Vídeo: Simplificando a Soma de Duas Funções Racionais e Determinando seu Domínio

Simplifique a função 𝑛(𝑥) = −8/(𝑥 − 6) + (𝑥 − 6)/(𝑥² − 6𝑥) e determine seu domínio.

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Simplifique a função 𝑛 de 𝑥 é igual a menos oito dividido por 𝑥 menos seis mais 𝑥 menos seis divididos por 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 e determine seu domínio.

À primeira vista, quando olhamos para a função, parece que todos os números reais são entradas válidas. No entanto, quando olhamos mais de perto, podemos ver que alguns valores de 𝑥 tornariam os denominadores iguais a zero, o que nos dariam valores indefinidos.

Então, para descobrir quais valores de entrada geram saídas indefinidas, precisamos encontrar os valores de 𝑥 que nos dão denominadores nulos. Nesse caso, isso envolve resolver 𝑥 menos seis igual a zero e também 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 igual a zero.

Adicionando seis a ambos os lados da primeira equação nos dá 𝑥 é igual a seis. Portanto, uma entrada de seis nos daria uma saída indefinida. Podemos resolver a segunda equação 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 igual a zero, primeiro fatorando por 𝑥. Isso nos dá 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos seis igual a zero. Resolvendo isso nos dá duas respostas, 𝑥 igual a zero e 𝑥 menos seis igual a zero, que segue até nos dar 𝑥 igual a seis.

Isso significa que as duas soluções 𝑥 igual a zero e 𝑥 igual a seis fornecem saídas indefinidas e, portanto, não estarão contidas no domínio. Podemos ir além, dizendo que o domínio de 𝑛 de 𝑥 é todo o valor real menos o número zero e seis.

Também precisamos simplificar a função menos oito dividido por 𝑥 menos seis mais 𝑥 menos seis dividido por 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥. Para fazer isso, nosso primeiro passo é encontrar um denominador comum. A fatoração de um 𝑥 no denominador do segundo termo nos deixa com 𝑥 menos seis dividido por 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos seis.

Multiplicando a parte superior e inferior do primeiro termo por 𝑥 nos dá um denominador comum de 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos seis. Como agora temos um denominador comum, podemos escrevê-lo como uma única fração: menos oito 𝑥 mais 𝑥 menos seis dividido por 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos seis.

Agrupando os termos semelhantes no numerador, o menos oito 𝑥 mais 𝑥 nos dá menos sete 𝑥. E, finalmente, fatorando menos um nos dá uma função simplificada de menos sete 𝑥 mais seis dividido por 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos seis.

Portanto, a função menos oito dividido por 𝑥 menos seis mais 𝑥 menos seis dividido por 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 pode ser reescrita como: menos sete 𝑥 mais seis dividida por 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos seis com um domínio de todos os valores reais com a exceção de zero e seis.

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