Vídeo: Encontrando o Desvio Padrão de Valores em uma Tabela de Frequência

Aprenda como calcular o desvio padrão de um conjunto de dados fornecidos em uma tabela de frequência. Compare entre listar os elementos de dados individualmente e usando a fórmula padrão e estendendo a tabela de frequência e usando a fórmula de frequência agrupada.

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Transcrição do vídeo

Antes de assistir a este vídeo, você já deve estar familiarizado com o desvio padrão e como calculá-lo a partir de uma lista de valores. Temos outro vídeo sobre isso, se você não tem certeza. Neste vídeo, calcularemos o desvio padrão de um conjunto de valores apresentados na forma de uma tabela de frequência.

Lembre-se, o desvio padrão é um número que informa sobre a quantidade de variabilidade em um conjunto de números. É a raiz quadrada da média dos valores que desviam da média ao quadrado ou o desvio padrão é igual a Σ. Aquele pequeno símbolo engraçado lá, que é encapsulado nesta fórmula aqui. A soma de cada pontuação individual menos a média ao quadrado dividida por 𝑛. E então nós tomamos a raiz quadrada de toda a soma.

Embora, na verdade, tenhamos outra fórmula que pode ser mais fácil de usar. E resumimos isso como a média dos quadrados menos o quadrado da média. E então tomamos a raiz quadrada de tudo isso. Então, se você tem uma lista simples de números para os quais deseja calcular o desvio padrão, então, é um processo relativamente simples, se bem que às vezes um pouco demorado.

Por exemplo, se você quiser calcular o desvio padrão de três, sete, oito, 10 e 11, podemos apenas chamar esses valores de 𝑥 e anotá-los, e depois elevá-los ao quadrado. E se você somar os valores de 𝑥 neste caso, nós obteremos 39. E se você somar os valores de 𝑥 ao quadrado neste caso, você obtém 343. Você também notará que temos cinco dados porque havia cinco números que recebemos em primeiro lugar. Então, para calcular o desvio padrão, precisamos apenas inserir alguns desses valores em nossa fórmula.

Bem, a soma dos 𝑥 quadrados é 343 e 𝑛 era cinco, e a soma dos 𝑥s era 39. E isso tudo simplifica para 194 sobre 25. Nossa resposta seria que o desvio padrão para esse conjunto de dados é 2.79 corretos para duas casas decimais.

Brilhante! Mas não é isso que este vídeo trata.

Digamos que recebamos alguns dados em uma tabela de frequência. Como podemos calcular o desvio padrão? Por exemplo, aqui temos uma série de preços e suas frequências. Então, três itens tinham um preço de talvez 10 dólares, dois itens tinham um preço de 20 dólares e quatro itens tinham um preço de 30 dólares. Qual é o desvio padrão nos preços?

Bem, poderíamos apenas escrever os dados em uma lista grande e usar o método que já conhecemos. Então, seriam três vezes 10, dois vezes 20 e quatro vezes 30. O que significa que temos nove dados no total. E se somarmos todos eles, temos 190. Então agora vamos continuar e anotar os valores 𝑥 ao quadrado. E, claro, 10 ao quadrado é 100, 20 ao quadrado é 400 e 30 ao quadrado é 900. E então a soma dos 𝑥 quadrados é 4700. E podemos substituir esses números à nossa fórmula. Então temos que calcular 4700 dividido por nove menos 190 sobre nove ao quadrado e depois tomar a raiz quadrada dessa resposta. E isso significa 8.75 aproximado a duas casas decimais.

Agora eu passaria por isso usando o poder da manipulação de vídeo, mas você pode imaginar se essas frequências fossem muito mais altas. Então teríamos uma longa e enorme lista de números aqui. E levaria muito tempo para fazer esse cálculo. Agora, felizmente, há uma fórmula alternativa que pode nos economizar um pouco de tempo.

Então, se chamarmos 𝑓 as frequências e os dados, neste caso 𝑥, essa é a pontuação individual, Σ será igual à soma de 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado dividido pela soma de 𝑓, o número de dados que temos, menos a soma dos 𝑓 𝑥s dividida pela soma das frequências todas ao quadrado. E depois tirar a raiz quadrada delas. Bem, vamos ver isso em operação agora.

Bem, primeiro, vou adicionar outra linha à nossa tabela. Então estas serão os 𝑥 quadrados. Então são 10 ao quadrado, 20 ao quadrado e 30 ao quadrado, que são 100, 400 e 900. Agora vou adicionar uma linha para 𝑓 vezes 𝑥, a frequência vezes a pontuação 𝑥. Então, para a primeira coluna, serão três, a pontuação de frequência, vezes 10, a pontuação 𝑥. A segunda coluna será duas vezes 20. E a terceira será quatro vezes 30, dando-nos 30, quarenta e 120.

E depois, vou adicionar uma linha para os 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado. Então as frequências serão as mesmas que acabamos de usar em nossos cálculos, mas desta vez ao invés de multiplicar cada frequência pelo seu valor 𝑥 correspondente, estamos multiplicando pelo seu correspondente valor de 𝑥 ao quadrado. De modo que é 100, 400 e 900. E quando eu completar esses cálculos, os meus valores 𝑓 𝑥 ao quadrado serão de 300, 800 e 3600.

Então, a seguir, eu preciso fazer algumas somas. A soma das frequências, três mais dois mais quatro é nove. A soma dos 𝑓 𝑥s, que é 30 mais 40 mais 120, é 190. E a soma dos 𝑓 𝑥 ao quadrado, que é 300 mais 800 mais 3600, são 4700. Então, agora eu só preciso substituir esses números em minha fórmula. Então a soma dos 𝑓 𝑥 quadrados é 4700. E a soma dos 𝑓s é nove. E a partir daí, subtraindo a soma dos 𝑓 𝑥s é 190 sobre a soma dos 𝑓s é nove todos ao quadrado. E estamos pegando a raiz quadrada da coisa toda.

E, felizmente, surge exatamente com a mesma resposta. Agora, neste exemplo em particular, porque as frequências eram tão baixas, provavelmente demorou um pouco mais para fazer esse segundo método do que o método original que anotava todas as pontuações individuais. Mas você pode imaginar que se todas essas frequências fossem muito mais altas, escrever todas as pontuações individuais levaria muito mais tempo. Então, este segundo método certamente teria economizado algum tempo.

Então, vamos apenas dar um último exemplo antes de terminarmos o vídeo.

Calcule o desvio padrão dos seguintes dados. Então nossas pontuações são um, dois, três, quatro e cinco. E três pessoas marcaram um, nove pessoas marcaram dois, doze pessoas marcaram três, cinco pessoas marcaram quatro e quatro pessoas marcaram cinco.

Então, a primeira coisa que vamos ter que fazer é adicionar três linhas: uma para os valores de 𝑥 ao quadrado, um para os valores de 𝑓 vezes 𝑥, e uma para os valores de 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado. Então, primeiro de tudo, vamos calcular os valores de 𝑥 ao quadrado. Então um ao quadrado é um, dois ao quadrado é quatro, três ao quadrado é nove, quatro ao quadrado é 16 e cinco ao quadrado é 25. E agora podemos preencher a coluna 𝑓 𝑥. Assim, as frequências dos números três, nove, 12, cinco e quatro. Então três vezes um é três, nove vezes dois é 18, 12 vezes três é 36, cinco vezes quatro é 20 e quatro vezes cinco é 20.

E agora podemos preencher a linha 𝑓 𝑥 ao quadrado. Três vezes um novamente é três, nove vezes quatro é 36, 12 vezes nove é 108, cinco vezes 16 é 80 e quatro vezes 25 é 100. E agora vamos precisar calcular a soma dos 𝑓s, a soma dos 𝑓 vezes 𝑥s e a soma dos 𝑓 vezes 𝑥 ao quadrado. Bem, somando os números na linha 𝑓, três mais nove mais 12 mais cinco mais quatro nos dão 33. Somando os números na linha de 𝑓 𝑥, três mais 18 mais 36 mais 20 mais 20 é igual a 97. E somando os 𝑓 𝑥 quadrados, três mais 36 mais 108 mais 80 mais 100 são 327.

E apenas recapitulando nossa fórmula para Σ, o desvio padrão é a raiz quadrada da soma dos 𝑓 𝑥 quadrados dividido pela soma de 𝑓s menos a soma de 𝑓 𝑥s dividido pela soma de 𝑓s todos ao quadrado. Então, apenas preenchendo esses valores, a soma dos 𝑓 𝑥 quadrados é 327, a soma dos 𝑓s são 33. De modo que vai aqui e aqui. E a soma dos 𝑓s era 97. E colocando tudo na calculadora e arredondando para duas casas decimais nos dá uma resposta de 1.13.

Então, esperamos que o último exemplo disso esclareça o fato de que quando as frequências ficarem um pouco mais altas, isso teria sido — nós teríamos que escrever 33 números. Então teria sido um pouco mais difícil de resolver essa pergunta se não tivéssemos usado a nossa fórmula de tabela.

Então, para resumir o que aprendemos então, para valores dados em uma tabela de frequências onde 𝑥 é a pontuação individual e 𝑓 são as frequências dessas pontuações acontecendo, o desvio padrão Σ é igual à raiz quadrada da soma de 𝑓 𝑥 ao quadrado dividido pela soma dos 𝑓s menos a soma dos 𝑓 𝑥s dividida pela soma dos 𝑓s todos ao quadrado.

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