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Vídeo da aula: Domínio e Imagem de uma Função Matemática • 9º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como identificar o domínio e a imagem de funções a partir de suas equações.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como identificar o domínio e a imagem de funções a partir de suas equações.

Começamos lembrando que uma função 𝑓 atribui aos membros de um conjunto, por exemplo, 𝑥, valores em um segundo conjunto 𝑌. Pensamos em 𝑥 como a fonte de entradas para a função e 𝑌 como o destino de suas saídas. Para cada entrada 𝑥 que existe no conjunto 𝑋, temos uma saída 𝑓 de 𝑥 que existe no conjunto 𝑌. Isso nos leva às nossas definições de domínio e imagem. O domínio de 𝑓 é o conjunto de todas as entradas 𝑥 que existem no conjunto 𝑋 para o qual 𝑓 de 𝑥 é definido. E a imagem de 𝑓 é o conjunto de todas as saídas 𝑓 de 𝑥 conforme 𝑥 varia no domínio.

Em nosso primeiro exemplo, identificaremos os pares ordenados de uma função, dados o domínio, a imagem e a equação da função.

𝑋 e 𝑌 são dois conjuntos de números onde o conjunto 𝑋 contém os valores 10, um, dois e oito e o conjunto 𝑌 contém os valores 12, sete, 60, seis, 48 e quatro. A função 𝑓 de 𝑥 é igual a seis 𝑥, onde 𝑓 mapeia elementos de 𝑋 em elementos de 𝑌. Encontre os pares ordenados que satisfazem a função e sua imagem.

Uma maneira de responder a essa pergunta é considerar um diagrama de mapeamento que representa a função 𝑓. Existem quatro elementos no conjunto 𝑋. Eles são os números 10, um, dois e oito. O conjunto 𝑌 contém seis elementos, os valores 12, sete, 60, seis, 48 e quatro. Nos é dito que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a seis 𝑥. Lembramos que o domínio de 𝑓 é o conjunto de entradas para as quais 𝑓 de 𝑥 é definido. E a imagem de 𝑥 é o conjunto de saídas correspondentes.

Nosso primeiro valor no conjunto 𝑥 é 10. E como 𝑓 de 𝑥 é igual a seis 𝑥, 𝑓 de 10 é igual a seis multiplicado por 10. Isso é igual a 60 e significa que uma entrada de 10 dá uma saída de 60. O primeiro par ordenado que satisfaz a função é 10, 60. 𝑓 de um é igual a seis multiplicado por um, o que equivale a seis. Isso nos dá um segundo par ordenado um, seis. Repetindo isso para o terceiro valor no conjunto 𝑋, temos 𝑓 de dois é igual a 12, dando-nos um terceiro par ordenado dois, 12. Finalmente, 𝑓 de oito é igual a 48. E nós temos um quarto par ordenado oito, 48. Os quatro pares ordenados que satisfazem a função são 10, 60; um, seis; dois, 12; e oito, 48.

Também nos é pedido que forneçamos a imagem da função. Como já mencionado, este é o conjunto de todas as saídas de 𝑓 de 𝑥. A imagem da função é, portanto, o conjunto dos quatro valores 60, seis, 12 e 48. E agora respondemos as duas partes desta pergunta.

Em nossa próxima pergunta, identificaremos a imagem de uma função representada por um diagrama cartesiano.

A figura abaixo mostra o gráfico de uma função 𝑓. Qual é a imagemda função?

Podemos ver na figura que a função 𝑓 contém quatro pares ordenados. Eles são um, menos dois; dois, menos três; três, zero; e quatro, menos três. Somos solicitados a encontrar a imagem dessa função.

Começamos lembrando que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada ou 𝑥 para os quais a função 𝑓 de 𝑥 é definida. Esses são os valores de 𝑥 de nossos pares ordenados. Os números um, dois, três e quatro. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída. Essas são as coordenadas 𝑦 em nossos pares ordenados. Temos os valores menos dois, menos três, zero e menos três mais uma vez.

Apesar de esse valor aparecer duas vezes, precisamos incluí-lo apenas uma vez ao escrever a imagem. A imagem da função mostrada na figura é o conjunto de valores menos dois, menos três e zero. E escrevendo isso em ordem crescente, temos menos três, menos dois, zero.

Também podemos encontrar esses valores diretamente na figura, desenhando retas horizontais em todos os pontos do gráfico. Essas três retas cruzam o eixo 𝑦 em menos três, menos dois e zero.

Em nossos próximos dois exemplos, identificaremos o domínio e a imagem de uma função dado seu gráfico.

Determine o domínio da função representada no gráfico abaixo.

Começamos lembrando que o domínio de uma função 𝑓 é o conjunto de todos os valores de 𝑥 ou entradas para os quais 𝑓 de 𝑥 é definido. O ponto sólido na extremidade esquerda de nossa curva está no ponto com coordenadas quatro, um. Isso significa que quando 𝑥 é igual a quatro, 𝑦 é igual a um. E usando a notação de função, 𝑓 de quatro é igual a um.

A seta na outra extremidade da nossa curva nos diz que a função está definida para todos os números reais à direita desse ponto. E podemos, portanto, concluir que a função é definida para todos os valores de 𝑥 maior ou igual a quatro. Se o ponto no ponto quatro, um fosse vazio, 𝑓 de 𝑥 teria sido definido na inequação estrita 𝑥 é maior que quatro. Essa inequação 𝑥 é maior ou igual a quatro é o domínio da função. E também podemos escrever isso usando a notação de intervalo. O domínio da função representada no gráfico é o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de quatro a ∞.

Embora também possamos encontrar a imagem da função no gráfico, faremos isso no próximo exemplo.

Determine a imagem da função representada pelo gráfico abaixo.

Começamos essa questão lembrando que a imagem de uma função 𝑓 é o conjunto de todas as suas saídas ou valores de 𝑦. Precisamos encontrar todos os valores de 𝑦 que são representados pela curva. Nosso gráfico tem a forma de uma parábola. E parece que a função é quadrática. Tem um máximo no ponto com coordenadas menos sete, um. Isso significa que 𝑓 de menos sete é igual a um e o valor máximo da função é um. Não há valor de 𝑥 tal que 𝑓 de 𝑥 seja maior que um.

Olhando para o gráfico, parece que a parábola assume todos os valores menores ou iguais a um. E podemos, portanto, concluir que a imagem da função é o conjunto de valores reais de 𝑦 tais que 𝑦 é menor ou igual a um. Isso também pode ser escrito usando a notação de intervalo como o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos ∞ a um.

Em nossos dois exemplos finais, identificaremos o domínio e a imagem de uma função dada sua equação.

Determine o domínio da função 𝑓 de 𝑥 que é igual à raiz quadrada do valor absoluto de 𝑥 menos 33.

Começamos lembrando que o domínio de uma função é o conjunto de entradas para as quais 𝑓 de 𝑥 é definido. Sabemos que a raiz quadrada só é válida para números não negativos. Isso significa que o valor absoluto de 𝑥 menos 33 deve ser maior ou igual a zero. Adicionando 33 a ambos os lados da inequação, temos o valor absoluto de 𝑥 que é maior ou igual a 33. Recordando o gráfico da equação 𝑦 é igual ao valor absoluto de 𝑥 e depois desenhando a reta horizontal 𝑦 é igual a 33, vemos que o valor absoluto de 𝑥 é maior ou igual a 33 quando 𝑥 é menor ou igual a menos 33 ou 𝑥 é maior ou igual a 33. Essas inequações podem ser reescritas como a união de dois intervalos: o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos ∞ a menos 33 e o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de 33 a ∞.

Embora essa seja uma resposta perfeitamente válida para o domínio da função, isso não é um intervalo. Podemos, no entanto, escrevê -lo como o complemento de um. O domínio da função é o conjunto de valores reais menos o conjunto no intervalo aberto de menos 33 a 33.

Também poderíamos encontrar mais uma vez a imagem dessa função. No entanto, faremos isso em um exemplo final.

Se 𝑓 mapeia elementos no intervalo fechado de dois a 21 para o conjunto de números reais, onde 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 menos 10, encontre a imagem de 𝑓.

Nesta questão, recebemos uma função linear 𝑓 de 𝑥, que é igual a três 𝑥 menos 10. Sabemos que o gráfico de 𝑦 é igual a três 𝑥 menos 10 é uma linha reta como mostrado. Sabemos que o domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada ou 𝑥. E nesta pergunta, somos informados de que eles estão no intervalo fechado de dois a 21. A função 𝑓 de 𝑥 é, portanto, definida para todos os valores entre os dois pontos mostrados.

Podemos calcular os valores correspondentes de 𝑓 de 𝑥 substituindo 𝑥 igual a dois e 𝑥 igual a 21 na função. Quando 𝑥 é igual a dois, 𝑓 de 𝑥 é igual a três multiplicado por dois menos 10. Isso é igual a menos quatro. Da mesma forma, quando 𝑥 é igual a 21, 𝑓 de 𝑥 é igual a três multiplicado por 21 menos 10. Isso é igual a 53. Como o intervalo de uma função 𝑓 é o conjunto de saídas ou valores de 𝑦, podemos concluir que 𝑓 de 𝑥 ou 𝑦 é maior ou igual a menos quatro e menor ou igual a 53. Usando a notação de intervalo, a imagem da função 𝑓 no domínio dado é o intervalo fechado de menos quatro a 53.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Neste vídeo, apresentamos as definições do domínio e da imagem de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de entradas ou valores 𝑥 para os quais a função é definida. E a imagem é o conjunto de saídas ou valores de 𝑦 correspondentes. Nós consideramos exemplos em que identificamos o domínio e a imagem de uma função dado um mapeamento, gráfico ou a equação da função.

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