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Neste vídeo, aprenderemos como calcular e representar graficamente funções de valor absoluto e identificar seu domínio e imagem. Começaremos lembrando o que queremos dizer com uma função de valor absoluto. Uma função de valor absoluto contém uma função algébrica dentro de símbolos de valor absoluto. O valor absoluto de qualquer número é sua distância de zero na reta numérica.
Vamos considerar a função 𝑓 de 𝑥 que é igual ao valor absoluto, às vezes conhecido como módulo, de 𝑥. Para representar graficamente essa função, escolheremos alguns valores inteiros de 𝑥 e encontraremos alguns pares ordenados. O valor absoluto de menos dois é igual a dois, pois está dois longe de zero na reta numérica. O valor absoluto de menos um é igual a um, pois está um longe de zero na reta numérica. Isso nos leva ao fato de que o valor absoluto de qualquer número não pode ser negativo. Não estamos interessados no sinal e apenas na distância do número do zero. O valor absoluto de zero, um e dois são zero, um e dois, respectivamente.
Podemos então representar graficamente essa função no plano de coordenadas onde 𝑦 é igual a 𝑓 de 𝑥. Nossa primeira coordenada ou par ordenado é menos dois, dois. Temos então menos um, um. Nossos outros três pontos são zero, zero; um, um; e dois, dois. Conectando esses pontos, criamos um gráfico em forma de V. Isso será verdade para o valor absoluto de qualquer função linear da forma 𝑚𝑥 mais 𝑏. Vamos agora considerar alguns pontos importantes ou informações deste gráfico. O vértice do gráfico possui coordenadas zero, zero. Este é o ponto mínimo da função o valor absoluto de 𝑥. O eixo 𝑦 é uma reta de simetria. Isso significa que a equação da reta de simetria é 𝑥 igual a zero.
Sabemos que o domínio de qualquer função são os valores que podem ser inseridos na função. Como podemos substituir qualquer valor de 𝑥 em nossa função, o domínio é o conjunto de todos os números reais. Isso também pode ser escrito como o intervalo aberto menos ∞ para o intervalo aberto ∞. O intervalo são as saídas da função. São todos os valores de 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥. Todos eles ficarão acima ou no eixo 𝑥. Portanto, 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a zero. Mais uma vez, isso pode ser escrito como um intervalo, do intervalo fechado zero ao interno aberto ∞. Finalmente, vemos que o 𝑦 interceptado e o 𝑥 interceptado são ambos zero.
Veremos agora algumas perguntas em que precisamos encontrar o domínio e a imagem de uma função de valor absoluto a partir de seu gráfico.
Encontre o intervalo da função 𝑓 de 𝑥 é igual ao valor absoluto de menos dois 𝑥 menos dois.
O intervalo de uma função 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 é o conjunto de valores que 𝑦 assume para todos os valores de 𝑥 dentro do domínio de 𝑓. Para qualquer gráfico desenhado no plano de coordenadas, a imagem ou saída é todo o conjunto de valores que 𝑦 assume. Para a função 𝑓 de 𝑥, que é igual ao valor absoluto de menos dois 𝑥 menos dois, todos os nossos valores de 𝑦 estão acima ou no eixo 𝑥. Podemos, portanto, dizer que 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 deve ser maior ou igual a zero. Isso pode ser escrito usando a notação de intervalo do intervalo aberto à esquerda e à direita de zero a ∞. Temos um intervalo fechado em zero, pois a função pode ser igual a zero. Isso é denotado pelo círculo fechado ou ponto em menos um, zero. Como 𝑓 de 𝑥 nunca pode chegar a ∞, usamos um intervalo aberto para o limite superior.
Determine o domínio e a imagem da função 𝑓 de 𝑥 é igual ao valor absoluto de menos 𝑥 um mais um.
O domínio de qualquer função é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis. Quando o gráfico é desenhado no plano de coordenadas, isso é denotado por todos os valores de 𝑥 que podem ser substituídos na função. Como podemos substituir qualquer valor de 𝑥 em nossa função, o domínio é o conjunto de todos os valores reais. Isso também pode ser escrito como o conjunto de valores entre o intervalo aberto ∞ negativo e o intervalo aberto ∞. O intervalo de uma função é o conjunto de todos os valores de saída possíveis. No plano de coordenadas, são todos os valores de 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥. Podemos ver em nosso gráfico que o vértice ou ponto mínimo está em menos um, um. O intervalo da função 𝑓 é, portanto, do intervalo fechado à esquerda e aberto à direita até ∞.
O círculo sólido ou ponto em menos um, um significa que usaremos o intervalo fechado pois o valor de um está incluído em nossa imagem. A função 𝑓 de 𝑥 que é o valor absoluto de menos 𝑥 menos um mais um tem um domínio de todos os valores reais e um intervalo de um a ∞.
Em nossas próximas duas perguntas, calcularemos o domínio e a iamgem sem receber um gráfico.
Dado que 𝑎 é uma constante, qual é o domínio da função 𝑓 de 𝑥 é igual ao valor absoluto de 𝑥 mais 𝑎?
Vamos começar lembrando como é o gráfico da função, o valor absoluto de 𝑥. Este é um gráfico em forma de V com pontos mínimos ou vértice em zero, zero. Lembramos que o domínio é o conjunto de valores de entrada ou 𝑥. Isso significa que o domínio de 𝑔 de 𝑥, o valor absoluto de 𝑥, são todos valores reais. Embora não seja mencionado nesta questão, o intervalo é o conjunto de 𝑦 ou valores de saída. Como os valores de 𝑦 de 𝑔 de 𝑥 são todos maiores ou iguais a zero, a imagem de 𝑔 de 𝑥 é do intervalo aberto à esquerda e à direita de zero a ∞.
Vamos agora considerar nossa função 𝑓 de 𝑥, que é igual ao valor absoluto de 𝑥 mais 𝑎. A função 𝑓 de 𝑥 é uma translação horizontal de 𝑔 de 𝑥 𝑎 unidades para a esquerda. Se 𝑎 for um número positivo, o gráfico mudará ou transladará 𝑎 unidades para a esquerda. Se 𝑎 por outro lado fosse um número negativo, o gráfico mudaria ou transladaria para a direita. Como o gráfico acabou de transladar horizontalmente, a imagem e o domínio não foram alterados. O domínio da função 𝑓 de 𝑥 que é igual ao valor absoluto de 𝑥 mais 𝑎 é o conjunto de todos os valores reais. Isso também pode ser escrito como o conjunto de valores de menos ∞ a ∞.
Encontre o domínio e a imagem da função 𝑓 de 𝑥 é igual a menos quatro multiplicado pelo valor absoluto de 𝑥 menos cinco menos um.
Vamos começar observando como é a função geral do valor absoluto de 𝑥. Este é um gráfico em forma de V com ponto mínimo ou vértice em zero, zero. Vamos agora considerar as transformações que são feitas para obter a função 𝑓 de 𝑥. Vamos começar considerando o valor absoluto de 𝑥 menos cinco. Esta é uma translação cinco unidades para a direita. Esta função teria, portanto, um ponto ou vértice mínimo em cinco, zero. Multiplicando o valor absoluto de 𝑥 menos cinco por menos quatro resulta em uma extensão do fator de escala menos quatro. Isso significa que o gráfico será quatro vezes mais íngreme e também refletido no eixo 𝑥.
Finalmente, precisamos subtrair um dessa função. Isso resultará em uma translação de uma unidade para baixo na direção 𝑦. A função 𝑓 de 𝑥 que é igual a menos quatro multiplicada pelo valor absoluto de 𝑥 menos cinco menos um é mostrada em verde. Vamos agora remover alguns dos outros gráficos do plano de coordenadas. O vértice ou ponto máximo de 𝑓 de 𝑥 está nas coordenadas cinco, menos um. Sabemos que o domínio de qualquer função é o conjunto de 𝑥 ou valores de entrada. Como podemos inserir qualquer valor em nossa função 𝑓 de 𝑥, o domínio é o conjunto de todos os valores reais de menos ∞ a ∞.
A imagem é o conjunto de todas as saídas ou valores de 𝑦. No gráfico, podemos ver que todos esses valores são menores ou iguais a menos um. A imagem de 𝑓 de 𝑥 é, portanto, igual ao conjunto de valores no intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos ∞ a menos um.
Na pergunta final deste vídeo, calcularemos uma função de valor absoluto por substituição direta.
Um corpo estava se movendo com uma velocidade uniforme de magnitude cinco centímetros por segundo do ponto 𝐴 ao ponto 𝐶 passando pelo ponto 𝐵 sem parar. A distância entre o corpo e o ponto 𝐵 é dada por 𝑑 de 𝑡 é igual a cinco multiplicado pelo valor absoluto de oito menos 𝑡, onde 𝑡 é o tempo em segundos e 𝑑 é a distância em centímetros. Determine a distância entre o corpo e o ponto 𝐵 após cinco segundos e após 11 segundos.
Recebemos um diagrama que mostra o corpo que está prestes a se mover do ponto 𝐴 para o ponto 𝐶 através do ponto 𝐵 com uma velocidade de cinco centímetros por segundo. Embora haja muita informação nessa questão, o ponto chave é que a função 𝑑 de 𝑡 é igual a cinco multiplicado por oito menos 𝑡. 𝑑 de 𝑡 é a distância do corpo ao ponto 𝐵 após um determinado tempo. Precisamos calcular essa distância depois de cinco segundos e também depois de 11 segundos. Depois de cinco segundos, 𝑡 é igual a cinco. Portanto, precisamos calcular 𝑑 de cinco.
Isso é igual a cinco multiplicado pelo valor absoluto de oito menos cinco. Oito menos cinco é igual a três, então precisamos multiplicar cinco pelo valor absoluto de três. Como o valor absoluto de um número é sua distância de zero, o valor absoluto de três é três. Como cinco multiplicado por três é igual a 15, a distância entre o corpo e o ponto 𝐵 após cinco segundos é de 15 centímetros.
Precisamos repetir esse processo quando 𝑡 for igual a 11. Isso significa que precisamos calcular o valor de 𝑑 de 11. Isso é igual a cinco multiplicado pelo valor absoluto de oito menos 11. Oito menos 11 é igual a menos três. Como o valor absoluto de um número é sua distância de zero, o valor absoluto de menos três também é três. Na verdade, o valor absoluto de qualquer número será sempre positivo. Multiplicando cinco por três mais uma vez, vemos que a distância entre o corpo e o ponto 𝐵 após 11 segundos também é de 15 centímetros.
Em termos de nosso diagrama, podemos ver que depois de cinco segundos e 11 segundos, o corpo está à mesma distância do ponto 𝐵. Depois de cinco segundos, ele ainda está se aproximando ponto 𝐵 do ponto 𝐴. E depois de 11 segundos, passou do ponto 𝐵 e está indo em direção ao ponto 𝐶.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Neste vídeo, vimos que o valor absoluto de um número é sua distância de zero. Isso significa que o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo. O domínio de qualquer função é o conjunto de valores de entrada ou 𝑥. Vimos que ao lidar com o valor absoluto das funções lineares da forma 𝑚𝑥 mais 𝑏, o domínio era igual a todos os valores reais do intervalo aberto menos ∞ ao intervalo aberto ∞. O intervalo de uma função é o conjunto de 𝑦 ou valores de saída. Se 𝑓 de 𝑥 é igual ao valor absoluto de 𝑚𝑥 mais 𝑏, então o intervalo será do intervalo fechado zero ao intervalo aberto ∞. O intervalo conterá todos os valores de 𝑦 maiores ou iguais a zero.
Também vimos neste vídeo que as transformações do valor absoluto das funções lineares às vezes alteram a imagem, mas nunca alteram o domínio. Vimos que a função 𝑔 de 𝑥 que é igual a 𝑓 de 𝑥 menos ℎ translada a função 𝑓 de 𝑥 igual ao valor absoluto de 𝑥 horizontalmente. Ele desloca as unidades do gráfico ℎ para a direita. 𝑓 de 𝑥 mais ℎ moveria as unidades do gráfico ℎ para a esquerda. Da mesma forma, a função 𝑔 de 𝑥 que é igual a 𝑓 de 𝑥 mais 𝑘 translada a função 𝑓 de 𝑥 igual ao valor absoluto de 𝑥 verticalmente. Essa translação desloca as unidades do gráfico 𝑘 para cima. Como no exemplo anterior, 𝑓 de 𝑥 menos 𝑘 desta vez mudaria as unidades do gráfico para baixo.
Finalmente, vimos que a função 𝑔 de 𝑥 que é igual a 𝑎 multiplicada por 𝑓 de 𝑥 estica a função 𝑓 de 𝑥 igual ao valor absoluto de 𝑥. O valor de 𝑎 é o fator de escala. E se a é um número negativo 𝑎, o gráfico é refletido no eixo 𝑥. Isso significa que ele abre para baixo em vez de para cima. O gráfico em forma de V agora está de cabeça para baixo. As duas últimas transformações terão um impacto no intervalo da função de valor absoluto.
