Vídeo: O Teorema do Valor Intermédio

Neste vídeo, vamos aprender como interpretar o teorema do valor intermédio e como utilizá-lo para aproximara um zero de uma função.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos sobre o teorema do valor intermediário, um teorema muito intuitivo, porém poderoso, sobre funções contínuas. Mas antes de falarmos sobre este teorema, vamos primeiro falar sobre a funções com raiz quadrada.

Qual é a raiz quadrada de quatro? Bem, esta é fácil. Nós sabemos que é dois. E podemos verificar se é verdade fazendo o quadrado de dois, multiplicando-o por si mesmo. E, com isso, obtemos quatro. Bem, menos dois ao quadrado também é quatro. Portanto, talvez não haja nada contra a dizer que a raiz quadrada de quatro também é menos dois. Mas como queremos que a raiz quadrada seja uma função, precisamos de uma resposta única para a raiz quadrada de quatro. E escolhemos a positiva. Que é dois.

Que tal a raiz quadrada de 49 sobre 25? Esta é um pouco mais complicada. Mas podemos verificar que a resposta é sete sobre cinco, fazendo o quadrado de sete sobre cinco vemos que temos 49 sobre 25. Para determinar a raiz quadrada de 10.89, pode precisar das nossas calculadoras. Mas, tendo o valor de 3.3, é fácil verificar. Podemos até verificá-lo à mão se não confiarmos nas nossas calculadoras.

Mas e a raiz quadrada de dois? A sua calculadora pode indicar que o seu valor é 1.414213562 ou algo assim. E se fizer o quadrado desse valor utilizando a sua calculadora, poderá obter a resposta dois, o que é uma boa notícia, certo? No entanto, quando faço o quadrado disto utilizando o meu computador, que é mais preciso que a minha calculadora, obtenho que, na verdade, este número ao quadrado é 1.99999999894, que é muito próximo, mas não é igual a, dois. A razão pela qual isto acontece é que este valor 1.414213562 não é exato. A expansão decimal continua 373095 e continua.

Deve saber que a raiz quadrada de dois é um número irracional. E assim, não podemos escrever como uma fração tal como sete sobre cinco. E assim, não podemos verificar se o seu quadrado é realmente dois da mesma maneira que verificamos que o quadrado de sete sobre cinco realmente era 49 sobre 25. Tampouco a expansão decimal da raiz quadrada de dois tem fim, os algarismos continuam a surgir. Portanto, não podemos calcular o seu quadrado realizando a multiplicação, como fizemos com 3.3. Na verdade, não podemos nem escrever o seu valor exato, pelo menos não como uma fração ou um número decimal. Se nos pedem para o escrever na forma exata, basta escrever a raiz quadrada de dois, o que parece ser batota de alguma forma. A raiz quadrada de dois é igual à raiz quadrada de dois. No entanto, chamamos a raiz quadrada de dois a um número real. E dizemos o mesmo para a raiz quadrada de três, que tem os mesmos problemas.

Por outro lado, dizemos que a raiz quadrada de menos um não é um número real. Porquê esta discriminação? A resposta vem do teorema do valor intermédio. Aqui está um gráfico de 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado. Podemos fazer o quadrado de números utilizando este gráfico. Por exemplo, podemos determinar um quadrado identificando um no eixo O𝑥, subindo de um no eixo O𝑥 para onde este interseta a curva e depois ler no eixo O𝑦. E lemos um ao quadrado, que é um.

Também podemos ler a raiz quadrada utilizando este gráfico. Por exemplo, para determinar a raiz quadrada de quatro, identificamos quatro no eixo O𝑦 e seguimos na outra direção ao longo da curva e depois descemos até atingir o eixo O𝑥 em dois. Portanto, a raiz quadrada de quatro é dois. Agora, para determinar a raiz quadrada de dois, podemos ir de dois no eixo O𝑦 até atingirmos a curva. E a seguir descer para o eixo O𝑥 dá-nos a raiz quadrada de dois. Se chamarmos este número 𝑐, então devemos ter 𝑐 ao quadrado igual a dois. Então, 𝑐 é a raiz quadrada de dois. Da mesma forma, podemos determinar a raiz quadrada de três.

Isso permitir-nos-á determinar a raiz quadrada de qualquer número? Bem, não exatamente, pois um número negativo não tocará na curva. Não podemos determinar a raiz quadrada da raiz de menos um desta forma. Podemos determinar as raízes quadradas de dois e três porque estes valores situam-se entre os valores de 𝑓 de um, que é um, e 𝑓 de dois, que é quatro. A função é contínua no intervalo de um a dois. E assim, o valor de 𝑦 na curva, que é o valor da imagem da função, muda suavemente de um para quatro, passando por dois e três à medida que avança. A curva deve, portanto, intersetar 𝑦 igual a dois e 𝑦 igual a três. Além disso, os valores de 𝑥 nos quais estas interseções ocorrem devem estar no intervalo de um a dois.

Podemos escrever por palavras por que pensamos que isto seja verdade. Seja 𝑓 de 𝑥 igual 𝑥 ao quadrado com dois entre 𝑓 de um, que é um, e 𝑓 de dois, que é quatro. E como 𝑓 é contínuo, deve existir um número 𝑐 que se encontra no intervalo aberto de um a dois, de modo que 𝑓 de 𝑐 seja igual a dois. Por outras palavras, 𝑐 ​​ao quadrado é dois e 𝑐 é a raiz quadrada de dois. Claro, isso não funciona apenas para a raiz quadrada de dois. Também podemos determinar a raiz quadrada de três da mesma maneira. E cinco? Bem, cinco não está entre 𝑓 de um que é um e 𝑓 de dois, que é quatro. Mas fica entre 𝑓 de dois, que é quatro, e 𝑓 de três, que é nove. E assim, deve existir 𝑐 no intervalo aberto de dois a três, de modo que 𝑓 de 𝑐 seja cinco.

Para qualquer número real positivo 𝑁, ​​podemos determinar 𝑎 e 𝑏 de modo que 𝑁 esteja entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏. E assim, a sua raiz quadrada 𝑐 deve estar entre 𝑎 e 𝑏. Aqui, temos conversado sobre a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado e descobrimos a raiz quadrada utilizando isto. Mas poderíamos facilmente falar sobre raízes cúbicas, o mesmo se aplica ou raízes quintas. De facto, a única coisa que utilizamos sobre 𝑓 é que esta é contínua. Podemos, portanto, enunciar um resultado muito geral. Se 𝑓 é contínua no intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏 e o número 𝑁 fica entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, então existe 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏, tal que 𝑓 de 𝑐 é igual a 𝑁. Pode verificar que esta é a mesma afirmação que temos em cima, apenas com 𝑓 de 𝑥 sendo contínua.

Vamos desenhar um gráfico mais geral para ilustrar isto. Temos uma função 𝑓, que é contínua no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 e 𝑁 está entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏. Então, existe 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 seja igual 𝑁. Parece ser verdade. Observe que, dependendo do valor de 𝑁, esta opção de 𝑐 pode não ser única. Pode haver muitos valores possíveis de 𝑐, mas garantimos pelo menos um. Precisamos que 𝑁 esteja entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏 para que isso aconteça. Por outras palavras, precisamos que 𝑁 seja um valor intermédio de 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏. Se 𝑁 não for um valor intermédio de 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, poderemos obter alguns valores de 𝑐. Mas não há garantias.

Por este motivo, a afirmação é chamada de teorema do valor intermédio. É um teorema porque, apesar de parecer óbvio, na verdade é algo que pode e precisa de ser provado utilizando a definição de continuidade. No entanto, a demonstração é bastante técnica, utilizando a definição técnica de continuidade. Por isso, não a veremos neste vídeo. O que veremos são muitas aplicações. Vamos ver a nossa primeira.

A figura mostra o gráfico da função 𝑓 no intervalo fechado de zero a 16, juntamente com a reta tracejada com a equação 𝑦 igual a 30. 𝑓 de zero é menor que 30 e 𝑓 de 16 é maior que 30. Mas 𝑓 de 𝑥 não é igual a 30 nalgum lugar no intervalo fechado de zero a 16. Por que é que isto não viola o teorema do valor intermédio?

Vamos apenas verificar o que nos foi dito na questão. 𝑓 de zero é menor que 30? Bem, sim, podemos ver aqui 𝑓 de zero parece ser cerca de 12. E da mesma forma, 𝑓 de 16 é maior que 30. Parece ser cerca de 32. Mas 𝑓 de 𝑥 não é igual a 30 em qualquer lugar do intervalo. Isto é verdade porque a reta tracejada 𝑦 é igual a 30 não interseta o gráfico da nossa função em lado nenhum. A questão é: por que é que isto não viola o teorema do valor intermédio? Bem, o que diz o teorema do valor intermédio? Este afirma que se uma função 𝑓 é contínua num intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏 e se o número 𝑁 está entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, os valores da função nos pontos extremos do intervalo. Então, existe 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 seja 𝑁.

Podemos ver então como pode parecer que temos um contraexemplo do teorema do valor intermédio. Definimos 𝑁 igual a 30 e observamos que 30 está entre 𝑓 de zero e 𝑓 de 16. No entanto, não existe nenhum valor 𝑐 no intervalo aberto de zero a 16 tal que 𝑓 de 𝑐 é 30. Por que é que isto não é um contraexemplo ao teorema do valor intermédio? Bem, o teorema do valor intermédio aplica-se apenas se 𝑓 é contínua. A nossa função não respeita esta hipótese necessária. Podemos ver que há uma descontinuidade aqui em 𝑥 igual a oito.

Então, por que é que isto não viola o teorema do valor intermédio? Porque a função não é contínua em 𝑥 igual a oito. E assim, não é contínua no intervalo fechado de zero a 16 o que seria necessário para a aplicação do teorema do valor intermédio. Agora que vimos que não podemos aplicar o teorema do valor intermédio em funções que não são contínuas, vamos ver por que o teorema do valor intermédio é útil para funções o que são.

Seja 𝑓 de 𝑥 igual a três elevado a 𝑥 menos 𝑥 elevado a cinco. De acordo com o teorema do valor intermédio, qual dos seguintes intervalos deve conter uma solução para 𝑓 de 𝑥 igual a zero? É o intervalo fechado de dois a três, o intervalo fechado de zero a um, o intervalo fechado de menos três a menos dois, o intervalo fechado de um a dois ou o intervalo fechado de menos dois a menos um?

Então, nós temos uma função. Como podemos utilizar o teorema do valor intermédio para dizer qual destes intervalos tem uma raiz desta função, uma solução para 𝑓 de 𝑥 é igual a zero? Bem, vamos lembrar-nos do teorema do valor intermédio. Este afirma que se uma função 𝑓 é contínua no intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏 e 𝑁 é algum número entre os valores da função nos pontos extremos deste intervalo. Isto é 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏. Existe algum número 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 seja igual a 𝑁. A primeira coisa a notar é que a nossa função 𝑓 é contínua nos números reais e, portanto, também será contínua em qualquer um dos intervalos das opções. Portanto, esta hipótese é confirma-se.

Agora lembre-se, queremos determinar uma solução para 𝑓 de 𝑥 igual a zero. Comparando isto com 𝑓 de 𝑐 igual 𝑁, parece que queremos definir 𝑁 igual a zero. Portanto, o teorema do valor intermédio está a dizer-nos que, para a nossa função contínua 𝑓, se o zero estiver entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, então existe 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 de modo que 𝑓 de 𝑐 seja zero. Por outras palavras, se 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏 têm sinais diferentes, existe algum número 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏, que é uma raiz de 𝑓.

Portanto, para resolver esta questão, tomamos cada intervalo nas opções, começando pelo intervalo de dois a três. E se os sinais de 𝑓 de dois e 𝑓 de três forem diferentes, se um deles for positivo e um deles for negativo, sabemos que deve haver uma raiz, uma solução para 𝑓 de 𝑥 igual a zero neste intervalo. Então, vamos calcular 𝑓 de dois e 𝑓 de três. Fazemos isso utilizando a definição de 𝑓 de 𝑥 que temos na questão. Podemos calcular isto à mão ou utilizando uma calculadora, descobrindo que 𝑓 de três é menos 216 e 𝑓 de dois é menos 23. Não há mudança de sinal da função aqui. Ambos os valores são negativos.

Pelo teorema do valor intermédio, sabemos que a função 𝑓 deve assumir todos os valores entre menos 23 e menos 216, pois a sua entrada muda de dois para três. Portanto, teríamos uma solução para 𝑓 de 𝑥 igual a menos 100. Por exemplo, neste intervalo. No entanto, como zero não está entre menos 23 e menos 216, não podemos dizer que deve haver uma solução para 𝑓 de 𝑥 igual a zero neste intervalo.

Passamos para a opção B. O intervalo fechado de zero a um. Nós calculamos os valores da função nos pontos extremos. Descobrimos que 𝑓 de um é dois e 𝑓 de zero é um. Novamente, não há mudança de sinal, portanto não há garantia de zero neste intervalo. No entanto, podemos ver uma mudança de sinal entre 𝑓 de um e 𝑓 de dois. 𝑓 de um é positivo e 𝑓 de dois é negativo. O teorema do valor intermédio diz-nos que como 𝑓 é contínua no intervalo fechado de um a dois e como zero está entre 𝑓 de um, que é dois, e 𝑓 de dois, que é menos 23. Então, existe um número 𝑐 no intervalo aberto de um a dois, de modo que 𝑓 de 𝑐 seja zero. E como 𝑐 está no intervalo aberto de um a dois, este também deve estar no intervalo fechado de um a dois. E, portanto, temos uma solução para 𝑓 de 𝑥 igual a zero no intervalo fechado de um a dois. É a opção D.

Podemos — se quisermos — verificar os valores da função nos pontos extremos dos outros intervalos nas opções para ver que não há mudança de sinal nos intervalos C ou E. E assim, D é definitivamente a única resposta correta. Enquanto o teorema do valor intermédio garante-nos uma raiz ou solução para 𝑓 de 𝑥 igual a zero no intervalo de um a dois, não podemos dizer apenas com base no teorema do valor intermédio que não há raízes nos outros intervalos. Vamos ver porque não?

Se 𝑓 de 𝑥 é contínua no intervalo fechado de zero a três, 𝑓 de zero é maior que zero e 𝑓 de três é maior que zero, podemos utilizar o teorema do valor intermédio para concluir que 𝑓 de 𝑥 não possui zeros no intervalo de zero a três?

Vamos tentar esboçar este cenário num gráfico. Sabemos que 𝑓 de zero é positivo. Vamos desenhar aqui e 𝑓 de três também é positivo. Então, talvez, o gráfico passe por este ponto e 𝑓 de 𝑥 seja contínua. Isso significa que 𝑓 de 𝑥 não possui zeros no intervalo de zero a três? Bem, não. Podemos esboçar um gráfico de uma função contínua 𝑓 para a qual ambos 𝑓 de zero e 𝑓 de três são positivos, mas que possui zeros no intervalo fechado de zero a três. Portanto, esperamos não poder utilizar o teorema do valor intermédio para concluir que 𝑓 de 𝑥 não possui zeros porque simplesmente não é verdade.

Por que poderíamos pensar que o teorema do valor intermédio implica esta afirmação incorreta? O que o teorema do valor intermédio afirma é que, se 𝑓 é contínua no intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏 e 𝑁 é o número entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, existe um número 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 é igual a 𝑁. Definindo 𝑁 igual a zero, obtemos o caso especial de que se 𝑓 é uma função contínua e 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏 têm sinais opostos, existe um número 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 de modo que 𝑓 de 𝑐 seja igual zero. Por outras palavras, existe um zero da função 𝑓 no intervalo.

Este caso especial às vezes é conhecido como teorema de Bolzano. Temos que ter cuidado aqui. O teorema do valor intermédio não significa que se 𝑁 não está entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, então não existe um número 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 seja igual a 𝑁. Portanto, o caso especial não significa que se 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏 têm o mesmo sinal. Por outras palavras, se estas são positivas ou negativas, não pode existir um número 𝑐, que é a raiz de 𝑓. Esta é uma afirmação que nos perguntam na questão e não segue do teorema do valor intermédio. A nossa resposta é, portanto, não. Não podemos concluir que 𝑓 de 𝑥 não tenha zeros no intervalo de zero a três.

Vamos agora refletir sobre os pontos principais que abordámos neste vídeo. Primeiro, o enunciado do teorema do valor intermédio. Se 𝑓 é contínua no intervalo fechado 𝑎𝑏 e 𝑁 é um número entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, então existe 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 para o qual 𝑓 de 𝑐 é igual a 𝑁. Isto pode parecer óbvio para si, mas nem tudo o que é óbvio é verdade. No entanto, este é um teorema que pode ser demonstrado.

É importante interpretar o enunciado do teorema corretamente. O teorema não diz que 𝑐 deve ser único. Pode haver mais que um valor de 𝑐 no intervalo aberto para o qual 𝑓 de 𝑐 é 𝑁. O teorema também não afirma que se 𝑚 não está entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, então não há 𝑑 para o qual 𝑓 de 𝑑 é igual a 𝑀. Isto simplesmente não é verdade, como podemos ver observando o diagrama.

Também vimos que o teorema do valor intermédio pode ser utilizado para justificar a existência de zeros de funções. Pode achar que isto não é particularmente útil. Mas é uma ferramenta muito poderosa que pode ser utilizada para demonstrar coisas que não são de todo óbvias.

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