Video: Transformando Funções: O Que Acontece às Expressões Algébricas?

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Nesta série de vídeos, analisámos o que acontece com os gráficos de funções quando os transforma de maneiras diferentes. Vimos translações verticais e horizontais e alongamentos verticais e horizontais. Agora, vamos dedicar algum tempo a perceber o que acontece com a expressão algébrica de uma função quando a transformamos.

Vimos que 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎 é uma transformação que desloca 𝑓 de 𝑥 𝑎 unidades negativas na direção O𝑥. Então, se 𝑎 for positivo, deslocará o gráfico da função para a esquerda. E se 𝑎 for negativo, deslocará o gráfico da função para a direita. Também vimos o 𝑓 de 𝑏 vezes 𝑥 alonga 𝑓 de 𝑥 por um fator de um sobre 𝑏 na direção O𝑥. E fixa o gráfico no eixo O𝑦 alonga o gráfico afastando-o do eixo O𝑦. Embora, dependendo do valor de 𝑏, possa espalmar o gráfico em direção ao eixo O𝑦.

E também dissemos que 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎 desloca a função 𝑓 de 𝑥 𝑎 unidades na direção O𝑦. Se 𝑎 for positivo, desloca o gráfico para cima. E se 𝑎 é negativo, desloca o gráfico para baixo. E vimos que 𝑏 vezes 𝑓 de 𝑥 alonga a função 𝑓 de 𝑥 um fator de 𝑏 na direção O𝑦. Agora, neste caso, vai bloquear todos os pontos no eixo O𝑥. E vai alongar o gráfico afastando-o do eixo O𝑥 ou espalmá-lo em direção ao eixo O𝑥. Portanto, existem várias coisas diferentes que podem acontecer para diferentes valores de 𝑏.

Agora vamos pensar nalgumas expressões algébricas e ver o efeito destas transformações nelas. Primeiro, vamos pensar em 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎. Assim, por exemplo, se 𝑓 de 𝑥 fosse três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um e 𝑎 fosse igual a cinco. Então, como dissemos na introdução, o gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 é deslocado cinco unidades no sentido positivo de O𝑦. Portanto, tome qualquer ponto do gráfico 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, adicione cinco à sua coordenada em 𝑦, e fará a transformação para o gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais cinco.

Ora, este é o gráfico, mas vamos pensar na expressão algébrica de 𝑓 de 𝑥 mais cinco. Bem, vamos começar com a expressão de 𝑓 de 𝑥, três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. E, a seguir, adicionaremos cinco a isto, o que simplifica para três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais seis. Agora, nesta forma aqui, é muito fácil dizer que pegámos nas coordenadas em 𝑦 que tínhamos na função 𝑓 de 𝑥 e que acabámos de adicionar cinco. Mas, nesta forma aqui, talvez não seja tão óbvio o que aconteceu em termos desta transformação, mesmo que não seja uma mudança muito dramática na expressão.

Agora, vamos pensar nas transformações do tipo 𝑏 vezes 𝑓 de 𝑥. Por exemplo, 𝑓 de 𝑥, mais uma vez, consideramos três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. E 𝑏 será igual a cinco. Se observarmos os gráficos destas duas funções: 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e 𝑦 igual a cinco vezes 𝑓 de 𝑥, tudo o que fizemos foi tomar as coordenadas em 𝑦 de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e multiplicá-las por três. Observando os gráficos destas funções, podemos ver que as coordenadas em 𝑦 de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 foram multiplicadas por cinco para nos dar as coordenadas em 𝑦 de 𝑦 igual a cinco vezes 𝑓 de 𝑥. Então, uma vez cinco dá-nos cinco. Duas vezes cinco dá-nos 10. Quatro vezes cinco dá-nos 20 e assim por diante.

Agora, olhando para a expressão da função cinco vezes 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco vezes três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. E podemos distribuir este cinco nos parênteses e simplificar a expressão para cinco 𝑓 de 𝑥 é igual a 15𝑥 ao quadrado mais 10𝑥 mais cinco. Agora, nesta forma simplificada, está praticamente na mesma forma, mas todos os coeficientes são cinco vezes maiores. Mas não é imediatamente óbvio o que esta transformação está a fazer.

Então, se olhar para a outra forma aqui, temos as mesmas coordenadas em 𝑦 que temos para 𝑓 de 𝑥, mas multiplicamo-las todas por cinco. Assim, como antes, simplificando esta expressão, acabámos por coloca-la numa forma que torna mais difícil descobrir exatamente o que a transformação estava a fazer, multiplicando todas as coordenadas em 𝑦 por cinco.

Bem, agora vamos ver as transformações do tipo 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎. Então, novamente, usaremos 𝑓 de 𝑥 igual a três ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. E vamos utilizar 𝑎 igual a cinco. E esperamos que se lembre da introdução de que uma transformação como 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎 desloca o gráfico 𝑎 unidades para a esquerda. Portanto, como 𝑎 é igual a cinco, deslocamos o gráfico 𝑓 de 𝑥 cinco unidades para a esquerda.

Veja, por exemplo, que este ponto em 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 corresponde aqui a cinco unidades para a esquerda em 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais cinco. E, da mesma forma, este ponto é transformado neste. Mas é um pouco complicado quando tentamos pensar em como será a função em termos da expressão algébrica. Em 𝑓 de 𝑥 tomámos 𝑥 e, em seguida, o quadrado e multiplicado por três. E depois multiplicamos 𝑥 por dois e adicionamos um. Então, nesta função transformada, sempre que vemos 𝑥 da função original, teremos que substituí-lo por 𝑥 mais cinco.

Então, em vez de três 𝑥 ao quadrado, obteremos três vezes 𝑥 mais cinco ao quadrado. E, em vez de dois 𝑥, obteremos dois vezes 𝑥 mais cinco. Mas o mais um no final não é afetado, então ficará como mais um. Agora precisamos de multiplicar estas expressões. E 𝑥 mais cinco tudo ao quadrado é 𝑥 ao quadrado mais 10𝑥 mais 25. E a seguir, duas vezes 𝑥 mais cinco, distribuindo o dois pelos parênteses, dá-nos dois 𝑥 mais 10. Distribuir estes três por estes parênteses aqui dá-nos três 𝑥 ao quadrado mais 30𝑥 mais 75. E, em seguida, arrumando no final, 10 mais um é 11.

Portanto, a versão simplificada e bem arrumada de 𝑓 de 𝑥 mais cinco é igual a três 𝑥 ao quadrado mais 32𝑥 mais 86, ainda é quadrática. Mas não parece uma mudança simples e óbvia transformá-la da função original três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. Então, novamente, se deixasse a sua função transformada nesta forma não simplificada, poderia ter uma pista do que estávamos a fazer é deslocar a função cinco unidades para a esquerda, onde basicamente adicionámos cinco a todos os valores do objeto 𝑥 da função. Mas se simplificou para esta forma, não é realmente um passo fácil descobrir exatamente como será esta transformação se não souber que a aplicámos em 𝑓 de 𝑥 mais cinco.

Por fim, vamos considerar as transformações de funções desta forma 𝑓 de 𝑏 vezes 𝑥. Novamente, utilizaremos o mesmo 𝑓 de 𝑥 e 𝑏 será igual a cinco. E lembre-se de que este tipo de transformação 𝑦 igual a 𝑓 de cinco 𝑥 será um alongamento vezes um sobre cinco na direção de O𝑥 em relação ao eixo O𝑦. Então, estamos de olho no eixo O𝑦. E todas as distâncias — todas as coordenadas em 𝑥 — serão multiplicadas por um quinto.

Se começássemos pela coordenada em 𝑥 de um, multiplicá-la-íamos por um quinto para fazer 0.2. E se a nossa coordenada em 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 começasse em menos dois, multiplicamo-lo por um quinto ou dividimo-lo por cinco para obter menos 0.4. Enquanto qualquer ponto que já tivesse uma coordenada em 𝑥 zero faria correspondência consigo próprio. Então podemos ver que está tudo a ser espalmado em direção ao eixo O𝑦.

Então, como será a expressão algébrica de 𝑓 de cinco 𝑥? Bem, novamente 𝑓 de 𝑥 significava que pegávamos no valor de 𝑥, púnhamo-lo ao quadrado, multiplicávamos por três. Pegávamos no valor de 𝑥 e faríamos o dobro, adicionávamo-lo à resposta anterior e adicionávamos um. Então, onde quer que vejamos 𝑥 nesta função nesta expressão, vamos substituí-lo por cinco 𝑥. E isso significa que, em vez de obter três 𝑥 ao quadrado, obteremos três vezes cinco 𝑥 ao quadrado. E em vez de apenas dois vezes 𝑥, vamos fazer dois vezes cinco 𝑥. Mas é claro que o mais um no final não é afetado por tudo isto.

Então agora temos que multiplicar isto. E cinco 𝑥 vezes cinco 𝑥 é 25𝑥 ao quadrado. E temos três vezes 25𝑥 ao quadrado. Dois vezes cinco 𝑥 é 10𝑥 e mais um. Então agora podemos arrumar isto. Portanto, na sua forma simplificada 𝑓 de cinco 𝑥 é 75𝑥 ao quadrado mais 10𝑥 mais um. Novamente, ainda é quadrática, mas não é uma mudança fácil e óbvia de transformar isto. Então, novamente, na forma simplificada, não é óbvio descobrir qual foi a transformação. Mas se a deixarmos nesta forma não simplificada aqui, podemos ver que substituímos os 𝑥’s aqui por cinco 𝑥’s aqui. E podemos descobrir qual deve ter sido a transformação.

Então, mostrei-lhe um método para transformar uma função e colocá-la numa forma simplificada, o que dificulta descobrir qual é a transformação. Então, qual é o sentido disso? Bem, é mais provável que encontre questões como esta.

Mostre que 𝑔 de 𝑥 é igual a 75𝑥 ao quadrado mais 10𝑥 mais um é uma transformação da função 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um tal que 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑓 de cinco de 𝑥.

O que vamos fazer é mostrar que esta expressão aqui é esta transformação desta expressão aqui. Então, vamos começar por dizer que 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. Em seguida, formaremos uma expressão para 𝑓 de cinco 𝑥, porque esta é a transformação que a questão diz que aconteceu. Então, vamos substituir 𝑥 na função por cinco 𝑥. E depois podemos simplificá-la passo a passo. E isso dá-nos a expressão que nos pedem na questão. E disseram-nos que era igual a 𝑔 de 𝑥. Portanto, este foi apenas um exercício para reorganizar a fórmula e escolher partes da questão.

Vejamos mais algumas questões que envolvem manipular as expressões algébricas de funções.

𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais dois. A função é deslocada 𝑎 unidades na direção O𝑦 para criar a função 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais nove. Determine o valor de 𝑎.

A questão disse-nos que a função é deslocada 𝑎 unidades, 𝑎 unidades positivas na direção O𝑦. Bem, isso significa que está a criar a função 𝑔 de 𝑥. De modo que significa que 𝑔 de 𝑥 é 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎. Agora, disseram-nos que 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais nove. Então, podemos substituir isto na nossa expressão algébrica. E disseram-nos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais dois. Então, podemos substituir isto na nossa expressão algébrica. E, finalmente, basta adicionar o 𝑎 no final. Então, agora podemos reorganizar e resolver esta expressão algébrica.

Subtrair 𝑥 ao quadrado de ambos os membros dá-me isto. Depois adicionar quatro 𝑥 aos dois membros dá-me isto. E, finalmente, subtrair dois de ambos os membros dá-me isto. 𝑎 igual a sete. E se tiver tempo suficiente, como no final de um exame, posso verificar esta resposta. Deslocar uma função 𝑎 unidades na direção O𝑦 é como fazer 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎. Portanto, se olharmos para a resposta 𝑎 igual a sete, podemos calcular 𝑓 de 𝑥 mais sete. Então temos 𝑓 de 𝑥, a nossa função 𝑓 de 𝑥 original. E adicionamos sete às coordenadas em 𝑦, como fazemos aqui. E isso dá-nos 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais nove, o que de facto é o mesmo que 𝑔 de 𝑥. Então, sabemos que temos a resposta certa.

Para o nosso próximo exemplo então.

𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 mais nove. Esta função é deslocada duas unidades positivas na direção O𝑦 e 𝑐, ou 𝑐 unidades positivas, na direção O𝑥 para formar a função 𝑔 de 𝑥 é igual a três 𝑥 mais dois. Determine o valor de 𝑐.

Agora, para deslocar uma função duas unidades na direção O𝑦, vamos transformar 𝑓 de 𝑥 em 𝑓 de 𝑥 mais dois. Estamos a adicionar dois a todas as coordenadas em 𝑦. E para deslocar 𝑐 unidades positivas na direção O𝑥, transformaríamos uma função como esta. 𝑓 de 𝑥 será transformado em 𝑓 de 𝑥 menos 𝑐. Então, combinando estas duas transformações diferentes, 𝑓 de 𝑥 será transformado em 𝑓 de 𝑥 menos 𝑐 mais dois, assim.

Agora, somos informados na questão de que formam a função 𝑔 de 𝑥. Então, isto é igual a 𝑔 de 𝑥. Portanto, embora nos tenham dado uma expressão para 𝑔 de 𝑥 aqui, elaboraremos uma expressão alternativa. E depois a diferença entre os dois nos diria o valor de 𝑐. Agora sabemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 mais nove. Então, precisamos de tentar descobrir o que é 𝑓 de 𝑥 menos 𝑐. Bem, teremos que substituir 𝑥 na função 𝑓 de 𝑥 igual com 𝑥 menos 𝑐. Então, ao invés de três vezes 𝑥, podemos ter três vezes 𝑥 menos 𝑐. E ainda teremos mais nove no fim.

Mas lembre-se de que precisamos de adicionar dois. Simplificando, 𝑔 de 𝑥 é igual a três 𝑥 menos três 𝑐 mais onze. Mas lembre-se de que sabemos que 𝑔 de 𝑥 é igual a três 𝑥 mais dois, pelo que podemos igualar estas duas coisas. Então, três 𝑥 mais dois é igual a três 𝑥 menos três 𝑐 mais onze. Subtrair três 𝑥 de ambos os membros dá-me dois igual a menos três 𝑐 mais onze. Então, acho que adiciono três 𝑐 aos dois membros e depois subtraio dois. E depois posso dividir os dois membros por três, dando-me 𝑐 igual a três.

A função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos cinco vezes 𝑥 menos dois vezes 𝑥 mais sete é deslocada cinco unidades positivas na direção do eixo O𝑥. Determine uma expressão algébrica para a função transformada.

Bem, para deslocar cinco unidades positivas na direção O𝑥, precisamos de transformar 𝑓 de 𝑥 em 𝑓 de 𝑥 menos cinco. Portanto, na nossa função aqui 𝑓 de 𝑥, precisamos de substituir 𝑥 por 𝑥 menos cinco. Então 𝑓 de 𝑥 menos cinco é igual a? Bem, em vez de 𝑥 nos primeiros parêntesis, 𝑥 menos cinco, vamos utilizar 𝑥 menos cinco, então é 𝑥 menos cinco menos cinco. E, novamente, nos próximos parênteses, vamos a substituir 𝑥 por 𝑥 menos cinco. Então, fica 𝑥 menos cinco menos dois. E nos últimos parênteses novamente, substituiremos 𝑥 por 𝑥 menos cinco. E agora tudo o que precisamos de fazer é arrumar estes parêntesis.

Bem, o primeiro 𝑥 menos cinco menos outro cinco é 𝑥 menos 10. E no segundo 𝑥 menos cinco menos outro dois é 𝑥 menos sete. E no último 𝑥 menos cinco mais sete é 𝑥 mais dois. Então, de facto, esta é a nossa resposta. A questão dizia apenas determine uma expressão algébrica. Não nos disse para multiplicar os parênteses e simplificá-la. Disseram-nos para determinar uma expressão algébrica. Então tecnicamente já o tínhamos feito com esta linha aqui. Mas acho que é uma forma descarada. Acho que arrumar esta resposta é preferível.

Por fim, a função 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 menos três vezes três 𝑥 mais dois vezes quatro menos 𝑥 é deslocada duas unidades na direção do eixo O𝑥 negativo. Determine uma expressão algébrica para a função transformada.

Agora, para deslocar duas unidades na direção do eixo O𝑥 negativo, é o mesmo que deslocar duas unidades negativas na direção O𝑥. E para o fazer, precisamos de transformar 𝑔 de 𝑥 em 𝑔 de 𝑥 mais dois. E para calcular 𝑔 de 𝑥 mais dois, substituiremos 𝑥 por 𝑥 mais dois em cada caso na função. Portanto, o primeiro parêntesis de 𝑥 menos três torna-se 𝑥 mais dois menos três. O segundo torna-se em vez de três 𝑥 mais dois três vezes 𝑥 mais dois mais dois. E o último parêntesis, em vez de quatro menos 𝑥, é quatro menos todo o 𝑥 mais dois.

Portanto, precisamos de ter um pouco de cuidado sobre como os calculamos. O primeiro é provavelmente o mais simples. 𝑥 mais dois menos três é apenas 𝑥 menos um. Agora, o segundo, vou multiplicar os parêntesis. Distribua estes três pelos 𝑥 mais dois antes de calcular isto. O que fica três 𝑥 mais seis mais dois. E os últimos parêntesis aqui estou a tirar 𝑥, mas também estou a tirar dois. Então, vou escrever isto na íntegra. Então isto torna-se quatro menos 𝑥 menos dois.

Então, agora, simplificando estes dois últimos conjuntos de parêntesis. Três 𝑥 mais seis mais dois são três 𝑥 mais oito. E nos últimos parêntesis tenho quatro menos dois dá-me dois. E depois tenho menos 𝑥. Que é dois menos 𝑥. Portanto, a minha resposta é 𝑔 de 𝑥 mais dois igual a 𝑥 menos um vezes três 𝑥 mais oito vezes dois menos 𝑥.