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Vídeo: Sistemas de Equações Lineares — Eliminação

Aprenda a utilizar o método de eliminação para encontrar o valor de duas variáveis em um sistema de duas equações lineares. Em um exemplo, uma das variáveis tem o mesmo coeficiente em ambas as equações e, no outro, nenhuma variável tem o mesmo coeficiente.

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Transcrição do vídeo

Sistemas de Equações Lineares — Eliminação

Então, vamos resolver esse sistema de equações lineares para 𝑥 e 𝑦 usando o método da eliminação. Portanto, há etapas que precisamos seguir absolutamente todas as vezes para poder usar esse método. E o primeiro passo que precisamos fazer é nomear as equações um e dois.

E a razão pela qual fazemos isso é para nos ajudar quando estamos tentando descobrir o que realmente estamos calculando nos últimos passos, e para que saibamos exatamente o que fizemos. Agora, a próxima coisa que precisamos fazer é realmente verificar se os coeficientes são os mesmos na frente dos 𝑥s ou dos 𝑦s. Então, nesse caso, podemos ver que os coeficientes não são os mesmos na frente do 𝑥, mas eles são os mesmos na frente dos 𝑦s, então verificamos. E se verificarmos e eles não forem, vamos ver isso no próximo exemplo. Então, o segundo passo é verificar se o coeficiente é o mesmo.

O terceiro passo é se os sinais são os mesmos, você subtrai. Podemos ver que os sinais são os mesmos na frente do 𝑦s, então vamos subtrair uma equação da outra. E nesse caso, podemos ver que é mais fácil, pois a segunda equação é maior que a primeira. Nós temos três 𝑥 e temos nove e sete, então vamos fazer a segunda menos a primeira.

E é aí que os nossos nomes começam a ser uteis, por isso temos três 𝑥 menos dois 𝑥. Bem, três 𝑥 menos dois 𝑥 é apenas 𝑥. 𝑦 menos 𝑦, eles obviamente se cancelam. Essa é a razão pela qual estamos fazendo essa subtração. E depois temos nove menos sete, o que nos dá dois. Então agora temos a resposta que 𝑥 é igual a dois. Bem, o passo quatro será colocado no um. Então, qualquer variável que calcularmos aqui, ou 𝑥 é igual a algo ou 𝑦 é igual a algo ou 𝑎 ou 𝑏 ou qualquer outra variável que tenhamos, a substituímos na equação um. Então temos dois multiplicado por dois mais 𝑦 é igual a sete.

Bem, duas vezes dois são quatro. E subtraindo quatro de ambos os lados, temos sete menos quatro que sabemos que são três, então 𝑦 é igual a três. Agora estamos prontos, mas é possível que tenhamos cometido um erro em algum lugar, então queremos ter certeza de que estamos certos. E a maneira que vamos fazer isso é substituindo o resultado em dois, então vamos fazer o check-in na segunda.

Então vamos substituir nosso valor de 𝑥 igual a dois e nosso valor de 𝑦 igual a três na equação dois para tentar descobrir se funciona. Então, teremos três multiplicado por dois, então seis, mais três, esse é o valor de 𝑦, e isso será igual a nove. Então, seis e três é igual a nove? Sim. Dê a si mesmo dois certos; você sabe que você fez isso correto.

Nós vamos seguir os mesmos passos todas as vezes com eliminação, então vamos olhar para outro sistema de equações lineares seguindo os mesmos passos para encontrar as variáveis ​​𝑥 e 𝑦 novamente. Então agora precisamos resolver para 𝑥 e 𝑦 com esse sistema de equações lineares, e podemos ver que há algumas coisas diferentes. Então, a primeira coisa que precisamos fazer é nomear as equações como antes.

Mas, desta vez, estamos verificando os mesmos coeficientes. Bem, não há os mesmos coeficientes na frente dos 𝑥s e nem na frente dos 𝑦s. Então, primeiro de tudo, temos que ver se é possível multiplicar apenas uma equação por uma constante para obter os mesmos coeficientes na frente dos 𝑥s ou 𝑦s. E a resposta para esta é não. Então, vamos ter que multiplicar ambas as equações por uma constante. Bem, nós poderíamos multiplicar ambas as equações por seis e quatro, respectivamente, mas isso é um número grande. Então, nós queremos escolher os números menores sempre. Então, teremos que multiplicar a primeira equação por três, porque esse é o coeficiente na frente do 𝑦 para a equação dois, e depois a segunda equação por dois, porque esse é o coeficiente na frente do 𝑦 para a equação um.

Então, estamos fazendo essa multiplicação para nos dar os mesmos coeficientes na frente dos 𝑦s. Então, fazendo cada um deles, nomearemos três multiplicado pela equação um. Vamos rotular essa equação de três. E depois dois multiplicados por toda a equação dois, vamos nomear essa equação de quatro.

Agora, três sejam muito, muito cuidadosos, para que você se certifique de multiplicar por cada termo, porque é onde as pessoas geralmente acabam perdendo pontos nas respostas, por não fazer a multiplicação corretamente. Então, estamos fazendo três multiplicado por seis 𝑥, o que nos dá dezoito 𝑥; então três multiplicado por dois 𝑦 nos dão seis 𝑦; e então quinze multiplicado por três são quarenta e cinco.

Então, agora, vamos para a equação quatro. Vamos multiplicar cada termo por dois. Então, primeiro, dois multiplicado por quatro 𝑥 são oito 𝑥; então dois multiplicado por três 𝑦 são seis 𝑦; então dois multiplicado por três negativos são seis negativos.

E agora finalmente completamos o segundo passo. Verificamos que os coeficientes são os mesmos na frente dos 𝑦s, de fato, porque temos seis 𝑦 na equação três e na equação quatro. Então, podemos finalmente ir para o passo três, que é: se os sinais são os mesmos que você subtrai. Bem, os sinais são os mesmos, então vamos subtrair. Se não fosse o mesmo, então teríamos que adicionar. Então podemos ver que a três é maior que a quatro, então vamos fazer a equação três menos a equação quatro.

Então, temos dezoito 𝑥, tirar oito 𝑥, é dez 𝑥. É claro que os 𝑦s serão cancelados porque temos seis 𝑦 menos seis 𝑦, o que é zero 𝑦. E então teremos quarenta e cinco menos menos seis 𝑥, tenha cuidado, então adicionamos seis. Portanto, são quarenta e cinco mais seis, que são cinquenta e um. E isso nos dá um valor de 𝑥 igual a cinquenta e um dividido por dez, então cinco ponto um.

Então, no passo quatro, substituir em um. Então, olhamos para a equação um e colocamos nosso valor 𝑥 nela. Então, temos seis multiplicado por cinco ponto um, que são trinta ponto seis. Então vamos adicionar dois 𝑦 e isso é igual a quinze. Então, subtraindo trinta ponto seis de ambos os lados, obtemos dois 𝑦 igual a menos quinze ponto seis. E então dividindo isso por dois para se livrar dos dois 𝑦, você consegue que 𝑦 é igual a menos sete ponto oito.

Ei, momento da verdade, agora podemos verificar se isso realmente funciona. Então vamos checar novamente em dois, então temos quatro multiplicado por cinco ponto um. Estamos adicionando três multiplicado por menos sete ponto oito, e isso deve ser igual a menos três.

Portanto, quatro multiplicado por cinco ponto um é vinte ponto quatro e, depois, três multiplicado por menos sete ponto oito são menos vinte e três ponto quatro. Então, vinte ponto quatro menos vinte e três ponto quatro é igual a menos três, então podemos nos dar dois certos porque temos o 𝑥 e o 𝑦 correto. Embora pareçam números bastante desagradáveis, na verdade funcionam para o nosso sistema de equações.