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Vídeo da aula: Contando Resultados com Restrições Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como contar o número de resultados possíveis quando temos restrições.

14:42

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender como contar vários resultados possíveis quando dadas algumas restrições. E, para isso, começamos lembrando o princípio fundamental da contagem, às vezes chamado de regra do produto para contagem. Diz que se os eventos 𝐴 e 𝐵 que são eventos independentes têm 𝑚 e 𝑛 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de resultados possíveis para os eventos juntos é o produto deles. São 𝑚 vezes 𝑛.

Por exemplo, de quantas maneiras um número pin de três algarismos pode ser criado usando os números de zero a nove?

Existem 10 números possíveis que podemos usar para cada algarismo. Isso significa que existem 10 maneiras de escolher o primeiro algarismo, 10 maneiras de escolher o segundo algarismo e 10 maneiras de escolher o terceiro algarismo. O princípio fundamental da contagem nos diz que o número total de resultados possíveis é o produto deles. É 10 vezes 10 vezes 10 ou, claro, 10 ao cubo, o que é igual a 1000. Agora, de fato, podemos generalizar isso. E podemos dizer que ao contar com substituição, ou seja, a repetição é permitida, o número total de resultados de 𝑛 eventos repetidos de escolha de 𝑚 itens é dado como 𝑚 elevado a 𝑛.

Observe, porém, que isso é especificamente para eventos independentes, aqueles em que o resultado do primeiro evento não afeta o resultado do segundo. Em outras palavras, neste caso, quando escolhemos o primeiro algarismo, isso não afetou o número que poderíamos escolher para o segundo algarismo. Se esse não for o caso, por exemplo, onde há restrições ao uso desse número duas vezes, ainda podemos usar o princípio fundamental da contagem. Mas precisamos ter um pouco de cuidado. Vamos ver como é isso.

Quantos números de quatro algarismos, sem algarismos repetidos, podem ser formados usando os elementos do conjunto contendo zero, um, três e quatro?

Então, estamos criando números com quatro algarismos e não podemos repetir esses algarismos. Sabemos que podemos contar o número total de resultados possíveis usando o princípio fundamental de contagem ou a regra do produto para contagem. Essa regra diz que, ao combinar mais de um evento, o número total de resultados é encontrado multiplicando-se o número de resultados de cada evento. E então precisamos identificar o que cada evento realmente é. O primeiro evento é escolher o primeiro algarismo, o segundo evento é escolher o segundo algarismo e assim por diante. Existem quatro elementos em nosso conjunto, mas isso não significa que haja quatro maneiras de escolher o primeiro algarismo. De fato, para que nosso número seja um número de quatro algarismos, seu primeiro algarismo não pode ser zero. Só pode ser um, três ou quatro. E, portanto, existem apenas três maneiras de escolher o primeiro algarismo.

Em seguida, consideramos o segundo algarismo. Já escolhemos um número da lista um, três e quatro. E sabemos que não podemos repetir um desses algarismos. E assim, se tirarmos um dos números do nosso conjunto, agora temos apenas três. Existem três maneiras de escolher o segundo algarismo. Agora passamos para o terceiro algarismo e dizemos que já escolhemos dois números possíveis do conjunto, e isso nos deixa com dois restantes. E da mesma forma, quando chegamos ao quarto algarismo, já pegamos três números e, portanto, só resta um para escolher. O princípio da contagem diz então que o número total de resultados, que aqui é o número total de números de quatro algarismos, é o produto desses valores. É três vezes três vezes duas vezes um, o que equivale a 18. Podemos fazer 18 números de quatro algarismos, dado que nenhum algarismo pode ser repetido usando os elementos do nosso conjunto.

Vamos considerar um exemplo semelhante para ver se podemos generalizar isso de alguma forma.

A senha de David deve ter cinco caracteres. Ele pode usar os algarismos de zero a nove e não pode usar o mesmo algarismo mais de uma vez. Quantas senhas diferentes David poderia criar?

Estamos procurando o número total de senhas de cinco algarismos, lembrando que não podemos usar o mesmo algarismo mais de uma vez. E assim, lembramos o princípio fundamental da contagem ou a regra do produto para contagem. Isso nos diz que podemos encontrar o número total de resultados para dois ou mais eventos, multiplicando o número de resultados para cada evento. Agora, os eventos aqui estão escolhendo o primeiro caractere, escolhendo o segundo caractere até a escolha do quinto caractere. E como estamos trabalhando com os algarismos de zero a nove, inclusive, há um total de 10 algarismos para escolher. E há, portanto, 10 resultados diferentes possíveis para o primeiro evento de escolha desse primeiro algarismo.

Agora, é realmente importante percebermos que não podemos usar o mesmo algarismo mais de uma vez ao considerar o número total de resultados para o nosso segundo evento, ou seja, escolher o segundo algarismo. Já escolhemos um dos algarismos de zero a nove, e isso nos deixa com apenas mais nove para escolher. Da mesma forma, quando chegamos ao terceiro algarismo, sabemos que já retiramos dois algarismos possíveis de nossa lista. E assim, há mais oito para escolher.

De maneira semelhante, existem sete maneiras de escolher o quarto algarismo e apenas seis maneiras de escolher o quinto. O princípio de contagem ou a regra do produto para contagem nos diz que agora precisamos multiplicar esses números. 10 vezes nove vezes oito vezes sete vezes seis é 30240. E assim vemos que existem 30240 senhas diferentes que David poderia criar, uma vez que ele só pode usar os algarismos de zero a nove e não pode usá-los mais de uma vez.

Agora podemos generalizar esse resultado. Chamamos isso de contagem sem substituição. E isso porque tiramos um algarismo, não o substituímos e o usamos novamente. E dizemos que, ao contar sem substituição, o número total de maneiras de escolher 𝑛 itens de uma coleção de 𝑚 é 𝑚 vezes 𝑚 menos um vezes 𝑚 menos dois até 𝑚 menos 𝑛 menos um.

Vamos agora considerar outra maneira de impor restrições.

Após uma reorganização recente, James está assumindo a responsabilidade pela fabricação de números ímpares na linha de produção do número de casas. Como parte de sua investigação científica dos níveis de produção, ele quer saber quantos números de três algarismos contêm apenas algarismos ímpares. Calcule a resposta para ele.

Estamos interessados em encontrar o número total de sinais numéricos de três algarismos. No entanto, há uma restrição muito forte sobre isso. Esses números podem conter apenas algarismos ímpares; ou seja, eles devem ser compostos dos números um, três, cinco, sete ou nove. E então vamos considerar cada um dos algarismos por sua vez.

O primeiro algarismo pode ser qualquer um desses números. Pode ser um, três, cinco, sete ou nove. Portanto, existem cinco maneiras possíveis de escolher o primeiro algarismo. Não há restrições ao uso do mesmo algarismo mais de uma vez. Por exemplo, poderíamos escolher o número um, um, um; isso seria bom. E assim, ainda existem cinco maneiras de escolher o segundo algarismo. O segundo algarismo pode ser qualquer um desses números ímpares. Então, para o terceiro algarismo, temos exatamente a mesma situação. Podemos escolher os números um, três, cinco, sete ou nove. E, portanto, existem cinco maneiras de escolher o terceiro algarismo.

O princípio fundamental da contagem ou a regra do produto para a contagem diz que o número total de maneiras de escolhê-las é o produto delas. São cinco vezes cinco vezes cinco, o que dá 125. Existem 125 números de três algarismos que contêm apenas algarismos ímpares.

Vamos considerar um contexto um pouco diferente.

Um prédio tem cinco portas numeradas como um, dois, três, quatro, cinco. Determine o número de maneiras pelas quais uma pessoa pode entrar e sair do prédio se não puder usar a mesma porta duas vezes.

Vamos tentar visualizar isso. Nosso prédio tem cinco portas, e vamos rotulá-las como uma, duas, três, quatro, cinco como ele diz. Vamos imaginar que temos alguém olhando para entrar no prédio. Ela têm cinco maneiras possíveis de fazer isso. Mas vamos imaginar, por uma questão de argumento, que eles vão escolher a porta número dois. Uma vez dentro do prédio, somos informados de que eles não podem usar a mesma porta duas vezes e, portanto, cortamos a porta dois como saída. Olhando ao redor, agora vemos que há uma, duas, três, quatro maneiras possíveis dessa pessoa sair do prédio. Ela pode, por exemplo, escolher a porta quatro. Existem, portanto, cinco maneiras possíveis de entrar no prédio. Mas uma vez que estamos no prédio, existem apenas quatro maneiras possíveis de sair.

A regra do produto para contagem ou o princípio da contagem nos diz que o número total de maneiras pelas quais uma pessoa pode entrar e sair do prédio, dadas essas restrições, é o produto delas. São cinco vezes quatro, o que equivale a 20. Existem 20 maneiras possíveis de a pessoa entrar e sair do prédio, pois ela não pode usar a mesma porta duas vezes.

Em nosso exemplo final, vamos ver como calcular o número de possibilidades para uma disposição dos assentos.

Mia e Daniel estão planejando seu casamento. Eles estão trabalhando no plano de assentos da mesa principal da recepção. Sua mesa de cima é uma linha reta com oito lugares em um lado. Ela precisa sentar a noiva e o noivo, os pais da noiva, os pais do noivo, o padrinho e a dama de honra. Dado que todos os casais precisam se sentar um ao lado do outro e o padrinho e a dama de honra não são um casal, de quantas maneiras diferentes existem para sentar todos na mesa de cima?

Temos algumas restrições sobre como sentamos cada casal e a madrinha de casamento e o padrinho. Vamos começar considerando os casais que são a noiva e o noivo, os pais da noiva e os pais do noivo essencialmente como três unidades. E vamos começar calculando o número total de maneiras de apenas sentar esses três casais. Existem três maneiras de escolher o primeiro par a se sentar. Existem duas maneiras de escolher o segundo par para sentar e uma maneira de escolher o terceiro. E, é claro, a regra do produto para contagem ou o princípio de contagem diz que o número total de opções é o produto delas. É três vezes dois vezes um, que é seis.

Portanto, temos seis maneiras de sentar os casais. Mas é claro que cada casal poderia se sentar em uma ordem diferente. Poderíamos ter a noiva e o noivo ou o noivo e depois a noiva. E se pensarmos sobre isso, há duas maneiras de sentar a noiva e o noivo, duas maneiras de sentar os pais da noiva e duas maneiras de sentar os pais do noivo. Duas vezes dois vezes dois é igual a oito, o que significa que há oito maneiras de cada casal se sentar um ao lado do outro. Tenha em mente que isso é para cada uma das seis maneiras originais de sentar os casais. Isso significa que o número total de possibilidades quando se trata de sentar é o produto desses dois conjuntos de resultados. São seis vezes oito, o que dá 48. Portanto, temos um total de 48 maneiras de acomodar esses casais.

E agora passamos a sentar o padrinho e a dama de honra. Nós os consideramos individualmente porque nos dizem que eles não são um casal e, portanto, não precisam necessariamente se sentar um ao lado do outro. E assim, se pensarmos na mesa de cima com nossos três pares já sentados, ele poderia se sentar em qualquer extremidade. Mas ele também poderia se sentar em qualquer ponto entre os pares. E então deve haver quatro opções de cadeiras para ele. Então, uma vez que o padrinho esteja sentado, a dama de honra pode se sentar em qualquer extremidade. Mas ela também pode sentar-se entre qualquer um dos casais e/ou o padrinho, dependendo de onde ele está localizado. E isso deve significar que existem cinco maneiras diferentes de sentar a dama de honra.

Agora que consideramos todos os eventos possíveis, ou seja, sentar os pares, sentar o padrinho e sentar a dama de honra, sabemos que o princípio fundamental da contagem nos diz para encontrar o produto deles. Isso é 48 vezes quatro vezes cinco, o que equivale a 960. Há um número total de 960 maneiras diferentes de sentar todos na mesa de cima.

Agora, na verdade, esse não é o único método de responder a esse problema. Podemos, alternativamente, apenas considerar que existem cinco grupos diferentes; existem três casais e dois indivíduos. E assim, diríamos que existem cinco maneiras de escolher o primeiro grupo para sentar, quatro maneiras de escolher o segundo grupo, três maneiras de escolher o terceiro, e assim por diante, dando-nos um total de 120 maneiras diferentes de organizar esses cinco lugares..

Em seguida, voltamos a considerar como os casais estão dispostos. Sabemos que cada casal poderia se sentar em uma ordem ligeiramente diferente. E então há duas vezes dois vezes dois, que são oito arranjos para nossos casais. Mais uma vez, o princípio fundamental da contagem nos diz que o número total de maneiras diferentes de se sentar a todos é o produto delas. É 120 vezes oito, o que é mais uma vez 960.

Vamos agora considerar os pontos principais desta aula. Neste vídeo, vimos que podemos estender o uso do princípio fundamental de contagem para cenários em que há restrições aos resultados possíveis. Vimos que, ao contar com substituição, o número total de resultados de 𝑛 eventos repetidos de escolha de 𝑚 itens é 𝑚 elevado a 𝑛. Ao contar sem substituição, porém, temos 𝑚 vezes 𝑚 menos um vezes 𝑚 menos dois até 𝑚 menos 𝑛 menos um.

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