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Vídeo: Derive a Fórmula Quadrática

Aqui, explicaremos como utilizar a técnica de completar quadrado para derivar uma fórmula para resolver uma equação da forma geral 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 para 𝑥.

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Transcrição do vídeo

Encontrar uma fórmula para resolver uma equação quadrática da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 é igual a zero. Então, aqui está nossa equação que estamos tentando resolver em termos de 𝑥, e 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são apenas números constantes.

Primeiro de tudo, vamos dividir ambos os lados da equação pela constante 𝑎. Então, o ’ 𝑎 ’ está cancelado e nós ficamos com 𝑏𝑥 sobre 𝑎 mais 𝑐 sobre 𝑎 é igual a zero sobre 𝑎. Bem, isso é apenas zero. E arrumando um pouquinho, essa é a equação que estamos tentando resolver agora.

Vou subtrair 𝑐 sobre 𝑎 de ambos os lados da minha equação, subtraindo assim do lado esquerdo e subtraindo do lado direito. Então, 𝑐 sobre 𝑎 menos 𝑐 sobre 𝑎 é zero, e do lado direito, zero menos 𝑐 sobre 𝑎 ficamos com menos 𝑐 sobre 𝑎.

Agora, vou usar o método de completar o quadrado do lado esquerdo para tentar encontrar outra forma desse lado esquerdo, que vai nos ajudar a resolver nossa equação. Portanto, este é o nosso primeiro palpite: o que vamos fazer para obter uma expressão equivalente a esta.

Agora, o termo 𝑥 ao quadrado nos diz que vamos usar 𝑥 aqui e então tomamos metade desse coeficiente para esse termo aqui. Então, vamos multiplicar esses parênteses. 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado, 𝑥 vezes 𝑏 sobre dois 𝑎 é 𝑏 sobre dois 𝑎 𝑥, 𝑏 sobre dois 𝑎 vezes 𝑥 é outro 𝑏 sobre dois 𝑎 𝑥, e finalmente 𝑏 sobre dois 𝑎 vezes 𝑏 sobre dois 𝑎 é positivo 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado.

Então, adicionando 𝑏 sobre dois 𝑎 𝑥 mais 𝑏 sobre dois 𝑎 𝑥 nos dá 𝑏 sobre 𝑎 𝑥. Agora a primeira parte aqui 𝑥 ao quadrado mais b sobre 𝑎𝑥 é exatamente o que estávamos procurando, 𝑥 ao quadrado 𝑏𝑎 𝑥. O problema é que temos um termo extra no final, o extra 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado.

Então esta expressão aqui não é a mesma que esta expressão aqui. Temos um 𝑏 elevado ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado. Então, se eu tirasse isso desse termo, acabaria com o que eu queria no começo.

Então nosso primeiro palpite era 𝑥 mais 𝑏 sobre dois 𝑎 todos ao quadrado seria equivalente a 𝑥 ao quadrado mais 𝑏 sobre 𝑎𝑥, mas como vimos aqui embaixo, isso não está certo. Isso nos dá um pouco a mais, então eu preciso subtrair aquilo disto para conseguir o que eu estava realmente procurando. Então, espero que você possa ver que essas duas linhas são a mesma coisa; 𝑥 mais 𝑏 sobre dois 𝑎 todos ao quadrado nos dá essa expressão aqui.

Se eu subtrair 𝑏 ao quadrado de quatro 𝑎 ao quadrado, é como se livrar desse termo, o que deixa esse termo aqui, que é exatamente o que estávamos procurando. Bem, agora vou tentar isolar o 𝑥 mais 𝑏 sobre dois 𝑎 todos os termos ao quadrado ao adicionar 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado em ambos os lados da minha equação.

Agora podemos ver que, do lado esquerdo, tenho um menos 𝑏 quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado e, em seguida, estou adicionando 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado, então esses dois termos serão cancelados. E agora vou tentar manipular o lado direito para que, em vez de dois termos separados, eu tenha apenas um grande termo.

E do jeito que eu posso fazer isso, eu tenho um denominador neste termo de quatro 𝑎 ao quadrado. Eu tenho um denominador neste termo de apenas 𝑎. Então, se eu multiplicar o numerador por quatro 𝑎 e o denominador por quatro 𝑎, agora o meu denominador neste termo será quatro 𝑎 quadrado assim como este termo.

Agora, multiplicando por quatro 𝑎 sobre quatro 𝑎, que basicamente é um, quatro 𝑎 dividido por quatro 𝑎 é ​​um, então eu não mudei o meu número; somente alterei o formato da expressão. Então, quando eu reescrevo isso, você pode ver que eu tenho dois termos com um denominador comum, então eu posso colocar isso em um grande termo.

E aí temos isso. Em vez de escrever menos quatro 𝑎𝑐 mais 𝑏 ao quadrado, eu coloquei o termo positivo primeiro, então 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 tudo sobre quatro 𝑎 ao quadrado. Agora eu posso tirar a raiz quadrada de ambos os lados para que eu possa descobrir no lado esquerdo o que 𝑥 mais 𝑏 sobre dois 𝑎 é.

E claramente há duas respostas possíveis para o lado direito. Poderíamos ter a versão positiva da raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 tudo sobre quatro 𝑎 ao quadrado ou poderíamos ter a versão negativa disso. E agora o que eu vou fazer também é que eu vou apenas reorganizar um pouco esse segundo termo porque a raiz quadrada de quatro 𝑎 ao quadrado é claramente dois 𝑎.

E agora posso simplesmente subtrair 𝑏 sobre dois 𝑎 de ambos os lados, para que eu possa deixar 𝑥 sozinho aqui à esquerda. Então, vamos subtrair 𝑏 sobre dois 𝑎 de ambos os lados da equação. Então, aqui no lado esquerdo, eu tenho 𝑏 sobre dois 𝑎, subtraio 𝑏 sobre dois 𝑎 e isso é zero, então essas duas coisas se cancelam.

E agora eu vou escrever isso em uma ordem um pouco diferente, vou escrever o menos 𝑏 sobre dois 𝑎 primeiro. E já temos um denominador comum aqui, então, na verdade, vou a um estágio além disso. Eu vou escrever tudo isso como uma única expressão do lado direito.

E aqui temos uma fórmula geral para resolver equações quadráticas do formato 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 é igual a zero. Então vamos ver como podemos usar isso na prática. Aqui está uma pergunta. Resolva 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais seis é igual a zero. Então, precisamos encontrar o valor ou valores de 𝑥 que satisfarão essa equação.

A primeira coisa a fazer é descobrir o que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são da fórmula geral. Portanto, nosso formato geral é 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐, então o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é o valor de 𝑎. Não há nada na frente do 𝑥 ao quadrado, então isso significa que existe um 𝑥 ao quadrado, então 𝑎 é ​​igual a um 𝑥.

O coeficiente na frente do 𝑥 é menos cinco, então 𝑏 é menos cinco. E o número do termo por si só no final é mais seis, então 𝑐 é seis. Em seguida, escrevemos nossa fórmula quadrática: 𝑥 é igual a menos 𝑏 mais ou menos a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 tudo sobre dois 𝑎.

Agora vamos substituir esses valores nessa equação. Algumas dicas: eu sempre escrevo a equação na íntegra como fizemos aqui, substituindo todos os valores 𝑎, 𝑏 e 𝑐 exatamente como eles são. Isso mostra que, se você está no exame, mostra ao examinador que você sabe basicamente o que está fazendo.

Em segundo lugar, eu sempre escrevo números negativos entre parênteses, então temos menos cinco. Eu escrevi os cinco negativos entre parênteses aqui e aqui porque 𝑏 era menos cinco. Isso significa que, ao inserir o número na sua calculadora, sua calculadora não cometerá erros. Por exemplo, aqui, menos cinco ao quadrado, se eu tiver escrito menos cinco ao quadrado na minha calculadora, me dará uma resposta negativa de vinte e cinco.

Mas, na verdade, queremos o total de menos cinco ao quadrado, então menos cinco vezes menos cinco são vinte e cinco positivos. E esta é a resposta que estamos procurando. Portanto, os parênteses definitivamente vão nos ajudar a obter a resposta certa. Ok, vamos passar por isso passo a passo.

Menos o menos cinco é cinco positivo mais ou menos menos cinco vezes menos cinco é vinte e cinco positivo, então isso vai ser vinte e cinco, e quatro vezes um é quatro e quatro vezes seis é vinte e quatro, então estamos subtrair vinte e quatro. E no denominador, duas vezes um é apenas dois.

Por isso, calculando o conteúdo da raiz quadrada, vinte e cinco menos vinte e quatro é um, então temos a raiz quadrada de um. Então as respostas serão cinco mais a raiz quadrada de um tudo sobre dois ou cinco menos a raiz quadrada de um tudo sobre dois. Então agora nós escrevemos isso separadamente.

Primeiro de tudo, nós vamos fazer o caso positivo, e depois vamos fazer o caso negativo. Assim, o primeiro caso 𝑥 pode ser cinco mais um sobre dois, o que nos dá uma resposta de três, ou 𝑥 cinco menos um sobre dois, o que nos dá uma resposta de dois. Agora só precisamos escrever nossa resposta claramente.

Aqui vamos nós; a resposta é: 𝑥 é igual a três ou 𝑥 é igual a dois. Se quiséssemos ter certeza dos resultados, poderíamos sempre experimentá-los na equação original, então vamos fazer isso rapidamente agora. Então, três, vamos tentar com o três primeiro, três ao quadrado são nove, menos cinco vezes três, então menos quinze, e depois adicionamos seis, então nove e seis são quinze, menos quinze, isso é zero, está correto.

E agora com dois, dois ao quadrado são quatro menos cinco vezes dois, então menos dez, e então estamos adicionando seis, bem quatro mais seis são dez menos dez é igual a zero. Então, sabemos que isso também está correto, por isso estamos felizes por nossas respostas estarem corretas.