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Vídeo da aula: Desvio-Padrão de um Conjunto de Dados

Neste vídeo, aprenderemos como determinar e interpretar o desvio-padrão de um determinado conjunto de dados.

09:30

Transcrição do vídeo

Antes de assistir a este vídeo, já deverá estar familiarizado com o desvio-padrão e como o calcular a partir de uma lista de valores. Temos outro vídeo a abordar isto, se não tiver a certeza acerca disto. Neste vídeo calculará o desvio-padrão de um conjunto de valores apresentados na forma de uma tabela de frequências.

Lembre-se de que o desvio-padrão é um número que indica a quantidade de variabilidade de um conjunto de números. É a raiz do desvio quadrático médio da média ou o desvio-padrão é igual a Σ. Este símbolo pequeno engraçado que está encapsulado nesta fórmula aqui. A soma de cada pontuação individual menos a média ao quadrado dividida por 𝑛. E a seguir, obtemos a raiz quadrada de toda a soma.

Embora, na verdade, tenhamos outra fórmula que pode ser mais fácil de utilizar. E somamos isto como a média dos quadrados menos o quadrado da média. E a seguir, obtemos a raiz quadrada de tudo isto. Portanto, se tem uma lista direta de números para os quais deseja calcular o desvio-padrão, é um processo relativamente direto, embora às vezes um pouco demorado.

Por exemplo, se quiser calcular o desvio-padrão de três, sete, oito, 10 e 11, podemos apenas designá-los por valores de 𝑥 e escrevê-los e depois colocá-los ao quadrado. E se somarmos os valores de 𝑥 neste caso, obtemos 39. E se somar os valores de 𝑥 ao quadrado neste caso, obterá 343. Também perceberá que temos cinco bits de dados porque havia cinco números que nos foram dados em primeiro lugar. Então, para calcular o desvio-padrão, precisamos apenas de inserir alguns destes valores na nossa fórmula.

Bem, a soma dos 𝑥 quadrados é 343, e 𝑛 era cinco, e a soma dos 𝑥s era 39. E tudo isto simplifica para 194 sobre 25. Portanto, a nossa resposta será que o desvio-padrão para este conjunto de dados é 2.79, arredondado com duas casas decimais.

Brilhante, mas não é sobre isto que este vídeo é.

Digamos que temos alguns dados numa tabela de frequência. Como é que podemos calcular o desvio-padrão então? Por exemplo, aqui temos uma série de preços e as suas frequências. Então, três itens tinham um preço de talvez 10 dólares, dois itens tinham um preço de 20 dólares e quatro itens tinham um preço de 30 dólares. Qual é o desvio-padrão dos preços?

Bem, poderemos apenas escrever os dados numa lista grande e utilizar o método que já conhecemos. Então, serão três lotes de 10, dois lotes de 20 e quatro lotes de 30. Ou seja, temos nove bits de dados no total. E se somarmos todos, obtemos 190. Então, agora, vamos seguir em frente e anotar os valores de 𝑥 ao quadrado. E, é claro, 10 ao quadrado é 100, 20 ao quadrado é 400 e 30 ao quadrado é 900. E a seguir, a soma dos 𝑥 quadrados é 4700. E podemos inserir estes números na nossa fórmula. Então, temos que calcular 4700 dividido por nove menos 190 sobre nove ao quadrado e depois obter a raiz quadrada desta resposta. E isto resulta em 8.75, com duas casas decimais.

Agora, eu apressaria isto utilizando o poder da manipulação do vídeo, mas pode imaginar se estas frequências fossem muito mais altas. Então, teríamos uma lista enorme e longa de números aqui. E demoraria muito tempo fazer este cálculo. Agora, felizmente, existe uma fórmula alternativa que nos pode poupar um pouco de tempo.

Então, se chamarmos 𝑓 as frequências e os preços, neste caso, 𝑥, que são todas as pontuações individuais, Σ será igual à soma de 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado dividido pela soma de 𝑓, o número de dados que nós temos, menos a soma dos 𝑓𝑥s dividida pela soma das frequências ao quadrado. E a seguir, calcula a raiz quadrada disto. Bem, vamos ver isto em funcionamento agora.

Bem, primeiro, vou adicionar outra linha à nossa tabela. Então, estes serão os 𝑥 ao quadrado. Então, isto é 10 ao quadrado, 20 ao quadrado e 30 ao quadrado, que é 100, 400 e 900. Agora, vou adicionar uma linha para 𝑓 vezes 𝑥, a frequência vezes a pontuação de 𝑥. Então, para a primeira coluna, será três, a pontuação de frequência, vezes 10, a pontuação 𝑥. A segunda coluna será dois vezes 20. E a terceira será quatro vezes 30, dando-nos 30, quarenta e 120.

E a seguir, vou adicionar uma linha para 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado. Então, as frequências serão as mesmas que acabámos de utilizar nos nossos cálculos, mas desta vez, em vez de multiplicar cada frequência pelo seu valor de 𝑥 correspondente, estamos a multiplicar pelo seu valor de 𝑥 ao quadrado correspondente. Então, são 100, 400 e 900. E quando eu completar estes cálculos, as minhas pontuações de 𝑓𝑥 ao quadrado serão 300, 800 e 3600.

Então, a seguir, preciso de fazer algumas somas. A soma das frequências, três mais dois mais quatro, é nove. A soma dos 𝑓 𝑥s, que é 30 mais 40 mais 120, é 190. E a soma do 𝑓𝑥 ao quadrado, ou seja, 300 mais 800 mais 3600, é 4700. Então, agora, só preciso de inserir estes números na minha fórmula. Portanto, a soma do 𝑓𝑥 ao quadrado é 4700. E a soma dos 𝑓s é nove. E então, disto estamos subtraindo a soma dos 𝑓𝑥s que é 190 sobre a soma dos 𝑓s que é nove ao quadrado. E vamos calcular a raiz quadrada de tudo.

E, felizmente, vem exatamente com a mesma resposta. Agora, neste exemplo em particular, como as frequências eram tão baixas, provavelmente demorou um pouco mais para fazer este segundo método do que o método original para escrever todas as pontuações individuais. Mas pode imaginar que se todas estas frequências fossem muito mais altas, escrever todas as pontuações individuais demoraria muito mais tempo. Portanto, este segundo método certamente terá poupado algum tempo.

Certo, então, vamos ver um exemplo final antes de terminar o vídeo.

Calcule o desvio-padrão dos seguintes dados. Então, as nossas pontuações foram um, dois, três, quatro e cinco. E três pessoas obtiveram um, nove pessoas obtiveram dois, doze pessoas obtiveram três, cinco pessoas obtiveram quatro e quatro pessoas obtiveram cinco.

Então, a primeira coisa que teremos que fazer é adicionar três linhas, uma para os valores de 𝑥 ao quadrado, uma para os valores de 𝑓 vezes 𝑥 e uma para os valores de 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado. Então, primeiro, vamos calcular os valores de 𝑥 ao quadrado. Então, um ao quadrado é um, dois ao quadrado é quatro, três ao quadrado é nove, quatro ao quadrado é 16 e cinco ao quadrado é 25. E agora, podemos preencher a coluna 𝑓𝑥. Então, as frequências são três, nove, 12, cinco e quatro, lembre-se. Então, três vezes um é três, nove vezes dois é 18, 12 vezes três é 36, cinco vezes quatro é 20 e quatro vezes cinco é 20.

E agora, podemos preencher a linha dos 𝑓𝑥 ao quadrado. Três vezes um novamente é três, nove vezes quatro é 36, 12 vezes nove é 108, cinco vezes 16 desta vez é 80 e, em seguida, quatro vezes 25 é 100. E agora, vamos precisar de calcular a soma dos 𝑓s, a soma dos 𝑓 vezes 𝑥s e a soma dos 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado. Bem, somando os números na linha 𝑓, três mais nove mais 12 mais cinco mais quatro, dá-nos 33. Somando os números na linha 𝑓𝑥, três mais 18 mais 36 mais 20 mais 20 é igual a 97. E somando o 𝑓𝑥 ao quadrado, três mais 36 mais 108 mais 80 mais 100 é 327.

E, recapitulando a nossa fórmula para Σ, o desvio-padrão é a raiz quadrada da soma de 𝑓𝑥 ao quadrado dividida pela soma dos 𝑓s menos a soma dos 𝑓𝑥s dividida pela soma dos 𝑓s todos ao quadrado. Então, apenas preenchendo estes valores lá, a soma dos 𝑓𝑥 ao quadrado é 327, a soma dos 𝑓s foi 33. Então, isto vai aqui e aqui. E a soma dos 𝑓s foi 97. E colocar tudo isto na calculadora e arredondar para duas casas decimais dá-nos uma resposta de 1.13.

Então, felizmente, este último exemplo destaca o facto de que quando as frequências ficam um pouco mais altas, isto teria sido - teríamos que escrever 33 números. Portanto, teria sido um pouco mais difícil resolver esta questão se não tivéssemos utilizado a fórmula da tabela.

Então, para resumir o que aprendemos, para valores dados numa tabela de frequência em que 𝑥 são as pontuações individuais e 𝑓 são as frequências destas pontuações, o desvio-padrão Σ é igual à raiz quadrada da soma de 𝑓𝑥 ao quadrado dividido pela soma dos 𝑓s menos a soma dos 𝑓𝑥s dividida pela soma dos 𝑓s ao quadrado.

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