Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a projeção de um ponto, um segmento de reta, um raio ou uma reta em outra reta e encontrar o comprimento da projeção. Mas antes de fazermos isso, vamos em frente e revisar a definição de pontos, retas, segmentos de reta e raios.
Em matemática, um ponto é um local exato. Não tem tamanho, apenas posição. No entanto, como isso seria muito difícil de desenhar, representamos um ponto como um ponto. Um ponto não tem dimensões. Passando para uma reta, na geometria, uma reta é reta; não tem dobras. Também não tem espessura e se estende em ambas as direções sem fim. Uma reta tem uma dimensão. Uma semi-reta é muito semelhante a uma reta, exceto que uma semirreta tem um ponto em uma extremidade. Em outras palavras, um raio se estende apenas em uma direção infinitamente. Também devemos considerar um segmento de reta. Um segmento de reta possui dois pontos finais. Não se estende infinitamente em nenhuma direção.
Também queremos considerar duas relações diferentes que retas, raios e segmentos de reta podem ter um com o outro. Perpendicular significa em ângulo reto com. Se duas retas são perpendiculares, elas se cruzam em um ângulo de 90 graus. Isso, é claro, pode ser verdade para uma semeadura e uma reta, um segmento de reta e uma reta, um segmento de reta e uma semirreta ou qualquer combinação desses tipos. Também queremos considerar o que significa paralela. As retas paralelas estão sempre à mesma distância e nunca se cruzam. E, novamente, essas mesmas propriedades se aplicariam a raios e segmentos de reta. Usando esses conceitos, vamos explorar a projeção.
Primeiro, vamos explorar a ideia de projetar um ponto em uma reta. Aqui temos algum ponto e temos uma reta a alguma distância do ponto. Para encontrar uma projeção desse ponto na reta, podemos imaginar uma fonte de luz perpendicular à nossa reta alvo. Se pensarmos na imagem na tela de abertura, podemos imaginar que essa fonte de luz é um laser. O ponto chave aqui é que o feixe de luz do laser precisa ser perpendicular à nossa reta alvo. Assim que tivermos uma fonte de luz perpendicular à nossa reta alvo, queremos imaginar que tipo de sombra isso criará em nossa reta alvo. Se este laser perpendicular à reta alvo passar pelo nosso ponto, a sombra criada seria outro ponto. A sombra deste ponto nesta reta mais distante é apenas um ponto. Então, onde essa sombra cairia é a projeção.
Se é assim que se parece a projeção de um ponto em uma reta, como você acha que será a projeção de um segmento de reta em uma reta? Novamente, teremos uma reta alvo e algum segmento de reta que queremos projetar em nossa reta alvo. Assim como quando estávamos projetando um ponto em uma reta, precisaremos considerar a fonte de luz perpendicular à nossa reta alvo. Fazendo isso, podemos ver que nosso ponto final da nossa primeira reta se torna parte da projeção. No entanto, quando estamos lidando com um segmento de reta, devemos pensar na fonte de luz sendo todas as retas paralelas perpendiculares à reta alvo. Uma vez que fazemos isso, vemos que nossa projeção tem dois pontos finais, mas que a projeção completa, a sombra completa, seria outro segmento de reta. A projeção de um segmento de reta em uma reta será outro segmento de reta.
Observe que, pelo menos neste caso, parece que nossa reta alvo e nosso segmento de reta são paralelos. No entanto, nem sempre será esse o caso. Vamos imaginar esse novo segmento de reta que queremos projetar na mesma reta alvo. Podemos visualizar isso com uma fonte de luz perpendicular à nossa reta alvo. Existem mais fontes de luz que são paralelas a essa reta perpendicular. Fazendo isso, podemos ver os pontos finais de nossa projeção, e a sombra seria o segmento entre esses dois pontos finais. Novamente, vemos que a projeção de um segmento de reta em uma reta será um segmento de reta. Nesse caso, a projeção tem um comprimento diferente do segmento de reta original; é um pouco mais curto. Mas veremos um exemplo de como calcular esses comprimentos mais tarde.
Antes de olharmos para os problemas de exemplo, vamos considerar um outro caso. Queremos considerar o que acontece se projetarmos uma semirreta em uma reta. Novamente, teremos nossa reta alvo e, em seguida, teremos um raio que queremos projetar em nossa reta alvo. Lembre-se, para fazer essa visualização, queremos que a reta da fonte de luz seja perpendicular à nossa reta alvo. E a nossa fonte de luz também pode incluir quaisquer retas paralelas à inicial, ou seja, todas as retas que são perpendiculares à nossa reta alvo.
Então, inicialmente, vemos a projeção do ponto final. Mas precisamos pensar com cuidado sobre esse raio porque um raio não tem uma segunda extremidade. Vemos que esse espaço faria parte da projeção; seria parte da sombra. Porque um raio continua indefinidamente em um lado, temos que dizer que a projeção desse raio continuaria indefinidamente em um lado. Poderíamos continuar adicionando essas retas de fonte de luz por todo o caminho. O que estamos mostrando aqui é que a projeção de um raio em uma reta produz um raio.
Antes de olharmos para alguns exemplos, precisamos fazer uma anotação rápida sobre as retas alvo. Em todos os exemplos, desenhei a reta alvo verticalmente, e isso significa a reta que representa a fonte de luz. A reta que tem que ser perpendicular à reta alvo era uma reta horizontal para que quando tivéssemos uma projeção do ponto, tivéssemos algo assim. Mas uma reta alvo não é necessariamente sempre vertical. Se, por exemplo, esta é a nossa reta alvo, então nossas retas de fonte de luz pareceriam algo assim, a chave é que encontramos projeções usando retas perpendiculares à reta alvo.
Então, se quisermos projetar um segmento de reta nessa reta, obteremos algo assim. E se tivéssemos uma reta alvo horizontal na qual quiséssemos projetar esse raio, poderíamos visualizar isso com uma fonte de luz vertical. E nós teríamos uma proteção parecida com esta. Usando todas essas informações, estamos prontos para resolver alguns problemas de exemplo.
Qual é a projeção do segmento de reta 𝐴𝐷 na reta 𝐴𝐶?
Primeiro de tudo, queremos saber qual é a nossa reta alvo. Esta é a reta em que nossa projeção cairá. Como queremos saber a projeção do segmento de reta 𝐴𝐷 na reta 𝐴𝐶, a reta 𝐴𝐶 é a nossa reta alvo. Primeiro, identificamos a reta 𝐴𝐶 e, em seguida, precisamos do segmento do qual queremos fazer uma projeção, que é 𝐴𝐷. Para visualizar uma projeção, precisamos visualizar uma fonte de luz perpendicular à nossa reta alvo. Neste diagrama, já temos um segmento de reta perpendicular à nossa reta alvo. Esse é o segmento de reta 𝐷𝑀. Usaremos retas paralelas a 𝐷𝑀 para encontrar essa projeção.
Se quisermos saber que tipo de sombra esse segmento de reta 𝐴𝐷 criaria, ele ficaria entre 𝐴 e 𝑀 em nossa reta alvo, com o segmento de reta 𝐴𝑀 sendo sua sombra. Essa parte da sombra é a projeção. E assim dizemos que a projeção do segmento de reta 𝐴𝐷 na reta 𝐴𝐶 seria o segmento de reta 𝐴𝑀.
Vamos ver outro exemplo de um segmento de reta sendo projetado em uma reta.
Qual é a projeção do segmento de reta 𝐴𝐷 na reta 𝐵𝐶?
Quando estamos trabalhando com esse tipo de projeção, sempre queremos considerar a reta alvo primeiro, a reta na qual a projeção cairá. Nesse caso, é a reta 𝐵𝐶, então mostraremos que a reta 𝐵𝐶 é a nossa reta alvo. O segmento que estamos usando e que queremos projetar é 𝐴𝐷, esse segmento. Devemos notar que nosso segmento de reta que queremos fazer a projeção é perpendicular à nossa reta alvo. Quando tentamos visualizar uma projeção, sempre usamos retas perpendiculares à reta alvo. Então, como visualizamos o segmento de reta 𝐴𝐷?
Imagine que temos uma fonte de luz laser onde ela brilha uma luz perpendicular à nossa reta 𝐵𝐶. Que tipo de sombra vai criar? Bem, quando atingir o ponto 𝐴, fará um ponto como uma projeção. Sua sombra será apenas o ponto 𝐷. Podemos visualizar isso um pouco melhor se tirarmos do triângulo. Uma vez que nossa fonte de luz atinja o ponto 𝐴, sua sombra será apenas um ponto. Não será um segmento de reta. E assim a projeção do segmento de reta 𝐴𝐷 na reta 𝐵𝐶 é o ponto 𝐷.
Em nosso próximo exemplo, usaremos o que sabemos sobre projeções e o que sabemos sobre triângulos retângulos para encontrar alguns comprimentos ausentes em uma figura.
Dado que 𝐴𝐵 é igual a 29, 𝐶𝐵 é igual a 20 e 𝐶𝐷 é igual a 35, calcule o comprimento da projeção do segmento de reta 𝐶𝐷 na reta 𝐴𝐷.
Antes de podermos calcular o comprimento dessa projeção, precisaremos ver qual segmento de reta é essa projeção. A reta 𝐴𝐷 é a nossa reta alvo. Essa é a reta sobre a qual a projeção cairá. E 𝐶𝐷 é o segmento de reta que usaremos para criar nossa projeção. Mas, para criar uma projeção, precisaremos de retas perpendiculares à nossa reta alvo. Como sabemos que a reta 𝐵𝐶 e a reta 𝐴𝐷 são paralelas, o ângulo 𝐵𝐶𝐴 é um ângulo interno alternativo ao ângulo 𝐶𝐴𝐷, o que significa que o segmento de reta 𝐴𝐶 é perpendicular ao segmento de reta 𝐴𝐷.
Uma vez que imaginamos a fonte de luz como o conjunto de todas as retas perpendiculares à nossa reta alvo, podemos encontrar os pontos finais de nossa projeção. Começando em 𝐶, a projeção do ponto 𝐶 sobre 𝐴𝐷 seria o ponto 𝐴 e a projeção do ponto 𝐷 sobre 𝐴𝐷 seria ele mesmo. E isso significa que a projeção de 𝐶𝐷 será igual a 𝐴𝐷. Este é o valor do qual queremos calcular o comprimento. Para fazer isso, vamos limpar nossas retas de fonte de luz e pensar sobre o que sabemos sobre triângulos retângulos.
Primeiro de tudo, sabemos que 𝐴𝐵 tem uma medida de 29 e 𝐶𝐵 tem uma medida de 20 e 𝐶𝐷 tem uma medida de 35. O que temos em nossa figura são dois triângulos retângulos separados que compõem esse quadrilátero. E assim nos lembramos que podemos encontrar comprimentos laterais em triângulos retângulos usando o teorema de Pitágoras, onde 𝑎 e 𝑏 representam os dois lados menores e 𝑐 representa a hipotenusa. 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. Para usar o teorema de Pitágoras, você precisa de pelo menos dois dos comprimentos. Como não sabemos o comprimento de 𝐴𝐶, não podemos encontrar o comprimento de 𝐴𝐷. No entanto, podemos usar as informações sobre o triângulo menor 𝐴𝐵𝐶 para resolver o comprimento do lado 𝐴𝐶 primeiro.
Quando substituímos o que sabemos, obtemos 20 ao quadrado mais 𝐴𝐶 ao quadrado igual a 29 ao quadrado. 400 mais 𝐴𝐶 ao quadrado é igual a 841. Então, vamos subtrair 400 de ambos os lados da equação e teremos 𝐴𝐶 ao quadrado igual a 441. Depois disso, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Estamos interessados apenas na raiz quadrada positiva, pois estamos lidando com distância e, portanto, vemos que 𝐴𝐶 é igual a 21. Agora que sabemos que 𝐴𝐶 é 21, sabemos duas distâncias em nosso triângulo retângulo e poderemos encontrar o comprimento lateral de nossa terceira distância 𝐴𝐷. Mas precisaremos configurar o teorema de Pitágoras pela segunda vez.
Desta vez, teremos 21 ao quadrado mais 𝐴𝐷 ao quadrado é igual a 35 ao quadrado. 441 mais 80 ao quadrado é igual a 1225. E assim subtraímos 441 de ambos os lados e obtemos 𝐴𝐷 ao quadrado igual a 784. Então, pegamos a raiz quadrada de ambos os lados. Novamente, estamos interessados apenas na raiz quadrada positiva de 784, que é 28. O segmento de reta 𝐴𝐷 será igual a 28. O segmento de reta 𝐴𝐷 é a projeção do segmento de reta 𝐶𝐷 na reta 𝐴𝐷 e tem uma medida de 28.
Antes de terminarmos com este vídeo, vamos abordar os pontos principais. Para encontrar a projeção de um ponto, segmento de reta ou raio em uma reta alvo, consideramos o conjunto de todas as retas perpendiculares à reta de destino. Tratar o conjunto de retas perpendiculares como uma fonte de luz nos permite ver a projeção como a sombra da imagem original na reta alvo. Nesta figura, temos uma imagem, nossa reta alvo, o conjunto de retas perpendiculares que criaram essa projeção.
