estes triângulos são todos triângulos retângulos, com o mesmo comprimento de hipotenusa e outro lado com o mesmo comprimento. Então, pelo critério de congruência RHL, ângulo reto-hipotenusa-lado, estes seis triângulos são congruentes um com o outro.
Vamos considerar apenas um destes triângulos então, triângulo 𝑀𝐶𝑌. Este é um triângulo retângulo, portanto a sua área pode ser determinada utilizando a fórmula base multiplicada pela altura sobre dois. Isto é 𝐶𝑌 multiplicado por 𝑀𝑌 sobre dois. Sabemos o comprimento de 𝑀𝑌. É o raio da circunferência menor, então é de oito centímetros. E para determinar o comprimento de 𝐶𝑌, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. 𝐶𝑌 ao quadrado mais oito ao quadrado é igual a 16 ao quadrado. Calculando, temos 𝐶𝑌 ao quadrado igual a 192 e, portanto, 𝐶𝑌 igual à raiz quadrada de 192 ou, na forma simplificada, oito raiz de três. A área do triângulo 𝑀𝐶𝑌 então é oito raiz de três multiplicado por oito sobre dois, que é 64 raiz de três sobre dois, que é igual a 32 raiz de três.
Para determinar a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶, precisamos de multiplicar este valor por seis, pois havia seis triângulos congruentes. Isto dá 192 raiz de três ou como um número decimal 332.5537 que continua. Com duas casas decimais, então, a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶, que inscreve a circunferência menor e está inscrito na circunferência maior, é de 332.55 centímetros quadrados.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Qualquer tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contacto. Tangentes desenhadas do mesmo ponto exterior até ao perímetro da circunferência são iguais em comprimento. A reta que une um ponto exterior ao centro de uma circunferência corta ao meio o ângulo formado por duas tangentes deste ponto à circunferência e o ângulo central formado pelos dois raios que intersetam as tangentes.
Dado um ponto exterior a uma circunferência e duas tangentes traçadas deste ponto à circunferência, a reta que une o ponto exterior e o centro da circunferência é a mediatriz da corda entre os pontos de contacto das tangentes. Uma circunferência está inscrita num polígono se cada lado do polígono for uma tangente à circunferência. E, finalmente, um polígono está inscrito numa circunferência se o polígono estiver dentro da circunferência e cada um dos vértices do polígono estiver no perímetro da circunferência.
