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Vídeo: Potências Fracionárias

Aqui, nós introduzimos e explicamos a derivação e o uso de potências fracionárias, ou expoentes racionais, através de uma série de exemplos cada vez mais complexos.

14:38

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver as potências de expoentes fracionários ou por vezes chamados de “expoentes racionais”, dependendo de onde resides. Então, temos situações em que temos algo elevado a outra coisa; essa outra coisa é uma fração ou uma expressão racional. Então, um sobre 𝑎 ou 𝑎 sobre 𝑏 ou um terço ou dois terços ou três quartos, e assim por diante. Em primeiro lugar, já deves saber sobre a notação das potências, índices ou expoentes. Nós temos uma base. E o número sobrescrito diz-nos quantas vezes escrever o número na base e multiplicá-lo. Então, três ao quadrado significa três vezes três; escreves três duas vezes e multiplica-os. Três ao cubo significa três vezes três vezes três; escreves três três vezes e multiplica-os.

Deves também lembrar-te da regra de adição de potências. Ora, se tivermos três elevado quatro vezes três elevado a cinco, isto significa que três vezes três vezes três vezes três vezes três vezes três vezes três vezes três vezes três. Então temos quatro três multiplicados aqui e cinco três multiplicados aqui. Então, podemos escrever isto como três elevado a quatro mais cinco adicionados no expoente, o que nos dá três elevado a nove. Então, podemos resumir isto quando multiplicamos números na forma de potência com a mesma base, podemos apenas adicionar os expoentes. Mais um exemplo rápido só para ter certeza de que te lembras de tudo: se tivéssemos cinco elevado a sete vezes cinco elevado a doze, adicionamos apenas o sete e o doze; temos dezanove cincos multiplicados no total.

E agora para o ponto principal deste vídeo - expoentes fracionários ou expoentes racionais. Certo, vamos começar por ver um pequeno exemplo. Calcula nove elevado a um meio vezes nove elevado a um meio. Bem, ao multiplicar números com potências com a mesma base, só precisamos de adicionar os expoentes. Então nove elevado a um meio vezes nove elevado a um meio é igual a? Então, nove elevado a um meio vezes vezes [nove] elevado a um meio é nove elevado a um meio mais um meio, que é nove elevado a um que, claro, é apenas nove. Então nós temos algo, nove elevado a um meio, vezes ele próprio, nove elevado a um meio e isso dá-nos a resposta de nove. Bem, o que é que quando multiplicado por si próprio dá uma resposta de nove? É claro que é três; então nove elevado a um meio deve ser três. Agora, uma coisa para tomares atenção, muitas pessoas veem nove elevado a um meio e pensam que significa nove vezes um meio, o que seria quatro e meio. Mas acabámos de ver que isso não é verdade. Então, este é provavelmente o maior erro que as pessoas cometem aqui; então tem cuidado para não cometer esse erro.

Então, se olharmos para o nosso exemplo, o que estamos a descrever aqui três vezes três é igual a nove. Estamos a descrever raízes quadradas. O que é que quando nós multiplicamos por si próprio obtemos outro número? Estamos a falar de raízes quadradas; então nove elevado a um meio que é três é igual à raiz quadrada de nove. Esta é a definição: quando temos algo elevado a um meio, isso significa a raiz quadrada desse número. Então, 𝑥 elevado a um meio, um número elevado a um meio, significa a raiz quadrada de 𝑥, a raiz quadrada desse número. Este é o principal ponto de aprendizagem desta parte do vídeo. Ora isto é porque quando eu multiplico 𝑥 elevado a um meio por si próprio, o que eu acabo por fazer é juntar estes expoentes e obter 𝑥 elevado a um, que é apenas 𝑥. Então, quando eu multiplico algo por si só, eu obtenho 𝑥; isto deve significar que esta coisa é a raiz quadrada de 𝑥.

Ok, vamos passar para este exemplo. Calcula vinte e sete elevado a um terço vezes vinte e sete elevado a um terceiro vezes vinte e sete elevado a um terceiro. Bem, isso é apenas vinte e sete elevado a um terceiro mais um terço mais um terço, que é vinte e sete elevado a um que é apenas vinte e sete. Então, isto significa que algo vezes ele próprio vezes ele próprio novamente dá uma resposta de vinte e sete. E isto é de facto três; três vezes três é nove vezes três é vinte e sete. Portanto, vinte e sete elevado a um terço deve ser igual a três. E o que fizemos foi mostrar que vinte e sete elevado a um terço significa a raiz cúbica de vinte e sete. O que é que quando eu multiplico por si e depois por si novamente eu obtenho vinte e sete? Essa é a definição para raízes cúbicas. Assim, 𝑥 elevado a um terço significa a raiz cúbica de 𝑥 porque 𝑥 elevado a um terço vezes ele próprio vezes ele próprio novamente significa 𝑥 elevado a um terço mais um terço mais um terço, que é 𝑥 elevado a um que é apenas 𝑥. Essa é a definição de raiz cúbica. Agora, em geral, isto significa que 𝑥 elevado a um sobre 𝑎 é a raiz de índice 𝑎 de 𝑥. Então, se eu tivesse cinco elevado a um sobre sete, estaríamos a procurar pela raiz sétima de cinco.

E outro exemplo, trinta e dois elevado a um quinto é igual à raiz quinta de trinta e dois, que é igual a dois porque dois vezes dois vezes dois vezes dois vezes dois é igual a trinta e dois. Isto é porque quando eu multiplico trinta e dois elevado a um quinto vezes trinta e dois elevado a um quinto vezes trinta e dois elevado a um quinto vezes trinta e dois elevado a um quinto vezes trinta e dois elevado a um quinto, eu só tenho que adicionar os expoentes. Um quinto mais um quinto mais um quinto mais um quinto mais um quinto é apenas um; então é trinta e dois elevado a um ou apenas trinta e dois. E o que é que quando eu multipliquei por si mesmo e por si mesmo novamente e por si mesmo novamente e por si mesmo novamente, obtive uma resposta de trinta e dois? Bem, é a raiz quinta de trinta e dois. E como dissemos antes, isto é de facto dois porque dois vezes dois vezes dois vezes dois vezes dois é igual a trinta e dois.

Ok, felizmente está tudo bem. Agora vamos ver exemplos como este: oito elevado a dois sobre três. Vamos ver o que isto significa. Bem, acabamos de ver que o número na parte inferior da fração no expoente diz-nos qual é a raiz; então temos três. Então, um três no denominador aqui diz-nos que é uma raiz cúbica e o dois no numerador no expoente diz-nos que vamos coloca-lo ao quadrado. Se isto fosse um cinco no topo desta fração, então seria elevado a cinco. Então, uma outra maneira de escrever isto: estamos a olhar para a raiz cúbica; então esta é a raiz cúbica de oito e então vamos colocar ao quadrado esta resposta; então é a raiz cúbica de oito tudo ao quadrado. Na verdade, teríamos a mesma resposta se fizéssemos isto aqui - se pegássemos em oito ao quadrado e depois colocássemos a raiz cúbica disso. Mas a primeira versão é geralmente a mais fácil de se trabalhar: pegamos na raiz cúbica de oito primeiro, obtemos um número menor, e depois aplicamos o quadrado; é mais fácil do que tentar procurar a raiz cúbica de um número maior, oito ao quadrado.

Mas vamos verificar isto. Portanto, neste caso, a raiz cúbica de oito é dois; então isto aqui é dois ao quadrado, que é igual a quatro. E no outro caso, a raiz cúbica de oito ao quadrado, oito ao quadrado é sessenta e quatro. E nós estamos à procura da raiz cúbica de sessenta e quatro, então quatro vezes quatro vezes quatro é sessenta e quatro. Então isto também nos daria uma resposta de quatro. Só quero mostrar que terás sempre a mesma resposta, independentemente da abordagem que usares. Então, vamos apenas olhar para isto de uma maneira um pouco diferente: oito elevado a dois terços. Bem, isto é o mesmo que oito elevado a um terço mais um terço. Então, um terço mais um terço é claramente dois terços. E sabemos da nossa regra de adição que oito elevado a um terço mais um terço é o mesmo que oito elevado a um terço vezes oito elevado a um terço. Bem, isto é oito elevado a um terço tudo ao quadrado vezes ele próprio, e dissemos que oito elevado a um terço é a raiz cúbica de oito. Portanto, felizmente tudo faz sentido.

Ok, vamos tentar alguns exemplos e ver isto em ação. Então calcula cem elevado a cinco sobre dois. Bem, esta vai ser a raiz quadrada de cem tudo elevado a cinco porque nós tivemos um dois no denominador e um cinco no numerador. Assim, a raiz quadrada de cem é dez e dez elevado a cinco é cem mil; então temos a nossa resposta. Então o próximo é vinte e sete elevado a quatro sobre três. Então nós temos um expoente fracionário de quatro no topo o que significa que vai ser elevado a quatro. Três na parte inferior significa que vamos aplicar a raiz cúbica; então esta é a raiz cúbica de vinte e sete tudo elevado a quatro. E a raiz cúbica de vinte e sete é apenas três; então isto é três elevado a quatro. E três elevado a quatro significa três vezes três vezes três vezes três. Então três vezes três é nove, três vezes três é nove e nove vezes noves é oitenta e um.

Ok, vamos agitar um pouco e depois assustar-te um pouquinho. Então, vamos tentar com uma base fracionária e um expoente fracionário. Oito sobre vinte e sete elevado a dois sobre três. Agora, não precisamos de entrar em pânico porque, quando temos frações em potências, é apenas o numerador neste expoente sobre o denominador neste expoente. Então, há este primeiro passo e, em seguida, os três no denominador do expoente significa que é a raiz cúbica e o dois no numerador do expoente significa que é ao quadrado. Então aqui no topo, nós temos a raiz cúbica de oito tudo ao quadrada e na parte inferior aqui, nós temos a raiz cúbica de vinte e sete tudo ao quadrado. Agora eu realmente recomendo realmente escrever todas estas fases, especialmente num teste ou num exame; caso contrário, é muito fácil perder o controle do significado destes números. Agora a raiz cúbica de oito é dois; de modo que se torna dois quadrados no topo e a raiz cúbica de vinte e sete é três; então isso se torna três ao quadrado em baixo. E dois ao quadrado é quatro; três ao quadrado é nove. Então a nossa resposta é quatro sobre nove.

Certo, vamos ver um último exemplo então. Vamos juntar números decimais á mistura também agora. Números decimais podem ser representados como frações. E eu recomendo fortemente que assim se aborde este caso: zero ponto um dois cinco é um sobre oito. Então podemos reescrever essa pergunta assim: é um sobre oito elevado a cinco sobre três. E novamente podemos dividir o numerador e o denominador; é um elevado a cinco sobre três no topo e oito elevado a cinco sobre três em baixo. Assim, o três no denominador do expoente significa a raiz cúbica e o cinco significa elevado a cinco; então temos a raiz cúbica de um tudo elevado a cinco sobre a raiz cúbica de oito, tudo elevado a cinco. Agora, não importa quantas vezes eu divida um por si mesmo ou multiplique por si mesmo; terei sempre uma resposta de um. Então eu sei que o numerador é um; a raiz cúbica de oito é dois. E nós temos que fazer dois elevado a cinco, e quando eu faço dois vezes dois vezes dois vezes dois vezes dois, obtenho uma resposta de trinta e dois; então isto é um sobre trinta e dois.

Portanto, apresentámos a ideia dos expoentes fracionários. E experimentámos algumas perguntas bem complicadas; experimentámos também algumas questões básicas. Mas também incluímos bases fracionárias e bases decimais, mas a regra básica é assim: 𝑥 elevado a um sobre 𝑎 é igual à raiz índice 𝑎 de 𝑥. Assim, por exemplo, nove elevado a um meio é a raiz quadrada de nove. Nós temos dois no denominador do expoente; então é a raiz quadrada de nove e a raiz quadrada de nove é três. E se tivermos pares fracionários que se parecem com isto, 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏, o numerador do expoente não é um. Isto significa a raiz índice 𝑏 de 𝑥 tudo elevado a 𝑎 ou poderíamos fazer 𝑥 elevado a 𝑎 primeiro e considerar a raiz índice 𝑏 disso.

A questão aqui é que esta versão é geralmente mais fácil de trabalhar, porque terminas com números mais pequenos para trabalhar em primeiro lugar. Assim, por exemplo, dezasseis elevado a três quartos significa a raiz quarta de dezasseis, porque o quatro que está no denominador do expoente e, em seguida, tomamos este resultado e a aplicamos o cubo. Isto é dois elevado a três e dois elevado a três é oito. Apenas para te mostrar rapidamente que a outra maneira de fazer isso seria a raiz quarta de dezasseis ao cubo e dezasseis ao cubo é quatro mil e noventa e seis. Nós estaríamos à procura da raiz quarta de quatro mil e noventa e seis. Agora, deixo-te trabalhar um pouco na tua calculadora apenas para verificar se, de fato, ainda é oito.

E, finalmente, se tivermos uma fração elevada a outra fração, temos 𝑥 sobre 𝑦 tudo elevado a 𝑎 sobre 𝑏. Então, o que eu recomendo fortemente é dividir a fração na parte superior e na parte inferior. Então este é o numerador 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏 e nós temos 𝑦 elevado a 𝑎 sobre 𝑏. Agora 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏 é a raiz índice 𝑏 de 𝑥 tudo elevado a 𝑎 e 𝑦 elevado 𝑎 sobre 𝑏 é a raiz índice 𝑏 de 𝑦 tudo elevado a 𝑎. Podemos usar esta outra forma aqui novamente, mas eles provavelmente dar-nos-ão números mais difíceis para trabalhar. Então, eu definitivamente recomendo utilizar a primeira versão do que a segunda versão.

E apenas um exemplo rápido disto, se tivéssemos quatro sobre nove elevado a três sobre dois, isto é a raiz quadrada de quatro porque temos um dois no denominador do expoente e isto é ao cubo porque nós temos um três no numerador do expoente; então este é o maior número aqui. E então, no final desta fração, temos o nove. Estamos a considerar a raiz quadrada de nove e estamos a colocar ao cubo essa resposta. E a raiz quadrada de quatro é dois; de modo que o número do topo torna-se dois ao cubo. E a raiz quadrada de nove é três; então o número em baixo torna-se três ao cubo. E dois é oito e três é vinte e sete. Então, isto é basicamente expoentes fracionários. Hora de ir e fazer alguns exercícios por ti próprio agora. Boa sorte!