Lesson Video: Tabelas de frequências agrupadas: estimando a mediana

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Neste vídeo, aprenderemos como estimar a mediana dos dados apresentados numa tabela de frequências agrupadas utilizando gráficos de frequências acumuladas.

Para começar, vamos lembrar o que queremos dizer com mediana de um conjunto de dados. Vamos imaginar que temos este conjunto de dados ordenado dos números três, três, cinco, sete, 10, 14, 14 e 19. A mediana de um conjunto de dados representa o valor do meio quando os valores estão por ordem crescente ou decrescente. Então, isto significa que metade dos dados está acima da mediana e metade dos dados está abaixo da mediana.

Este conjunto de dados tem oito valores. Portanto, o valor do meio estará entre o quarto e o quinto valores. Às vezes, este valor é mais fácil de calcular do que outros, mas lembra-te de que o valor do meio entre dois números é o ponto médio destes valores. Para determinar isto, consideramos o quarto valor, que é sete, e o quinto valor, que é 10, somamos e dividimos esta resposta por dois. E isto dá 8.5. Portanto, a mediana do conjunto de valores é 8.5.

Este conjunto de valores tinha um número par de valores, mas se os valores tiverem um número ímpar, então utilizamos simplesmente o valor do meio. No entanto, ao lidar com conjuntos de dados agrupados, não podemos determinar a mediana da mesma maneira. Por exemplo, digamos que temos esta tabela de frequências agrupadas. A primeira classe, zero traço, representa valores que são zero ou maiores, mas menores do que cinco, porque cinco é o limite inferior do próximo grupo. Assim, podemos observar, por exemplo, que existem três valores neste conjunto que são 10 ou maiores, mas menores que 15.

No entanto, quando se trata de tabelas agrupadas, se tivermos apenas a tabela, não podemos dizer quais são os valores originais. Este pode ser um conjunto de dados para os valores acima. Ou pode ser um conjunto totalmente diferente de valores de dados. Ambos os conjuntos de dados produziriam tabelas de frequências agrupadas idênticas. Não sabemos os valores reais de um conjunto de dados agrupados sozinho. E assim, quando estamos a utilizar uma tabela de frequências agrupadas, falamos em determinar uma estimativa para a mediana em vez da mediana real. E esta estimativa dá-nos uma boa indicação de qual pode ser a mediana. Por exemplo, neste segundo conjunto de dados possível, a mediana será 9.5. E os valores de 8.5 e 9.5 são resultados bastante semelhantes.

Agora, vamos recapitular como é que podemos utilizar uma tabela de frequências agrupadas para determinar uma frequência acumulada, porque o uso de um gráfico de frequências acumuladas é uma maneira excelente de estimar a mediana de um conjunto de dados. Existem dois tipos de frequências acumuladas: crescente e decrescente. A frequência acumulada crescente, ou geralmente simplesmente a frequência acmulada, de um valor 𝑎 indica a frequência de valores que são menores do que 𝑎. E a frequência acumulada decrescente de um valor 𝑏 indica a frequência dos valores que são maiores ou iguais a 𝑏.

Os gráficos para cada tipo de frequência cumulativa geralmente seguem estas formas. E podemos utilizar os dois tipos de gráfico para estimar a mediana de uma frequência agrupada. Para fazer isto em qualquer tipo de gráfico, desenhamos uma reta horizontal da posição mediana no eixo O𝑦 até que a reta intersete a curva. Em seguida, desenhamos uma reta vertical deste ponto para baixo até ao eixo O𝑥. E é este valor no eixo O𝑥 que é a estimativa para a mediana. Como metade dos dados está acima da mediana e a outra metade abaixo, não importa que tipo de gráfico de frequências acumuladas utilizamos para determinar uma estimativa para a mediana.

E se desenharmos as curvas de frequências acumuladas crescente e decrescente para um conjunto de dados no mesmo gráfico, o ponto em que as curvas se intersetam estaria na posição mediana. Agora veremos um exemplo em que estimamos a mediana utilizando um gráfico de frequências acumuladas.

No gráfico de frequências acumuladas seguinte, que representa as massas de algumas bolas que têm cores diferentes, determine uma estimativa da mediana. Opção (A) 1.7 kg, opção (B) 2.1 kg, opção (C) 2.7 kg, opção (D) 2.9 kg ou opção (E) 3.1 kg.

Vamos começar por observar que a frequência acumulada é um total das frequências. E a mediana de um conjunto de valores é o valor médio. Agora, neste problema, estamos a considerar várias bolas que têm massas diferentes. Se tivéssemos todas as massas das bolas, poderíamos ordená-las da mais leve para a mais pesada ou da mais pesada para a mais leve. Então, o valor mediano seria a massa da bola na posição do meio. Mas mesmo se tivéssemos as massas originais de cada bola individual, em vez de ter que indicar todas as massas por ordem, poderíamos utilizar o gráfico de frequências acuuladas para nos ajudar.

Esta primeira leitura no gráfico com um valor de 𝑥 de massa de um quilograma e um valor de 𝑦 de dois para frequência acumulada significa que existem duas bolas com massa menor do que um quilograma. E o próximo valor de sete bolas na marca de dois quilogramas não significa que sete bolas tenham uma massa de dois quilogramas. Significa que sete bolas têm massa menor do que dois quilos, e isto inclui as duas bolas que têm massa menor do que um quilo.

Então, quantas bolas tem no total o problema? Bem, olhando para o ponto mais alto no gráfico de frequências acumuladas, podemos ver que 15 bolas têm uma massa menor do que cinco quilogramas. Portanto, há 15 bolas no total. Portanto, se tivermos as 15 bolas dispostas da mais leve para a mais pesada, precisamos de calcular a posição da mediana. E a posição da mediana está a meio da frequência total. Metade de 15 é 7.5.

Em seguida, para determinar a mediana utilizando o gráfico, desenhamos uma reta horizontal a partir do eixo O𝑦 na posição da mediana de 7.5, assim, até que esta reta intersete a curva. Em seguida, desenhamos uma linha vertical para baixo deste ponto até ao eixo O𝑥. É este ponto no eixo O𝑥 que nos dá a estimativa para a mediana.

Lendo o eixo com atenção, podemos dar a resposta que uma estimativa para a massa mediana das bolas é de 2.1 kg, que foi a resposta dada na opção (B).

Devemos ter cuidado para não cometer um erro muito comum ao utilizar gráficos de frequências acumuladas para determinar a mediana. Este vem de considerar incorretamente metade do valor no eixo O𝑥. Metade das massas totais possíveis de cinco quilogramas é de 2.5 quilogramas, mas esta não é uma estimativa para a mediana. Também não devemos desenhar uma reta para cima deste ponto até à curva e, em seguida, ler o valor do eixo O𝑦. Se fizéssemos isto, apenas nos diria que aproximadamente 9.7 bolas tinham uma massa menor do que 2.5 kg, mas não nos diria nada sobre a mediana. E, portanto, devemos ter o cuidado de calcular metade da frequência acumulada final para determinar a posição da mediana e, em seguida, desenhar uma reta a partir deste ponto para estimar corretamente a mediana.

Agora veremos um exemplo em que estimamos a mediana a partir de um gráfico de frequências acumuladas decrescente.

Um empregador entrevistou 30 funcionários para determinar a distância em quilómetros do seu percurso até ao trabalho. Os dados são fornecidos no gráfico de frequências acumuladas decrescente. Determine uma estimativa para a distância pendular mediana.

Nesta questão, temos um gráfico de frequências acumuladas decrescente. A frequência acumulada decrescente é diferente da frequência acumulada crescente porque dizemos que a frequência acumulada descendente de um valor 𝑏 é a frequência dos valores que são maiores ou iguais a 𝑏. Num gráfico de frequência acumulada crescente, os valores são menores do que os valores. Portanto, por exemplo, as coordenadas 10, 24 indicam que 24 funcionários tiveram uma distância pendular maior ou igual a 10 quilómetros.

Agora, dado que temos esta frequência acumulada decrescente, pedem-nos para determinar uma estimativa para a mediana. E podemos lembrar que a mediana é o valor do meio quando os dados estão por ordem crescente ou decrescente. E pedem-nos uma estimativa para a mediana porque temos um conjunto de dados agrupados. Isto significa que não podemos determinar a mediana exata. Isto não significa que devemos tentar adivinhar quanto é.

Para determinar a posição da mediana, calculamos a frequência total dividida por dois. A frequência total neste problema é o número total de funcionários. Disseram-nos que houve 30 funcionários inquiridos, mas mesmo se não tivéssemos estas informações, poderíamos determiná-las a partir do gráfico. O maior valor na frequência acumulada decrescente é o primeiro valor, pois 30 trabalhadores tiveram uma distância pendular maior ou igual a zero quilómetros. A posição da mediana é, portanto, 30 sobre dois, que é 15. Se alinharmos todos os funcionários da menor distância pendular até à maior distância pendular, a distância pendular mediana pertencerá à 15ª pessoa.

Então, como é que sabemos que distância percorreram? Bem, podemos utilizar o gráfico. Desenhamos uma linha horizontal na posição da mediana, que é 15, na frequência acumulada descendente até intersetar a curva. Em seguida, desenhamos uma linha vertical para baixo até ao eixo O𝑥, o que nos dá 19. Portanto, podemos dar a resposta de que uma estimativa para a distância pendular mediana é de 19 quilómetros.

No próximo exemplo, precisamos de estimar a mediana de um determinado conjunto de dados. E fazemos isto desenhando primeiro um gráfico de frequências acumuladas.

O custo, em dólares, das latas de refrigerante em diferentes locais está registado na tabela embaixo. Determine uma estimativa para o custo mediano dos refrigerantes arredondado às centésimas.

Neste problema, temos o custo do refrigerante como uma tabela de frequências agrupadas. Se considerarmos a primeira coluna de custo, esta terá zero dólares e um hífen. Portanto, os valores neste grupo serão os custos maiores ou iguais a zero dólares, mas menores do que 50 centavos, porque este é o limite inferior da classe seguinte. E a frequência de um significa que uma lata de refrigerante estava na fronteira deste custo.

Como não sabemos o custo de cada lata individual de refrigerante, só podemos calcular uma estimativa para a mediana, que é o valor do meio quando os custos são ordenados do menor para o maior ou do maior para o menor.

Uma maneira de estimar a mediana é desenhar um diagrama de frequência acumulada. Podemos lembrar que a frequência acumulada, ou frequência acumulada crescente, de um valor 𝑎 indica a frequência de valores que são menores do que 𝑎. Agora, a melhor maneira de registar as frequências acumuladas é adicionando à tabela ou talvez até elaborando uma nova tabela.

Então, vamos elaborar uma nova tabela. E desta vez, em vez de frequência na segunda linha, temos frequência acumulada. O primeiro grupo na tabela original é de valores que são zero dólares ou mais, mas menores do que 50 centavos. No entanto, é comum incluir uma frequência acumulada inicial de zero. Neste contexto, estamos a dizer que não houve latas de refrigerante vendidas por menos de zero dólares. O segundo grupo na nova tabela seria de valores inferiores a 50 centavos. E assim podemos continuar a criar novos títulos de grupo para o custo da mesma maneira até à quantia de dois dólares.

No entanto, vamos pensar no que é que este grupo representa. Os valores neste grupo final são de dois dólares ou mais. Este grupo não tem um limite superior. Portanto, não sabemos a que valores são inferiores. No entanto, em distribuições de frequência agrupadas como esta, podemos assumir que as amplitudes das classes são todas iguais, portanto, neste caso, 50 centavos. Podemos dizer que os valores neste grupo serão de dois dólares ou mais e menores do que dois dólares e 50 centavos. Portanto, na tabela que estamos a criar, a frequência acumulada do grupo final será de valores inferiores a dois dólares e 50 centavos.

Agora, vamos calcular os valores das frequências acumuladas de cada classe. A primeira frequência acumulada diferente de zero vem do primeiro valor na tabela original. Havia uma lata de refrigerante que custava menos do que 50 centavos. A frequência acumulada seguinte é para custos inferiores a um dólar. Sabemos que havia seis latas de 50 centavos ou mais até um dólar. Mas esta lata que custa menos do que 50 centavos também é menor do que um dólar. Portanto, a frequência acumulada é a soma destes, que é sete.

Pelo próximo custo de menos de um dólar e 50, podemos fazer o mesmo. 15 latas custam um dólar ou mais, mas menos de um dólar 50. Portanto, ao adicionar 15 à frequência acumulada anterior de sete, sabemos que 22 latas custam menos de um dólar e 50. E podemos determinar as duas frequências acumuladas restantes adicionando 21 e depois sete para nos dar valores de 43 e 50.

Agora lembre-se de que fizemos isto para que possamos traçar um diagrama de frequências acumuladas. As coordenadas que traçamos no gráfico terão coordenadas em 𝑥 dos valores menores do que e as coordenadas em 𝑦 das suas respetivas frequências acumuladas. Só precisamos de ter cuidado ao desenhar a grelha para que tenhamos espaço suficiente para incluir todos os valores.

Então, aqui, temos os pontos representados e unidos por uma curva suave. E assim podemos determinar uma estimativa para a mediana. Como o valor mais alto na frequência acumulada é 50, sabemos que havia 50 latas de refrigerante. E podemos determinar a posição da mediana dividindo a frequência total, ou seja, o número total de latas, por dois. Metade de 50 é 25, o que significa que o custo mediano de uma lata de refrigerante será o custo da 25.ª lata. E podemos utilizar o gráfico para determinar uma estimativa para o custo da 25.ª lata.

Desenhamos uma linha horizontal de 25 no eixo O𝑦 até que intersete a curva e, em seguida, desenhamos uma linha vertical para baixo deste ponto ao eixo O𝑥. Lendo no gráfico, o valor do custo é 1.60. Portanto, a resposta para o custo mediano de uma lata de refrigerante é de um dólar e 60 centavos.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo.

Recapitulámos que existem dois tipos diferentes de frequências acumuladas. A frequências acumulada crescente, geralmente chamada apenas de frequência acumulada, de um valor indica a frequência de valores que são menores do que ele, enquanto a frequência acumulada decrescente de um valor indica valores que são maiores ou iguais a ele. A mediana de um conjunto de dados representa o valor do meio quando os valores são escritos por ordem.

Como observado neste vídeo, não podemos calcular uma mediana exata de uma distribuição de frequências agrupadas. Em vez disso, determinamos uma estimativa para a mediana. Podemos determinar a posição da mediana utilizando um diagrama de frequências acumuladas crescente ou decrescente, pois a posição da mediana é igual à frequência total sobre dois.

Finalmente, utilizando qualquer um dos tipos de diagrama de frequência acumulada, desenhamos uma reta horizontal a partir do valor da posição da mediana no eixo O𝑦 até que intersete a curva. E a seguir, desenhamos uma linha vertical para baixo deste ponto até ao eixo O𝑥. Este valor no eixo O𝑥 é a estimativa para a mediana.