Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como identificar uma sequência e algumas das propriedades comuns das sequências. Lembramos que uma sequência em matemática é uma lista ordenada de termos. Neste vídeo, vamos nos concentrar em sequências numéricas. As sequências comuns incluem os números inteiros um, dois, três, quatro e assim por diante, os números quadrados um, quatro, nove, 16 e assim por diante, junto com muitos outros reconhecíveis. A ordem de uma sequência é importante. Por exemplo, um, quatro, nove, 16 não é o mesmo que um, nove, quatro, 16. Essa é uma distinção importante entre uma sequência de números e o conjunto de números.
Neste vídeo, vamos nos concentrar em dois tipos de sequências, aritméticas e geométricas. Uma progressão aritmética é aquela em que cada termo pode ser obtido a partir do anterior adicionando uma diferença comum 𝑑. Em outras palavras, uma sequência é aritmética se 𝑎 sub 𝑛 mais um for igual a 𝑎 sub 𝑛 mais 𝑑 onde 𝑎 sub 𝑛 é o termo geral e 𝑛 é qualquer número natural. 𝑎 sub 𝑛 mais um será o termo que se segue a esse. Ao subtrair 𝑎 sub 𝑛 de ambos os lados desta equação, isso pode ser reescrito como mostrado.
Vamos considerar a sequência três, nove, 15, 21 e assim por diante. O primeiro termo nesta sequência denotado 𝑎 sub um é igual a três, 𝑎 sub dois é igual a nove, 𝑎 sub três 15 e 𝑎 sub quatro é 21. Podemos provar que essa sequência é aritmética considerando a diferença entre pares de termos consecutivos. Subtraindo o primeiro termo do segundo termo, temos nove menos três, que é igual a seis. 𝑎 sub três menos 𝑎 sub dois também é igual a seis. Quando subtraímos o terceiro termo, 𝑎 sub três, do quarto termo, 𝑎 sub quatro, também obtemos uma resposta de seis. A sequência três, nove, 15, 21 tem uma diferença comum de seis e, portanto, é aritmética. É importante notar que a diferença comum pode ser negativa, caso em que cada termo da sequência seria menor que o anterior.
Vamos agora ver a definição de uma progressão geométrica. Uma progressão geométrica é aquela em que cada termo pode ser obtido a partir do termo anterior multiplicando por uma razão comum 𝑟. Em outras palavras, uma sequência é geométrica se 𝑎 sub 𝑛 mais um for igual a 𝑎 sub 𝑛 multiplicado por 𝑟. Dividindo por 𝑎 sub 𝑛, isso também pode ser escrito como 𝑎 sub 𝑛 mais um dividido por 𝑎 sub 𝑛 é igual à razão comum 𝑟. Vamos considerar a sequência três, seis, 12, 24 e assim por diante. Mais uma vez, vamos deixar cada um desses termos ser 𝑎 sub um, 𝑎 sub dois, 𝑎 sub três e 𝑎 sub quatro, respectivamente. Dividindo 𝑎 sub dois por 𝑎 sub um, temos seis dividido por três, que é igual a dois. Quando dividimos o terceiro termo pelo segundo termo, também obtemos uma resposta de dois.
Finalmente, também obtemos uma resposta de dois ao dividir 𝑎 sub quatro por 𝑎 sub três. Isso significa que temos uma razão comum igual a dois e a sequência três, seis, 12, 24 e assim por diante é geométrica. Ao lidar com progressões aritméticas, vimos que cada termo sucessivo é maior ou menor que o termo anterior. Isso dependerá se a diferença comum é positiva ou negativa. Uma progressão geométrica, por outro lado, pode alternar entre valores positivos e negativos. Isso ocorre quando a razão comum 𝑟 é negativa. Por exemplo, a sequência três, menos seis, 12, menos 24 e assim por diante, tem uma razão comum igual a menos dois. Em nosso primeiro exemplo, consideraremos se uma lista de sequências é aritmética, geométrica ou nenhuma das duas.
Qual das seguintes sequências não pode ser classificada como aritmética ou geométrica? É (A) um meio, um, três sobre dois, dois e assim por diante? (B) Um meio, um terço, um quarto, um quinto e assim por diante. (C) Um meio, um quarto, um oitavo, um dezesseis avos e assim por diante. (D) Um nono, menos um terço, um, menos três e assim por diante. (E) Um, um terço, menos um terço, menos quatro terços e assim por diante.
Começaremos lembrando o que queremos dizer com progressão aritmética e geométrica. No entanto, é importante observar que estamos procurando a sequência ou sequências que não são nenhuma delas. Uma progressão é aritmética se 𝑎 sub 𝑛 mais um menos 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑑. Em outras palavras, a diferença entre os termos consecutivos é igual a uma diferença comum. Vamos agora considerar se alguma das opções listadas satisfaz essa propriedade. Subtraindo o primeiro termo do segundo termo na opção (A) nos dá um meio. Isso também é verdade quando subtraímos o segundo termo do terceiro termo e quando subtraímos o terceiro termo do quarto termo. Podemos, portanto, concluir que a sequência um meio, um, três sobre dois, dois tem uma diferença comum de um meio e é, portanto, uma progressão aritmética.
Substituindo nos termos consecutivos da opção (B), vemos que não há diferença comum. Isso significa que essa não é uma progressão aritmética. O mesmo vale para as opções (C), (D) e (E). No entanto, vale a pena examinar a opção (E) mais de perto. Subtrair o primeiro termo do segundo termo nos dá dois terços negativos, e isso também é verdade quando subtraímos o segundo termo do terceiro termo. No entanto, subtrair o terceiro termo do quarto termo não nos dá menos dois terços. Isso destaca que é importante verificar todos os pares de termos sucessivos.
Vamos agora relembrar nossa definição de uma progressão geométrica. Qualquer sequência é dita geométrica se 𝑎 sub 𝑛 mais um dividido por 𝑎 sub 𝑛 é igual a uma razão comum 𝑟. O quociente de termos sucessivos deve ser igual. Dividindo os termos consecutivos da opção (B), temos um terço dividido por um meio, um quarto dividido por um terço e um quinto dividido por um quarto. Lembrando que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso, temos respostas de dois terços, três quartos e quatro quintos. Isso significa que a opção (B) não tem uma razão comum e, portanto, não é geométrica. Podemos, portanto, concluir que a opção (B) é uma resposta correta. Não pode ser classificada como aritmética ou geométrica.
Antes de terminar esta questão, é importante verificarmos se as opções (C), (D) e (E) representam progressões geométricas. Dividindo os termos consecutivos da opção (C) nos dá uma razão comum igual a um meio. Isso significa que essa sequência é geométrica e, portanto, não é uma resposta correta. Dividindo os termos consecutivos da opção (D) também nos dá uma razão comum, desta vez igual a menos três. A sequência um nono, menos um terço, um, menos três é geométrica. Finalmente, dividindo os termos consecutivos da opção (E), vemos que não há razão comum. Isso significa que essa sequência não é geométrica, e já estabelecemos que não é aritmética. As duas sequências um meio, um terço, um quarto, um quinto e assim por diante e um, um terço, menos um terço, menos quatro terços e assim por diante não podem ser classificadas como aritméticas ou geométricas.
Em nosso próximo exemplo, consideraremos o domínio e a imagem de uma sequência. Vamos primeiro lembrar o que queremos dizer com esses termos. O domínio de uma função se refere ao conjunto de valores de entrada, enquanto a imagem se refere ao conjunto de valores de saída. Ao contrário das funções, ao trabalhar com sequências, o domínio e a imagem devem ser conjuntos de valores discretos. No exemplo a seguir, isso será demonstrado em um gráfico.
Encontre a imagem da progressão aritmética infinita representada na figura. É (A) o conjunto de todos os valores reais? (B) O conjunto de números um, dois, três, quatro e assim por diante. (C) Os valores no intervalo fechado são menos oito a quatro. (D) O conjunto de números quatro, zero, menos quatro, menos oito. Ou (E) o conjunto de números quatro, zero, menos quatro, menos oito e assim por diante.
A pergunta nos diz que a sequência dada é aritmética. Também nos é dito que é infinita, o que significa que a imagem também deve ser infinita. Podemos, portanto, descartar a opção (C) e (D), pois elas contêm um conjunto finito de valores. Os quatro pontos mostrados na figura têm coordenadas um, quatro, dois, zero, três, menos quatro e quatro, menos oito. Sabemos que a imagem de uma função é o conjunto de saídas ou valores de 𝑦. Nesse caso, eles são iguais a quatro, zero, menos quatro e menos oito, os valores de 𝑇 sub 𝑛. A imagem da progressão aritmética infinita representada na figura é quatro, zero, menos quatro, menos oito e assim por diante. Isso significa que a resposta correta é a opção (E).
Opção (B) o conjunto de valores um, dois, três, quatro e assim por diante refere-se ao domínio, pois este é o conjunto de entradas ou valores 𝑥. Ao lidar com uma sequência, sabemos que a imagem deve ser um conjunto discreto de valores. Como a opção (A), o conjunto de números reais, é contínua, podemos descartar essa opção. Isso confirma que a opção (E) é a escolha correta.
Em nosso exemplo final, veremos uma sequência representada por um padrão.
Considere o seguinte padrão. Qual das seguintes sequências representa o número de triângulos azuis sólidos em cada termo sucessivo do padrão? É (A) dois, oito, 26, 80 e assim por diante? (B) Um, três, nove, 27 e assim por diante. (C) Dois, seis, 18, 54 e assim por diante. (D) Dois, quatro, 12, 36 e assim por diante. Ou (E) dois, quatro, oito, 16 e assim por diante. Que tipo de sequência é encontrada ao contar o número de triângulos azuis sólidos no padrão acima?
Nesta pergunta, estamos interessados no número de triângulos azuis sólidos em cada termo. Temos cinco possíveis sequências que representam isso. No termo 1, é claro que existem dois triângulos azuis. Isso exclui imediatamente a opção (B), pois o primeiro termo nessa sequência é um. No segundo termo, existem seis triângulos azuis. Isso exclui a opção (A), a opção (D) e a opção (E), pois elas têm um segundo termo de oito, quatro e quatro, respectivamente. Até agora, os dois primeiros termos correspondem aos da opção (C). No padrão 3, cada uma das seções circuladas tem três triângulos azuis. Como existem seis deles, isso dá um total de 18 triângulos azuis. Mais uma vez, isso corresponde ao terceiro termo da opção (C).
No termo 4, cada uma das seções circuladas tem nove triângulos azuis, dando um total de 54. A sequência que representa o número de triângulos azuis sólidos é dois, seis, 18, 54 e assim por diante. Podemos, portanto, concluir que a resposta correta é a opção (C).
Na segunda parte desta questão, somos solicitados a descobrir que tipo de sequência é mostrado. Isso poderia ser uma progressão aritmética, uma progressão geométrica ou nenhuma das duas. Lembramos que uma progressão aritmética tem uma diferença comum entre termos consecutivos. Claramente, esse não é o caso desta sequência. Uma progressão geométrica tem uma razão comum entre termos sucessivos. Como dois multiplicado por três são seis, seis multiplicado por três são 18 e 18 multiplicados por três são 54, a sequência dois, seis, 18, 54 tem uma razão comum igual a três. Podemos, portanto, concluir que o tipo de sequência encontrada ao contar o número de triângulos azuis sólidos no padrão é uma progressão geométrica.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Uma sequência 𝑎 sub 𝑘 é aritmética se 𝑎 sub 𝑛 mais um menos 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑑 para todos os números naturais 𝑛. O valor 𝑑 é conhecido como a diferença comum. Uma sequência 𝑎 sub 𝑘 é geométrica se 𝑎 sub 𝑛 mais um dividido por 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑟 para todos os números naturais 𝑛 onde 𝑟 é a razão comum da sequência. As sequências podem ser aritméticas, geométricas ou nenhuma das duas. O domínio de uma sequência é o conjunto discreto de valores de entrada, normalmente, o conjunto de números inteiros positivos, enquanto a imagem de uma sequência é o conjunto discreto de valores de saída. Quando essas coordenadas são desenhadas em um gráfico, sua forma pode ajudar a identificar se a sequência é aritmética ou geométrica.
