Vídeo: Encontrando os Limites Unilaterais de uma Função Definida por Partes

Encontre lim_ (𝑥 → −9⁻) 𝑓 (𝑥) e lim_ (𝑥 → −9⁺) 𝑓 (𝑥), onde 𝑓 (𝑥) = 78 se 𝑥< −9, 𝑓 (𝑥) = −9𝑥 - 7 se 𝑥 ≥ −9.

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Transcrição do vídeo

Determine o limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a aproximar-se de menos nove à esquerda e o limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a aproximar de menos nove à direita, onde 𝑓 de 𝑥 é definido como 78 se 𝑥 for menor que menos nove e menos nove 𝑥 menos sete se 𝑥 for maior ou igual a menos nove.

𝑓 é uma função definida por ramos. E pretendemos calcular os limites à esquerda e à direita de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima do valor menos nove para o qual a expressão algébrica que define a função é alterada. Vamos começar com o limite à esquerda, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos nove à esquerda.

É este sinal de menos em cima do menos nove que nos diz que nos estamos a aproximar pela esquerda. Ou seja, estamos a considerar apenas valores de 𝑥 que são inferiores a menos nove. E podemos ver que, para qualquer valor de 𝑥 menor que menos nove, 𝑓 de 𝑥 é apenas 78.

Porque, para este limite, não nos importamos com o que 𝑓 de 𝑥 faz quando 𝑥 é maior ou igual a menos nove, estamos a aproximar-nos pela esquerda. E assim 𝑥 é menor do que menos nove para o nosso limite. Podemos então substituir 𝑓 de 𝑥 por 78, que é como é definido quando 𝑥 é menor que menos nove.

E o limite de uma função constante como 78 é apenas esta constante. Então o limite é apenas 78. Este é o limite à esquerda calculado. E quanto ao limite à direita? Agora temos este sinal de mais em cima, que nos diz que 𝑥 está a aproximar-se de menos nove pela direita. Então, 𝑥 é maior que menos nove, mas cada vez mais perto de menos nove.

E assim, para este limite, só nos importamos com o que a função está fazendo quando 𝑥 é maior que menos nove. Quando 𝑥 é maior que menos nove, 𝑥 é certamente maior ou igual a menos nove. E 𝑓 de 𝑥 é apenas menos nove 𝑥 menos sete nesta região.

Este é agora o limite de uma função polinomial, na verdade uma função afim. E assim podemos simplesmente substituir diretamente para calcular o valor deste limite. Substituímos em menos nove e calculamos esta expressão para obter 74.

Juntando tudo isto, vemos que o valor do limite à esquerda, o limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a aproximar-se de menos nove à esquerda, é 78. E o valor do limite à direita, o limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a aproximar-se menos nove à direita, é 74.

Apenas como um aparte, vemos que os limites à esquerda e à direita têm um valor diferente, o limite à esquerda é 78, enquanto o limite à direita é 74. O limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de menos nove não existe.

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