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Vídeo da aula: Equações Racionais Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações racionais.

16:07

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações racionais. Estas são equações que envolvem frações. Vamos recapitular como determinar denominadores comuns de um par de frações algébricas e aprender como este processo nos pode ajudar a reorganizar e, assim, resolver estes tipos de equações. Começamos por recordar que as frações algébricas obedecem às mesmas regras da aritmética que as frações numéricas obedecem. Ao multiplicar frações algébricas, multiplicamos o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda. E a seguir, repetimos este processo com os denominadores.

E quanto à divisão de frações algébricas? Bem, para dividir por uma fração algébrica ou qualquer fração, multiplicamos pelo inverso desta fração. Então, aqui, multiplicamos por um sobre 𝑥 mais um sobre quatro ou quatro sobre 𝑥 mais um. E então multiplicamos normalmente. Vamos considerar dois tipos de exemplo para adicionar e subtrair frações algébricas.

Considere um sobre três 𝑥 mais dois sobre 𝑥 ao quadrado. Para adicionar estas frações, precisamos de determinar um denominador comum. Neste caso, vemos que a maior potência de 𝑥 é dois. Mas também temos este coeficiente de três a considerar. Portanto, o denominador comum que utilizaremos será de três 𝑥 ao quadrado. Multiplicamos o numerador e o denominador da nossa primeira fração por 𝑥. E temos 𝑥 sobre três 𝑥 ao quadrado. E multiplicar o numerador e o denominador da nossa segunda fração por três dá-nos seis sobre três 𝑥 ao quadrado. Uma vez que temos um denominador comum, adicionamos simplesmente os numeradores. E assim esta fração torna-se 𝑥 mais seis sobre três 𝑥 ao quadrado. Então, às vezes, podemos determinar um denominador comum utilizando a observação.

Mas e quanto a 𝑥 sobre 𝑥 mais um menos quatro sobre 𝑥 mais três? Neste caso, não é imediatamente óbvio qual é o denominador comum. Portanto, determinamos um denominador que deve ser absolutamente comum a ambos. Este é determinado multiplicando um denominador pelo outro, dando-nos um denominador comum de 𝑥 mais um vezes 𝑥 mais três. Multiplicamos o numerador e o denominador da nossa primeira fração por 𝑥 mais três. Portanto, o numerador torna-se 𝑥 vezes 𝑥 mais três, que é 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥. E, em seguida, multiplicamos o numerador e o denominador da nossa segunda fração por 𝑥 mais um, o que nos dá quatro 𝑥 mais quatro.

Agora estamos prontos para subtrair os numeradores, tomando muito cuidado para levar em consideração o que estamos a subtrair. E assim vamos subtrair quatro 𝑥 e quatro. Isto dá-nos 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menos quatro sobre 𝑥 mais um vezes 𝑥 mais três. Então, vamos ver como aplicar este processo para nos ajudar a resolver equações algébricas.

Resolva a equação um meio é igual a dois sobre três 𝑥 menos um.

Ao pedir-nos para resolver, esta questão quer que reorganizemos para isolar 𝑥. Então, como vamos fazer isto? Existem duas técnicas e consideraremos as duas. Temos um pequeno problema aqui. E é que o 𝑥 está no denominador da nossa fração. Portanto, podemos decidir começar multiplicando tudo por três 𝑥 para contrariar isto. Se fizermos isto, precisamos de multiplicar todos os termos desta equação por três 𝑥. Então, em vez disso, vamos procurar lidar com o menos um para começar. Começamos por adicionar um a ambos os membros da nossa equação. Isto dá-nos um meio mais um igual a dois sobre três 𝑥. Podemos escrever um como um sobre um. E, em seguida, para adicioná-lo a um meio, criamos um denominador comum de dois multiplicando o numerador e o denominador desta fração por dois.

Então, temos um meio mais dois sobre dois igual a dois sobre três 𝑥. Meio mais dois sobre dois é três sobre dois. Portanto, a nossa equação é três sobre dois igual a dois sobre três 𝑥. Agora vamos lidar com aquele estranho três 𝑥 no denominador da nossa fração. E vamos contra-atacar multiplicando ambos os membros da nossa equação por três 𝑥. No primeiro membro, obtemos três sobre dois vezes três 𝑥, que podemos escrever como três sobre dois vezes três 𝑥 sobre um. E a seguir, simplesmente multiplicamos os numeradores e os denominadores para obter nove 𝑥 sobre dois. Então, no segundo membro, ficamos simplesmente com dois. Observe aqui que um erro comum será pensar que ficamos com seis 𝑥. Mas lembre-se, multiplicar por três 𝑥 é o inverso de dividir por três 𝑥. Então, o que acontece é o anulamento destes três.

A seguir, multiplicaremos por dois para nos livrar desta fração no primeiro membro. Nove 𝑥 dividido por dois vezes dois é nove 𝑥. E dois vezes dois é quatro. Lembre-se, estamos a tentar isolar 𝑥. Portanto, o nosso último passo é dividir por nove. E isto dá-nos 𝑥 igual a quatro nonos. Lembre-se, nesta fase, poderemos verificar a nossa solução em busca de 𝑥 substituindo-a de volta na equação original. Em vez disto, vamos considerar uma técnica alternativa para nos ajudar a resolver este problema. Envolve escrever o número menos um como menos um sobre um. E a seguir vamos criar um denominador comum no segundo membro.

O denominador comum de três 𝑥 e um é três 𝑥. Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador da nossa segunda fração por três 𝑥. Quando o fazemos, obtemos dois sobre três 𝑥 menos três 𝑥 sobre três 𝑥. E como os denominadores destas frações agora são equivalentes, podemos simplesmente subtrair os numeradores. E a nossa equação torna-se um meio igual a dois menos três 𝑥 sobre três 𝑥. Como fizemos no nosso método anterior, vamos multiplicar por três 𝑥 para nos livrar deste denominador. E no primeiro membro, temos três 𝑥 vezes um meio que é três 𝑥 sobre dois. Em seguida, no segundo membro, isto simplesmente elimina o nosso denominador. Então, terminamos com dois menos três 𝑥.

A seguir, multiplicaremos por dois para nos livrar do denominador no primeiro membro. Certificamo-nos de que multiplicamos tudo no segundo membro por dois. E a nossa equação agora é três 𝑥 igual a quatro menos seis 𝑥. Então, sempre que estamos a resolver uma equação com 𝑥 em ambos os membros, procuramos lidar com o menor valor de 𝑥. Aqui, isto é menos seis 𝑥. Portanto, a operação inversa é adicionar seis 𝑥 a ambos os membros. Isto dá-nos nove 𝑥 igual a quatro. E, em seguida, o nosso último passo é dividir por nove. Mais uma vez, descobrimos que 𝑥 é igual a quatro nonos.

No nosso próximo exemplo, consideraremos como podemos resolver uma equação algébrica quando a fração é igual a zero.

Determine 𝑥 dado 𝑥 menos 20 sobre 𝑥 mais 10 igual a zero.

Vamos considerar o que realmente está a acontecer na nossa equação. Temos uma fração e é igual a zero. Agora, isto não nos diz nada sobre o denominador da nossa fração. Na verdade, não nos importamos com o denominador. Para que a nossa fração seja igual a zero, o próprio numerador deve ser igual a zero, pois zero dividido por qualquer número é zero. Então, para resolver esta equação, precisamos simplesmente de resolver 𝑥 menos 20 igual a zero. E para resolver esta equação, adicionamos 20 a ambos os membros, dando-nos 𝑥 igual a 20. Podemos até querer verificar a nossa solução, substituindo-a de volta na expressão original. Quando 𝑥 é igual a 20, 𝑥 menos 20 sobre 𝑥 mais 10 é 20 menos 20 sobre 20 mais 10. Isto é zero dividido por 30, que é, obviamente, zero. Portanto, sabemos que a nossa solução 𝑥 igual a 20 está correta.

Vamos agora considerar como resolver uma equação racional que contém duas frações algébricas.

Dado que sete 𝑥 sobre 𝑥 menos três é igual a 16𝑥 sobre 𝑥 mais três menos nove, determine o valor de 𝑥.

Para resolver esta equação, começaremos olhando simplesmente para o segundo membro. Temos a soma de uma expressão racional, que é 16𝑥 sobre 𝑥 mais três, e um número inteiro. Isto é menos nove. Então, vamos começar por subtrair nove da nossa fração, criando um denominador comum. Agora, atualmente, o denominador de nove é um. Lembre-se, temos nove unidades. E vamos multiplicar o numerador e o denominador desta fração por 𝑥 mais três. Isto criará um denominador de apenas 𝑥 mais três. Isto dá-nos 16𝑥 sobre 𝑥 mais três menos nove 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais três.

Uma vez que os seus denominadores são iguais, podemos simplesmente subtrair os seus numeradores. Portanto, o nosso numerador torna-se 16𝑥 menos nove lotes de 𝑥 mais três. Vamos agora distribuir estes parênteses, lembrando que estamos a multiplicar tudo dentro por menos nove. Quando o fazemos, obtemos 16𝑥 menos nove 𝑥 menos 27 sobre 𝑥 mais três, o que simplifica para sete 𝑥 menos 27 sobre 𝑥 mais três. Vamos agora trazer para baixo o primeiro membro da nossa equação. E podemos ver que sete 𝑥 sobre 𝑥 menos três é igual a sete 𝑥 menos 27 sobre 𝑥 mais três. E temos algumas opções aqui. Poderemos subtrair uma das nossas frações para que fique com uma expressão igual a zero. Em seguida, criamos um denominador comum de 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos três.

Neste caso, porém, não faremos isto. Vamos apenas procurar livrar-nos dos denominadores das nossas frações. Para se livrar do denominador no primeiro membro, vamos multiplicar por 𝑥 menos três. Isto deixa-nos simplesmente com sete 𝑥 no primeiro membro. E à direita, estamos realmente a multiplicar por 𝑥 menos três sobre um. Então, temos sete 𝑥 menos 27 sobre 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos três sobre um. Multiplicamos normalmente multiplicando os numeradores e depois multiplicando os denominadores separadamente. E o segundo membro é agora sete 𝑥 menos 27 vezes 𝑥 menos três sobre 𝑥 mais três.

A seguir, multiplicaremos por 𝑥 mais três para nos livrar do denominador no segundo membro. E agora temos sete 𝑥 vezes 𝑥 mais três igual a sete 𝑥 menos 27 vezes 𝑥 menos três. Observe, porém, que em vez de multiplicar por 𝑥 menos três num passo e depois 𝑥 mais três em outro, poderemos ter multiplicado inicialmente por 𝑥 menos três e 𝑥 mais três e obter o mesmo resultado. Agora vamos distribuir os dois pares de parênteses. No segundo membro, isto é conseguido multiplicando tudo o que está dentro por sete 𝑥 para obter sete 𝑥 ao quadrado mais 21𝑥. E no segundo membro, multiplicamos tudo no segundo conjunto de parênteses por sete 𝑥 e depois por menos 27. E isto dá-nos sete 𝑥 ao quadrado menos 21𝑥 menos 27𝑥 mais 81. Isto no segundo membro simplifica para sete 𝑥 ao quadrado menos 48𝑥 mais 81.

Estamos com o objetivo de resolver para 𝑥. Então, vamos começar a subtrair sete 𝑥 ao quadrado de ambos os membros da nossa equação. Isto tem o efeito de eliminar apenas 𝑥 quadrados. E ficamos com 21𝑥 igual a menos 48𝑥 mais 81. Em seguida, adicionamos 48𝑥 para obter 69𝑥 igual a 81. E, finalmente, dividimos por 69. Ao fazer isto, descobrimos que 𝑥 é igual a 81 sobre 69, o que simplifica dividindo por três a 27 sobre 23. E assim o valor de 𝑥 que satisfaz a nossa equação é 27 sobre 23.

Veremos agora como podemos resolver uma equação algébrica que envolve três frações.

Resolva três sobre 𝑛 ao quadrado menos quatro mais um sobre 𝑛 mais dois igual a dois sobre 𝑛 menos dois.

Temos três frações algébricas. E há várias maneiras de resolver isto. A chave para qualquer um destes métodos, porém, é identificar que 𝑛 ao quadrado menos quatro pode ser fatorizado. Podemos escrevê-lo utilizando a diferença de dois quadrados. Escrevemos como 𝑛 menos duas vezes 𝑛 mais dois. E a seguir, percebemos que este é o produto dos nossos outros dois denominadores. Portanto, poderemos criar um denominador comum de 𝑛 menos dois vezes 𝑛 mais dois e reunir todos os nossos termos no primeiro membro. Alternativamente, poderemos subtrair um sobre 𝑛 mais dois de ambos os membros da nossa equação. Vamos ver como ficará.

A nossa equação torna-se três sobre 𝑛 ao quadrado menos quatro igual a dois sobre 𝑛 menos dois menos um sobre 𝑛 mais dois. A seguir, multiplicaremos o numerador e o denominador da nossa primeira fração por 𝑛 mais dois e da segunda por 𝑛 menos dois, criando um denominador comum de 𝑛 menos dois vezes 𝑛 mais dois. Os numeradores do segundo membro tornam-se, respetivamente, dois vezes 𝑛 mais dois e um vezes 𝑛 menos dois. E, de facto, vimos que poderemos escrever o denominador no primeiro membro como 𝑛 menos dois vezes 𝑛 mais dois.

Agora, os denominadores são iguais no segundo membro. Vamos subtrair um vezes 𝑛 menos dois de dois vezes 𝑛 mais dois. E a expressão no primeiro membro torna-se dois vezes 𝑛 mais dois menos um vezes 𝑛 menos dois sobre 𝑛 menos dois vezes 𝑛 mais dois. Observe agora que os denominadores destas duas frações são iguais. E disseram-nos que as frações em si são iguais. Então, isto significa que os nossos numeradores também devem ser iguais. Portanto, três deve ser igual a dois vezes 𝑛 mais dois menos um vezes 𝑛 menos dois.

Vamos distribuir estes parênteses, lembrando que, no nosso segundo conjunto de parênteses, estamos a multiplicar tudo por menos um e a nossa equação fica três igual a dois 𝑛 mais quatro menos 𝑛 mais dois. Simplificamos o segundo membro para obter 𝑛 mais seis. E agora vemos que temos uma equação bastante simples que podemos resolver em ordem a 𝑛. Subtraímos seis de ambos os membros, dando-nos 𝑛 igual a três. Portanto, a solução para a nossa equação é 𝑛 igual a menos três.

Lembre-se, poderemos verificar a solução substituindo-a na equação original e certificando-nos de que ambos os membros são iguais.

No nosso exemplo final, veremos como resolver uma equação em que temos expressões racionais a ser divididas.

Resolva 𝑥 mais um sobre 𝑥 menos um dividido por dois 𝑥 mais 10 sobre 𝑥 mais um é igual a um meio.

Há muita coisa a acontecer aqui. Mas observe que o primeiro membro é a divisão de duas frações algébricas. Então, vamos lidar com isto primeiro. Lembramos que, para dividir por uma fração, multiplicamos pelo inverso desta fração. O inverso de dois 𝑥 mais 10 e 𝑥 mais um é 𝑥 mais um sobre dois 𝑥 mais 10. Então, vamos calcular 𝑥 mais um sobre 𝑥 menos um vezes 𝑥 mais um sobre dois 𝑥 mais 10. Observe que um método alternativo que temos para dividir frações algébricas é criar um denominador comum e simplesmente dividir os numeradores. Neste caso, isto pode ser um pouco mais longo.

Uma vez que temos esta forma, uma vez que estamos essencialmente a multiplicar duas frações, multiplicamos simplesmente os seus numeradores e, em seguida, multiplicamos individualmente os seus denominadores. Portanto, a fração agora é 𝑥 mais um vezes 𝑥 mais um sobre 𝑥 menos um vezes dois 𝑥 mais 10. Vamos distribuir estes parênteses. Ao fazer isto, obtemos 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um sobre dois 𝑥 ao quadrado menos [mais] oito 𝑥 menos 10. Vamos trazer para baixo o segundo membro da nossa equação, de modo que toda a nossa expressão racional seja igual a um meio.

Agora queremos eliminar o denominador das nossas frações. Vamos começar por multiplicar ambos os membros por dois 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 menos 10. Agora, poderíamos, se quiséssemos, multiplicar os dois membros por dois. Mas não precisamos de fazer isto aqui. E isto porque o segundo membro da nossa equação torna-se um meio vezes dois 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 menos 10. Observe que cada termo na nossa expressão quadrática aqui é um múltiplo de dois. Então, vamos multiplicar cada termo individualmente por um meio. E assim o segundo membro fica 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 menos cinco. Vamos subtrair 𝑥 ao quadrado de ambos os membros da nossa equação.

E como estamos a resolver, queremos isolar 𝑥. Então, vamos lidar com o menor número de 𝑥. Vamos subtrair dois 𝑥 de ambos os membros. Isto dá-nos um igual a dois 𝑥 menos cinco. Em seguida, adicionamos cinco a ambos os membros para obter seis igual a dois 𝑥. E, finalmente, dividimos por dois, dando-nos uma solução 𝑥 igual a três.

Neste vídeo, recapitulamos o facto de que as frações algébricas obedecem às mesmas regras de aritmética que as frações numéricas obedecem. Vimos que podemos utilizar estas regras para nos ajudar a resolver equações que envolvem frações algébricas reorganizando-as para isolar 𝑥. Finalmente, vimos que, se estivermos a trabalhar com uma fração algébrica igual a zero, podemos simplesmente definir o seu numerador igual a zero e resolver em ordem a 𝑥.

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