Vídeo: O Teorema do Valor Médio

Neste vídeo, aprenderemos como interpretar e utilizar o teorema do valor médio e o teorema de Rolle.

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Neste vídeo, aprenderemos como interpretar e utilizar o teorema do valor médio e o teorema de Rolle. Começaremos por examinar como o teorema de Rolle funciona. E como este nos leva ao teorema do valor médio, antes de considerar vários exemplos da aplicação desse teorema. O teorema de Rolle foi publicado pela primeira vez em 1691 pelo matemático francês Michel Rolle. Ele era um crítico vocal do cálculo, considerando-o impreciso e uma coleção de falácias engenhosas, embora tenha mudado de opinião.

O teorema de Rolle diz que se 𝑓 é uma função que satisfaz as três hipóteses a seguir. Ou seja, é contínuo no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e diferenciável no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. E 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑓 de 𝑏. Então, existe um número 𝑐 no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏, de modo que a derivada de 𝑓 calculada em 𝑐, que é 𝑓 linha de 𝑐, é igual a zero. Por outras palavras, se a função atender a estes critérios, haverá um ponto no gráfico neste intervalo fechado para o qual o declive da curva é zero. A tangente da curva neste ponto é horizontal. Também tem um significado físico claro. Se um corpo se move em linha reta e após um certo período retorna ao ponto de partida. Então, existe um instante nesse período em que a velocidade instantânea do corpo deve ser igual a zero.

Agora, este teorema raramente é utilizado, pois mostra-nos a existência de uma solução, mas não como chegar lá. É, no entanto, extremamente útil para nos ajudar a deduzir o teorema do valor médio. Vamos dar uma olhadela neste. Este teorema foi declarado pela primeira vez por outro matemático francês, Joseph-Louis Lagrange. Embora não saibamos se era tão crítico do cálculo quanto Michel Rolle. Diz que se 𝑓 de 𝑥 é uma função que é contínua nalgum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e diferenciável em todos os pontos do intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. Então, existe um ponto 𝑐 neste intervalo aberto. De modo que a derivada de 𝑓 calculada em 𝑐, que é 𝑓 linha de 𝑐, é igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Observe que este segundo membro é essencialmente a fórmula do declive. 𝑚 igual a 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um, escrito utilizando a notação de função. E o que esta fórmula nos diz, portanto, é que existe um valor de 𝑥 no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏, onde o declive da reta tangente é igual ao declive da reta secante que passa pelos dois pontos extremos do intervalo fechado. Vamos provar isto.

Seja 𝑔 de 𝑥 a reta secante até 𝑓 de 𝑥 que passa pelos dois pontos extremos do nosso intervalo fechado em 𝑎, 𝑓 de 𝑎 e 𝑏, 𝑓 de 𝑏. Podemos procurar a equação de 𝑔 de 𝑥 utilizando a fórmula da equação de uma reta. Esta é 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚 vezes 𝑥 menos 𝑥 um. Permitamos que 𝑥 um seja igual a 𝑎. E assim 𝑦 um é igual a 𝑓 de 𝑎. Também podemos mudar 𝑦 para 𝑔 de 𝑥. E sabemos que o declive 𝑚 é dado pela variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥. Isto é 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 mais de 𝑏 menos 𝑎. E obtemos que 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. E podemos resolver em ordem a 𝑔 de 𝑥 adicionando 𝑓 de 𝑎 a ambos os membros.

A seguir, apresentamos uma nova função ℎ. E esta é definida como a distância vertical entre 𝑓 de 𝑥 e a reta secante 𝑔 de 𝑥. Então, ℎ de 𝑥 é definida como 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. O nosso próximo trabalho é substituir a expressão 𝑔 de 𝑥 nesta equação por ℎ de 𝑥. Mas como é que isso é útil? Bem, observe que ℎ de 𝑎 e ℎ de 𝑏 são iguais. Ambos são zero, já que a distância vertical entre a função 𝑓 de 𝑥 e a reta secante é zero nesses pontos extremos. E agora devemos lembrar-nos do teorema de Rolle. ℎ de 𝑥 é contínua e diferenciável no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. E, portanto, deve existir algum valor de 𝑥, 𝑐 nesse intervalo, de modo que ℎ linha de 𝑐, a derivada de ℎ calculada em 𝑐, seja igual a zero. Então, vamos diferenciar os dois membros desta equação.

A derivada de ℎ é ℎ linha. E a derivada de 𝑓 é 𝑓 linha. Agora, vamos analisar cuidadosamente tudo dentro destes parêntesis. Quando distribuímos estes parêntesis, terminamos com este quociente, que é uma constante multiplicada por 𝑥 e depois multiplicada por outra constante. Da mesma forma, 𝑓 de 𝑎 também é uma constante. Sabemos que a derivada de uma constante é zero. E também sabemos que a derivada de uma constante multiplicada por 𝑥 é simplesmente essa constante. Portanto, vemos que ℎ linha de 𝑥 é igual a 𝑓 linha de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Do teorema de Rolle, podemos dizer que ℎ linha de 𝑐 deve ser igual a 𝑓 linha de 𝑐 menos 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎, que deve ser igual a zero. E assim provamos o teorema do valor médio. Se resolvermos 𝑓 linha de 𝑐, obtemos que 𝑓 linha de 𝑐 é igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎.

Agora que provámos o teorema do valor médio, vamos dar uma olhadela num exemplo de como estabelecer onde o teorema se pode aplicar.

Será que o teorema do valor médio se aplica à função 𝑦 igual a dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 mais sete no intervalo fechado de zero a cinco?

Para utilizar o teorema do valor médio, duas coisas devem ser verdadeiras sobre a nossa função 𝑓 de 𝑥. Deve ser contínua no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. E deve ser diferenciável no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. Bem, a função dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 mais sete é de facto contínua no intervalo fechado de zero a cinco. É o gráfico de uma cúbica simples que se parece um pouco com isto no nosso intervalo fechado. E, para verificar a segunda condição, veremos o que acontece quando diferenciamos em ordem a 𝑥. A derivada de dois 𝑥 ao cubo é três vezes dois 𝑥 ao quadrado. É seis 𝑥 ao quadrado. E a derivada de menos quatro 𝑥 é menos quatro. Portanto, obtemos d𝑦 sobre d𝑥 igual a seis 𝑥 ao quadrado menos quatro. Isto está mesmo definido no intervalo aberto de zero a cinco. E podemos dizer que sim, o teorema do valor médio aplica-se mesmo. Este exemplo demonstra que simplesmente precisamos de verificar as condições necessárias para o teorema do valor médio para estabelecer se podemos utilizá-lo para uma determinada função.

Agora vamos ver um exemplo de como podemos utilizá-lo.

Para a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥, determine todos os valores possíveis de 𝑐 que satisfazem o teorema do valor médio no intervalo fechado de menos dois a dois.

Lembre-se, o teorema do valor médio diz que se 𝑓 é uma função que é contínua nalgum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e diferenciável em todos os pontos de um intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. Existe então um ponto 𝑐 nesse intervalo aberto, de modo que 𝑓 linha de 𝑐 é igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. O nosso 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥. E o nosso intervalo fechado é de menos dois a dois. Estamos à procura de determinar o valor de 𝑐 tal que a derivada da nossa função calculada em 𝑐 seja igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Isso é 𝑓 de dois menos 𝑓 de menos dois sobre dois menos menos dois. Então, vamos fazer duas coisas. Vamos calcular este quociente. E também determinaremos uma expressão para a derivada da nossa função. 𝑓 de dois é dois ao cubo menos quatro vezes dois. E 𝑓 de menos dois é menos dois ao cubo menos quatro vezes menos dois. E, na verdade, isso dá-nos um valor zero. Portanto, para determinar os valores de 𝑐 tal que 𝑓 linha de 𝑐 seja igual a zero, vamos determinar a derivada da nossa função.

A derivada de 𝑥 ao cubo é três 𝑥 ao quadrado. E a derivada de menos quatro 𝑥 é menos quatro. Então 𝑓 linha de 𝑥 é três 𝑥 ao quadrado menos quatro. E podemos dizer que 𝑓 linha de 𝑐 é igual a três 𝑐 ao quadrado menos quatro. Então, vamos estabelecer isto igual a zero e resolver em ordem a 𝑐. Começamos por adicionar quatro aos dois membros da nossa equação para obter que três 𝑐 ao quadrado igual a quatro. Em seguida, dividimos por três. E vemos que 𝑐 ao quadrado é igual a quatro terços. E, finalmente, aplicamos a raiz quadrada a ambos os membros, lembrando de aplicar pela raiz quadrada positiva e negativa de quatro terços. Para obter que 𝑐 igual a mais ou menos a raiz quadrada de quatro sobre três. E o que podemos dizer é igual a dois sobre a raiz três e menos dois sobre a raiz três. Observe também que estes valores de 𝑐 estão de facto no intervalo fechado de menos dois a dois, conforme exigido pelo teorema do valor médio.

Para a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos um elevado a oito, determine todos os valores possíveis de 𝑐 que satisfazem o teorema do valor médio no intervalo fechado de zero a dois.

Lembre-se, o teorema do valor médio diz que se 𝑓 é uma função que é contínua no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e diferenciável em todos os pontos do intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. Então, existe um ponto 𝑐 nesse intervalo aberto, de modo que 𝑓 linha de 𝑐 é igual 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. O nosso 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 menos um elevado a oito. E o nosso intervalo fechado varia de zero a dois. Estamos à procura de determinar o valor de 𝑐 tal que a derivada da nossa função calculada em 𝑐 seja igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Isto é 𝑓 de dois menos 𝑓 de zero sobre dois menos zero. Então, vamos fazer duas coisas. Vamos calcular este quociente. E também determinaremos uma expressão para a derivada da nossa função e calculamo-la em 𝑐. 𝑓 de dois menos 𝑓 de zero é dois menos um elevado a oito menos zero menos um elevado a oito. E obtemos que 𝑓 de dois menos 𝑓 de zero sobre dois menos zero é zero dividido por dois, que é apenas zero.

O nosso próximo trabalho é determinar a derivada da nossa função. E utilizaremos a regra geral das potências. Esta diz que se 𝑔 de 𝑥 é uma função diferenciável e 𝑛 é 𝑎 um número real constante, de modo que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 elevado a 𝑛. Então, a derivada de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 linha de 𝑥, é igual a 𝑛 vezes 𝑔 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um vezes a derivada de 𝑔 de 𝑥. Esta é 𝑔 linha de 𝑥. A derivada da nossa função 𝑥 menos um elevado a oito é, portanto, oito vezes 𝑥 menos um elevado a sete multiplicado pela derivada de 𝑥 menos um, que é um. E assim vemos que 𝑓 linha de 𝑥 é oito vezes 𝑥 menos um elevado a sete.

Vemos que 𝑓 linha de 𝑐 é oito vezes 𝑐 menos um elevado a sete. E lembre-se, descobrimos que 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎 é zero. Então, estabeleceremos isto igual a zero e depois resolveremos em ordem a 𝑐. Dividimos por oito. E vemos que 𝑐 menos um elevado a sete é zero. E podemos aplicar a raiz sétima de ambos os membros para ver que 𝑐 menos um é igual a zero, o que significa que 𝑐 igual a um é o único valor de 𝑐 que satisfaz o teorema do valor médio. Observe que ele cai no intervalo fechado de zero a dois, conforme requerido.

No nosso exemplo final, veremos como este teorema pode ser aplicado a uma questão contextualizada.

Uma pedra cai de uma altura de 81 pés. A sua posição 𝑡 segundos depois de cair até atingir o solo é dada pela função 𝑠 de 𝑡 igual a 16𝑡 ao quadrado mais 81. Determine quanto tempo levará a rocha a atingir o solo. Determine a velocidade média da rocha desde o ponto em que foi largada até atingir o solo. E determine o tempo 𝑡 de acordo com o teorema do valor médio, quando a velocidade instantânea da rocha for igual à velocidade média.

A rocha alcançará o solo quando a sua posição 𝑠 de 𝑡 for igual a zero. Portanto, podemos definir esta expressão como menos 16𝑡 ao quadrado mais 81 igual a zero e resolver em ordem a 𝑡. Adicionamos 16𝑡 ao quadrado a ambos os membros e depois dividimos por 16. E obtemos 𝑡 ao quadrado para ser igual a 81 sobre 16. Em seguida, aplicamos a raiz quadrada a ambos os membros, lembrando de aplicar a raiz quadrada positiva e negativa de 81 sobre 16. E vemos que 𝑡 é igual a mais ou menos nove quartos. Agora, podemos desconsiderar nove quartos negativo, pois estamos a trabalhar com tempo. E descobrimos que a rocha atinge o chão depois de nove quartos de segundo.

O nosso próximo trabalho é determinar a velocidade média da rocha nesse período de tempo. A definição para velocidade média é o deslocamento total dividido pelo tempo gasto. O deslocamento da nossa rocha é a sua mudança de posição. É de menos 81 pés. E leva nove quartos de um segundo para viajar até aqui. Portanto, a velocidade é menos 81 dividida por nove sobre quatro. Lembre-se, para dividir por uma fração, podemos multiplicar pela inversa dessa fração. Portanto, temos menos 81 vezes quatro sobre nove. E a seguir, anulamos este fator de nove. E assim obtemos que a velocidade média da nossa rocha é de menos 36 pés por segundo.

Para a parte final desta questão, precisaremos de citar o teorema do valor médio. Lembre-se, este diz que se 𝑓 é uma função contínua n algum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e diferenciável em todos os pontos desse intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. Então, existe um ponto 𝑐 nesse intervalo, tal que 𝑓 linha de 𝑐 é igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Sabemos que a velocidade média é de menos 36 pés por segundo. Esta é equivalente a este quociente. A velocidade instantânea pode ser determinada diferenciando a nossa função de posição. Isto é 𝑠 linha de 𝑡 é igual a menos 32𝑡. Neste caso, podemos dizer que 𝑠 linha de 𝑐 é igual a menos 32𝑐. E obtemos a equação menos 32𝑐 igual a 36. Resolvemos em ordem a 𝑐 dividindo ambos os membros por menos 32. E descobrimos que o instante de tempo em que a velocidade instantânea da rocha é igual à velocidade média é igual a nove oitavos de um segundo.

Neste vídeo, discutimos brevemente o teorema de Rolle. E dissemos que, se uma função 𝑓 satisfaz três critérios. Ou seja, é contínua no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, diferenciável no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏 e 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑓 de 𝑏. Então, existe um número 𝑐 nesse intervalo aberto tal que a derivada de 𝑓 calculada em 𝑐 seja igual a zero. Também vimos que podemos utilizar o teorema de Rolle para provar o teorema do valor médio. E isso diz que se 𝑓 de 𝑥 é contínua num intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e diferenciável num intervalo aberto 𝑎 a 𝑏. Então, existe um número 𝑐 nesse intervalo aberto tal que 𝑓 linha de 𝑐 é igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎.

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