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Vídeo da aula: Domínio de funções racionais Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como identificar o domínio de uma função racional e o domínio comum de duas ou mais funções racionais.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como identificar o domínio de uma função racional e o domínio comum de duas ou mais funções racionais. Sabemos que o domínio de uma função é o conjunto de todos os objetos possíveis desta função, enquanto o contradomínio são todas as imagens possíveis depois de substituirmos o domínio.

Agora, para funções polinomiais, o domínio é simplesmente o conjunto de números reais. Isto significa que podemos substituir qualquer valor real de 𝑥 numa equação da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 índice zero mais 𝑎 índice um 𝑥 até 𝑎 índice 𝑛𝑥 elevado a 𝑛 e a imagem estará bem definida. Há momentos, porém, em que o domínio de uma função precisaria de ser restringido. E isto é particularmente importante ao trabalhar com funções racionais, ou seja, uma função da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, onde 𝑝 e 𝑞 são funções polinomiais e 𝑞 de 𝑥 não é o polinómio zero.

Agora, esta restrição em 𝑞 é importante, e isto porque dividir por zero não está definido. Portanto, não queremos dividir um polinómio por zero. E isto dá-nos uma pista de como determinar o domínio de uma função racional. Podemos lembrar que, quando determinamos o domínio do quociente de duas funções, determinamos a interseção dos domínios das respetivas funções. Mas excluímos quaisquer valores de 𝑥 que tornem a função no denominador da expressão igual a zero.

Como o domínio de um polinómio é o conjunto de números reais e uma função racional é o quociente de dois polinómios, o domínio de uma função racional é o conjunto de números reais excluindo quaisquer valores de 𝑥 que tornam o denominador igual a zero. Utilizaremos esta definição no restante deste vídeo. Então, com isto em mente, vamos determinar o domínio de uma função racional que envolve quadráticas.

Para quais valores de 𝑥 a função 𝑛 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos 25 sobre 𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 mais 32 não está definida?

Vamos começar por inspecionar a função 𝑛 de 𝑥. 𝑛 de 𝑥 é o quociente de um par de polinómios. Ou seja, é uma função polinomial dividida por uma segunda função polinomial. Para identificar os valores de 𝑥 para os quais a função não está definida, começaremos por considerar o domínio de uma função racional. O domínio de uma função racional, é claro, é o conjunto dos valores de 𝑥 para os quais a função está definida. Portanto, se considerarmos o conjunto dos valores de 𝑥 para os quais a função está definida, poderemos identificar rapidamente os valores para os quais não está definida.

O domínio de uma função racional é o conjunto de números reais, mas devemos excluir quaisquer valores de 𝑥 que tornem o denominador dessa função igual a zero. Isto significa que a nossa função será definida sobre o conjunto de números reais, excluindo o conjunto de números que compõem a expressão no denominador, 𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 mais 32, igual a zero.

Para determinar estes valores de 𝑥, estabeleceremos o denominador igual a zero e resolveremos, ou seja, 𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 mais 32 igual a zero. Como temos uma expressão quadrática, podemos tentar resolver primeiro fatorizando esta expressão quadrática. Sabemos que devemos ter um 𝑥 no início de cada expressão porque 𝑥 vezes 𝑥 dá-nos o 𝑥 ao quadrado. Em seguida, precisamos de determinar um par de números cujo produto é 32 e cuja soma é menos 12. Bem, menos quatro vezes menos oito é 32 positivo, como requerido. Mas menos quatro mais menos oito é de facto menos 12.

Então, reescrevemos a nossa equação como se mostra. 𝑥 menos quatro vezes 𝑥 menos oito é igual a zero. Então, é claro, para o produto destas duas expressões ser igual a zero, sabemos que uma ou outra destas expressões deve ser zero. Portanto, as soluções para a nossa equação são dadas pelas soluções das equações 𝑥 menos quatro igual a zero e 𝑥 menos oito igual a zero.

Resolvemos a nossa primeira equação adicionando quatro a ambos os membros, então obtemos 𝑥 igual a quatro. E resolvemos a nossa segunda equação adicionando oito a ambos os membros, então 𝑥 é igual a oito. Lembre-se, se estivermos a pensar no domínio de 𝑛 de 𝑥, sabemos que é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém os números que tornam o denominador igual a zero. Portanto, o domínio da nossa função é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém quatro e oito. Obviamente, isto significa que a nossa função está definida neste conjunto. E, portanto, não deve estar definido quando 𝑥 é igual a quatro ou 𝑥 é igual a oito. E assim vemos que a função 𝑛 de 𝑥 não está definido para o conjunto que contém quatro e oito.

Vamos agora considerar um segundo exemplo que envolve determinar o domínio de uma função racional que é o quociente de um par de quadráticas.

Qual é o domínio da função 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado menos um sobre 𝑥 ao quadrado mais um?

Lembre-se de que o domínio de uma função é o conjunto de todos os objetos possíveis desta função. E se inspecionarmos a nossa função 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado menos um sobre 𝑥 ao quadrado mais um com cuidado, podemos ver que é uma função racional. Ou seja, é o quociente de um par de polinómios. Então, vamos recordar-nos do que sabemos acerca do domínio de uma função racional. O domínio de uma função racional é o conjunto dos números reais, mas excluímos quaisquer valores de 𝑥 que tornem o denominador da função igual a zero. Neste caso, então, a função não está definida para quaisquer valores de 𝑥 que satisfaçam a equação 𝑥 ao quadrado mais um igual a zero. Para estabelecer para quais valores de 𝑥 isto é verdadeiro, vamos resolver esta equação.

Podemos começar por subtrair um a ambos os membros, então 𝑥 ao quadrado é igual a menos um. Em seguida, procuraremos obter a raiz quadrada positiva e negativa de um. Mas é claro que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. E como dissemos que o domínio de uma função racional é apenas o conjunto de números reais, não há valores de 𝑥 neste caso que farão o denominador igual a zero. Podemos, portanto, dizer que o domínio da nossa função e o conjunto de números que garantem que está bem definido é simplesmente o conjunto dos números reais.

Agora consideramos alguns exemplos em que vimos funções racionais e calculamos os pontos em que não estão definidas e, por extensão, os seus domínios. Também podemos determinar problemas em que nos é dado o domínio de uma função e precisamos de utilizá-lo para determinar os valores em falta. Vamos considerar um exemplo que utiliza esta ideia.

Dado que o domínio da função 𝑛 de 𝑥 é igual a 36 sobre 𝑥 mais 20 sobre 𝑥 mais 𝑎 é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém menos dois, zero, calcule 𝑛 de três.

𝑛 de 𝑥 é a soma de um par de funções racionais. Tanto 36 sobre 𝑥 quanto 20 sobre 𝑥 mais 𝑎 são o quociente de um par de polinómios. Também sabemos que podemos determinar o domínio da soma de um par de funções considerando a interseção destes domínios. Então, vamos começar por olhar para os domínios de 36 sobre 𝑥 e 20 sobre 𝑥 mais 𝑎 para o domínio que nos foi dado, o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém menos dois, zero. Isto permitir-nos-á determinar o valor de 𝑎, o que nos permitirá calcular 𝑛 de três.

Vamos começar por observar a expressão 36 sobre 𝑥. Lembre-se de que o domínio de uma função racional é o conjunto dos números reais, mas excluímos quaisquer valores de 𝑥 que tornem o denominador igual a zero. Neste caso, o denominador é simplesmente 𝑥. Então, definimos 𝑥 igual a zero e vemos que 𝑥 igual a zero é um valor que vamos excluir do domínio desta função. O domínio 𝑛 de 36 sobre 𝑥 é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém zero. Vamos agora considerar a segunda função racional. Temos 20 sobre 𝑥 mais 𝑎. Desta vez, o domínio será o conjunto de números reais, excluindo quaisquer valores de 𝑥 que tornam o denominador 𝑥 mais 𝑎 igual a zero.

Então, vamos definir 𝑥 mais 𝑎 igual a zero e resolver para 𝑥. Se o fizermos, descobrimos que 𝑥 é igual a menos 𝑎. Portanto, podemos dizer que o domínio desta segunda função é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém menos 𝑎. O domínio de 𝑛 de 𝑥 é a interseção destes dois domínios. A interseção aqui é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém menos 𝑎, zero. Agora, se compararmos isto com o domínio que nos foi dado, podemos ver que menos 𝑎 deve ser igual a menos dois. E se menos 𝑎 for igual a menos dois, 𝑎 em si deve ser igual a dois. Portanto, podemos reescrever 𝑛 de 𝑥 utilizando o valor que temos para 𝑎. É 36 sobre 𝑥 mais 20 sobre 𝑥 mais dois.

Agora estamos prontos para calcular 𝑛 de três e podemos fazê-lo substituindo três nesta equação. Quando o fazemos, obtemos 36 sobre três mais 20 sobre três mais dois. E isto torna-se 12 mais quatro, o que é obviamente igual a 16. Portanto, dada a informação sobre o domínio da nossa função, 𝑛 de três deve ser igual a 16.

Neste exemplo, vimos que quando adicionamos funções, tivemos que ter em consideração o domínio de ambas as funções. Agora, um processo semelhante é válido se quisermos determinar o domínio comum de um par ou mais de funções. Em particular, podemos assumir qualquer número de funções, e o domínio comum é simplesmente as interseções dos domínios das respetivas funções. Portanto, tudo o que precisamos de fazer é calcular o domínio de cada função individualmente e identificar as regiões onde se sobrepõem. E então podemos escrever isto em notação de conjunto. Vejamos um exemplo que cobre este conceito.

Determine o domínio comum entre as funções 𝑓 índice um de 𝑥 igual a menos nove sobre 𝑥 mais nove, 𝑓 índice dois de 𝑥 igual a oito sobre 𝑥 mais três e 𝑓 índice três de 𝑥 igual a sete 𝑥 sobre 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥.

Lembre-se, dado qualquer número de funções, o domínio comum é a interseção dos domínios das respetivas funções. Neste caso, então, precisamos de determinar o domínio de 𝑓 índice um de 𝑥, 𝑓 índice dois de 𝑥 e 𝑓 índice três de 𝑥. Então, podemos determinar a sua interseção. Então, a seguir, lembramo-nos de como determinamos o domínio de uma função racional. O domínio de uma função racional é o conjunto de números reais, mas excluímos quaisquer valores de 𝑥 que tornem o denominador igual a zero. Então, vamos considerar a função 𝑓 índice um de 𝑥. O seu domínio será o conjunto dos números reais, mas precisamos de excluir valores de 𝑥 que fazem 𝑥 mais nove igual a zero. Para resolver 𝑥, subtrairemos nove de ambos os membros e descobriremos que o valor de 𝑥 que satisfaz esta equação é menos nove. Portanto, o domínio de 𝑓 índice um de 𝑥 é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém menos nove.

Vamos agora considerar 𝑓 índice dois de 𝑥. Desta vez, precisamos de excluir valores de 𝑥 que fazem 𝑥 mais três, o denominador de 𝑓 índice dois de 𝑥, igual a zero. O valor de 𝑥 que satisfaz esta equação é 𝑥 igual a três. E, portanto, o domínio desta função é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém menos três. Finalmente, passaremos para 𝑓 índice três de 𝑥. O denominador aqui é 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥. Portanto, sabemos que precisamos de excluir quaisquer valores de 𝑥 que o tornem igual a zero. Portanto, temos a equação 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 igual a zero. E como resolvemos isto?

Bem, podemos primeiro considerar fatorizar a expressão no primeiro membro. O primeiro passo para isto é retirar um fator comum de 𝑥. Em seguida, podemos fatorizar ainda mais a expressão 𝑥 ao quadrado menos quatro utilizando a diferença de dois quadrados. Portanto, 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 pode ser escrito como 𝑥 vezes 𝑥 mais dois vezes 𝑥 menos dois.

A primeira solução para esta equação é quando 𝑥 é igual a zero, então é 𝑥 igual a zero. A segunda solução é determinada estabelecendo 𝑥 mais dois igual a zero. E quando resolvemos esta equação, obtemos 𝑥 igual a dois. Finalmente, resolvemos a equação 𝑥 menos dois igual a zero e obtemos 𝑥 igual a dois. Então, finalmente, descobrimos que o domínio de 𝑓 índice três de 𝑥 é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém estes valores de 𝑥. O domínio comum, então, é a interseção destes três domínios. Então, vamos ter que pegar no conjunto dos números reais e excluir os seguintes valores de 𝑥: menos nove, menos três, menos dois, zero e dois. Portanto, o domínio comum entre as três funções que nos são dados é o conjunto dos números reais menos o conjunto que contém menos nove, menos três, menos dois, zero e dois.

Agora vamos recapitular os pontos principais desta aula. Nesta aula, aprendemos que uma função racional é da forma 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥. Estas duas funções, 𝑝 de 𝑥 e 𝑞 de 𝑥, são polinómios e 𝑞 de 𝑥 não é o polinómio zero. Com esta definição, podemos identificar o domínio de uma função racional. É o conjunto de números reais, mas excluímos quaisquer valores de 𝑥 que tornam o denominador, 𝑞 de 𝑥, igual a zero. Finalmente, aprendemos que podemos assumir qualquer número de funções e, em seguida, o seu domínio comum é simplesmente a interseção dos seus respetivos domínios.

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