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Vídeo da aula: Resto de uma Série Alternada Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, vamos aprender como determinar o erro máximo quando aproximamos uma série alternada a um número finito de termos da série.

17:51

Transcrição do vídeo

Resto de uma Série Alternada

Neste vídeo, discutiremos a aproximação de determinadas séries alternadas pela sua soma parcial. Veremos os tipos de séries alternadas que podemos aproximar desta maneira, e também veremos como calcular o erro dessa aproximação. Também veremos como utilizar isto para determinar uma aproximação até um certo nível de erro que desejamos. Respondendo a questões como, de quantos termos precisamos para aproximar esta série alternada até um certo nível de erro? Vamos começar por discutir os tipos de séries alternadas que vamos aproximar.

Seja 𝑎 𝑛 uma sucessão positiva e decrescente cujo limite quando 𝑛 tende para ∞ de 𝑎 𝑛 é igual a zero. Escolhemos estas propriedades para 𝑎 𝑛, de modo a satisfazer o teste de séries alternadas. Isso significa que a soma de 𝑛 igual a 1 até ∞ de menos um elevado a 𝑛 mais um vezes 𝑎 𝑛 converge. Vamos chamar este valor de 𝑆. Sabemos que este valor é igual ao limite das suas somas parciais. E como este limite converge, isto significa que o limite das suas somas parciais também converge. Assim, à medida que assumimos cada vez mais termos na nossa soma parcial, aproximamo-nos cada vez mais de 𝑆. Isso significa que podemos aproximar 𝑆 utilizando a 𝑛-ésima soma parcial. Utilizamos apenas mais e mais termos para obter uma representação cada vez mais precisa de 𝑆.

Mas quão exata será esta soma? Vamos começar por reescrever as nossas séries alternadas em termos da 𝑛-ésima soma parcial. A nossa série alternada será igual à 𝑘-ésima soma parcial mais todos os restos. Portanto, temos que a nossa série é igual à 𝑘-ésima soma parcial mais o resto após 𝑘 termos. Vamos chamá-lo de 𝑅 𝑘. E queremos saber quão perto a nossa estimativa da soma parcial está do valor real de 𝑆. Se temos que 𝑆 é igual à 𝑘-ésima soma parcial mais o resto após 𝑘 termos, subtraindo a 𝑘-ésima soma parcial de ambos os membros desta equação, temos que 𝑆 menos 𝑆 𝑘 é igual a 𝑅 𝑘. Por outras palavras, a diferença entre o valor real da nossa série e a nossa aproximação é apenas igual a 𝑅 𝑘. Então, 𝑅 𝑘 está realmente a dizer-nos o quão exata é a nossa aproximação.

Podemos realmente reescrever a nossa equação inicial em termos de séries de potências para refletir isto. A série de potências para 𝑆 menos a série de potências para a 𝑘-ésima soma parcial é igual ao nosso termo resto. Portanto, para estimar quão exata é a nossa aproximação, precisamos apenas de estimar o valor de 𝑅 𝑘. Para determinar uma aproximação de 𝑅 𝑘, vamos escrever esta série termo a termo. Podemos ver que esta é uma série alternada. Podemos ver que o sinal de cada termo alterna entre positivo e negativo. De facto, se assumirmos que 𝑘 é par, então 𝑘 mais dois é par; portanto, menos um elevado a este expoente é apenas um. Portanto, o nosso primeiro termo, 𝑎 𝑘 mais um, é positivo. E precisamos de alternar os sinais dos demais termos.

A princípio, pode não parecer que isto nos ajude a aproximar o valor desta série. No entanto, escolhemos a nossa sucessão como decrescente. Isso significa que cada termo desta série está a ficar cada vez menor em módulo. De facto, também escolhemos a nossa sucessão como positiva. Então, o que é que isso nos diz? Vamos comparar os valores de 𝑎 𝑘 mais três e menos 𝑎 𝑘 mais dois. Sabemos que 𝑎 𝑘 mais três é menor que 𝑎 𝑘 mais dois porque a nossa sucessão está a diminuir. É o mesmo que dizer que menos 𝑎 𝑘 mais dois mais 𝑎 𝑘 mais três é menor que zero. O que mostramos é que, se emparelharmos estes dois termos na nossa série, obtemos um termo negativo.

Também podemos ver que isto é verdade para os próximos dois termos da nossa série. 𝑎 𝑘 mais cinco é menor que 𝑎 𝑘 mais quatro, e ambos são positivos. Portanto, emparelhar estes dois termos da nossa série dá-nos outro número negativo. Mas lembre-se, o primeiro termo da nossa sucessão é positivo; portanto, a nossa série é um número positivo e, em seguida, adicionamos números negativos. Isso significa que podemos limitá-lo superiormente por 𝑎 𝑘 mais um, pois adicionar números negativos a um número positivo torná-lo-á menor. Portanto, encontrámos um limite para a nossa estimativa quando adotámos um número par de termos na nossa soma parcial. Mas o que teria acontecido se tivéssemos tomado um número ímpar de termos na nossa soma parcial?

Poderíamos escrever a nossa série termo a termo novamente. No entanto, desta vez, começaríamos com menos 𝑎 𝑘 mais um. Poderíamos então tentar emparelhar os mesmos termos como fizemos antes. No entanto, desta vez, vemos que 𝑎 𝑘 mais dois é maior que 𝑎 𝑘 mais três. Então, 𝑎 𝑘 mais dois menos 𝑎 𝑘 mais três devem ser positivo. De facto, isso é verdade para todos estes pares. Estamos a subtrair um número positivo menor de um número positivo maior. E vemos que o termo principal desta série, menos 𝑎 𝑘 mais um, é negativo. Por outras palavras, começamos com um número negativo e adicionamos termos positivos. Isso aumenta o nosso número, para que possamos dizer que isso é maior ou igual a menos 𝑎 𝑘 mais um.

E agora podemos ver que temos limites muito semelhantes no caso em que 𝑘 é par e o caso em que 𝑘 é ímpar. Quando 𝑘 era par, mostrámos que 𝑘 é menor ou igual a 𝑅 𝑘 mais um. E quando 𝑘 é ímpar, mostrámos que 𝑅 𝑘 é maior ou igual a menos 𝑎 𝑘 mais um. Para combiná-los num único limite, primeiro queremos mostrar que 𝑅 𝑘 é positivo quando 𝑘 é par. Para fazer isso, vamos voltar à expansão da nossa série quando 𝑘 era par, exceto que desta vez vamos emparelhar os nossos termos desta maneira.

E podemos ver que calcular os termos dentro dos parênteses sempre deixa um número positivo. Então, quando 𝑘 é par, 𝑅 𝑘 é a soma dos números positivos, então é positivo. Como 𝑎 𝑘 mais um também é positivo, podemos tomar o módulo de ambos os membros dessa desigualdade. E isso dá-nos o módulo de 𝑅 𝑘 é menor ou igual ao primeiro termo negligenciado 𝑎 𝑘 mais um.

Podemos fazer o mesmo quando 𝑘 é ímpar. Precisamos de mostrar que 𝑅 𝑘 é negativo. Quando 𝑘 é ímpar, escrevemos a nossa série termo a termo. No entanto, desta vez, emparelhamos os nossos termos dessa maneira. E se calcularmos as expressões entre parênteses, veremos que obtemos sempre um valor negativo. Então, quando 𝑘 é ímpar, 𝑅 𝑘 é negativo. É a soma dos termos negativos.

Novamente, queremos tomar o módulo de ambos os membros dessa desigualdade. No entanto, devemos ter cuidado. Menos 𝑎 𝑘 mais um é negativo e 𝑅 𝑘 é negativo. Então, quando assumimos o módulo, precisamos de mudar a direção da desigualdade. E podemos simplificar o módulo de menos 𝑎 𝑘 mais um. É apenas 𝑎 𝑘 mais um. Portanto, em ambos os casos, podemos limitar o erro da nossa aproximação pelo módulo do primeiro termo negligenciado. Vamos ver como podemos utilizar isto para aproximar uma série alternada.

Determine o erro máximo limitado ao aproximar a série em que a soma de 𝑛 igual a um até ∞ de menos um elevado a 𝑛 multiplicada pela raiz quadrada de três 𝑛 mais sete dividido por 𝑛 ao quadrado mais um somando os 20 primeiros termos. Arredonde a sua resposta a cinco casas decimais.

A questão quer que determinemos o erro máximo possível que poderíamos obter ao aproximar esta série, somando os 20 primeiros termos. Esta pretende que arredondemos este valor a cinco casas decimais. A questão quer que se aproxime esta série somando os 20 primeiros termos. É o mesmo que considerar a 20.ª soma parcial. E o erro máximo possível limitado seria um limite no módulo de 𝑆 menos a nossa 20.ª soma parcial, onde 𝑆 seria o valor para o qual nossa série converge.

Para nos ajudar a determinar este limite, sabemos que se 𝑎 𝑛 é uma sucessão positiva e decrescente em que o limite quando 𝑛 tende para ∞ de 𝑎 𝑛 é igual a zero, então, pelo teste da série alternada, na série alternada a soma de 𝑛 igual a um até ∞ de menos um elevado a 𝑛 vezes 𝑎 𝑛 converge — chamaremos este valor de 𝑆.

Então, podemos limitar o erro entre o valor de 𝑆 e a nossa 𝑛-ésima soma parcial, utilizando o módulo de 𝑆 menos a 𝑛-ésima soma parcial é menor ou igual a 𝑎 𝑛 mais um, o módulo do primeiro termo negligenciado. Observando as séries que nos são dadas na questão, queremos definir 𝑎 𝑛 igual à raiz quadrada de três 𝑛 mais sete dividido por 𝑛 ao quadrado mais um. Se pudermos mostrar que 𝑎 𝑛 é uma sucessão decrescente positiva cujo limite quando 𝑛 tende para ∞ é igual a zero, definindo 𝑛 igual a 20, teremos que o módulo de 𝑆 menos a 20.ª soma parcial é menor que ou igual a 𝑎 21.

Vamos começar por mostrar que 𝑎 𝑛 é positivo. Sabemos que 𝑛 é maior ou igual a um. Portanto, três 𝑛 mais sete é positivo e, em seguida, 𝑛 ao quadrado mais um é positivo. E estamos a aplicar a raiz quadrada positiva. Portanto, a nossa sucessão 𝑎 𝑛 é positiva para todos os valores de 𝑛, pois estamos apenas a obter a raiz quadrada positiva de um número positivo.

Para verificar se a sucessão está a decrescer, definiremos 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de três 𝑥 mais sete dividido por 𝑥 ao quadrado mais um. Sabemos que esta sucessão estará a decrescer se o declive desta função for negativo. Para nos ajudar a derivar esta função, começaremos por definir 𝑢 igual a três 𝑥 mais sete dividido por 𝑥 ao quadrado mais um e depois utilizar a regra em cadeia. Como 𝑓 é uma função de 𝑢 e 𝑢 é uma função de 𝑥, pela regra em cadeia que temos 𝑓 linha de 𝑥 é igual à derivada da raiz quadrada de 𝑢 em ordem a 𝑢, que podemos calcular utilizando a regra das potências para a derivação. Isso dá-nos um meio multiplicado por 𝑢 elevado a menos um meio. E a seguir, precisamos de multiplicar isso por d𝑢 sobre d𝑥.

Lembre-se, precisamos apenas de calcular se o declive é negativo ou positivo. Como estamos interessados ​​apenas nos valores de 𝑥 onde 𝑥 é maior ou igual a um, podemos ver que 𝑢 é positivo; é o quociente de dois números positivos. Então, um meio é positivo e 𝑢 elevado a menos um meio também é positivo. É um dividido pela raiz quadrada positiva de um número positivo. Portanto, para decidir se o declive é positivo ou negativo, precisamos apenas de calcular d𝑢 sobre d𝑥. Para determinar d𝑢 sobre d𝑥, utilizaremos a regra do quociente. Definiremos 𝑣 igual ao numerador, três 𝑥 mais sete e 𝑤 igual ao denominador, 𝑥 ao quadrado mais um. Isso dá-nos 𝑣 linha é três e 𝑤 linha é dois 𝑥.

A regra do quociente diz-nos que d𝑢 sobre d𝑥 é igual a 𝑣 linha 𝑤 menos 𝑣𝑤 linha tudo dividido por 𝑤 ao quadrado. Isso dá-nos três vezes 𝑥 ao quadrado mais um menos três 𝑥 mais sete vezes dois 𝑥 tudo dividido por 𝑥 ao quadrado mais um tudo ao quadrado. Podemos calcular o numerador para obter três 𝑥 ao quadrado mais três menos seis 𝑥 ao quadrado mais 14𝑥, o que podemos simplificar para nos dar três 𝑥 ao quadrado menos 14𝑥 mais três tudo dividido por 𝑥 ao quadrado mais um ao quadrado.

E vemos que, para valores de 𝑥 maiores ou iguais a um, 𝑥 ao quadrado mais um tudo ao quadrado é positivo. No entanto, menos três 𝑥 ao quadrado menos 14𝑥 mais três é negativo. Portanto, d𝑢 sobre d𝑥 é negativo para estes valores de 𝑥. Isso significa que o nosso declive, 𝑓 linha de 𝑥, é um número positivo multiplicado por um número negativo, o que significa que 𝑓 linha de 𝑥 é negativo. E se o nosso declive é negativo para estes valores de 𝑥, a nossa sucessão deve estar a decrescer.

Agora queremos verificar se o limite quando 𝑛 tende para ∞ de 𝑎 𝑛 é igual a zero. Vemos que 𝑎 𝑛 é a raiz quadrada de uma fração. Dividiremos o numerador e o denominador dessa fração pelo expoente mais alto de 𝑛 que aparece na fração. Este é 𝑛 ao quadrado. Dividir por 𝑛 ao quadrado dá-nos o limite quando 𝑛 tende para ∞ da raiz quadrada de três sobre 𝑛 mais sete sobre de 𝑛 tudo ao quadrado, tudo dividido por um mais um sobre 𝑛 ao quadrado.

Podemos ver que 𝑛 está a tender para ∞, o nosso numerador de três sobre 𝑛 mais sete sobre 𝑛 ao quadrado está a tender para zero. E podemos ver que o termo um sobre 𝑛 ao quadrado no nosso denominador também está a tender para zero. No entanto, o termo um permanece constante. Portanto, esta fração está a tender para zero dividido por um; está a tender para zero. E como o limite de uma potência é igual à potência do limite, isso significa que este limite está a tender para zero.

Então, mostrámos que quando 𝑛 tende para ∞, 𝑎 𝑛 tende para zero. Isso significa que o erro máximo associado ao somar os primeiros 20 termos da nossa série é apenas 𝑎 21. Portanto, se fossemos aproximar esta série somando os primeiros 20 termos, o nosso erro seria no máximo 𝑎 21, que é igual à raiz quadrada de três vezes 21 mais sete dividido por 21 ao quadrado mais um. E se calcularmos isto com cinco casas decimais, obteremos 0.39796.

Agora, vimos como utilizar isto para determinar o erro máximo possível. Vamos ver como agora podemos utilizar isto para estimar o valor de uma série até um certo nível de exatidão.

Calcule a soma parcial 𝑆 𝑛 para o mínimo de 𝑛 termos que garante que a soma dos primeiros 𝑛 termos da série alternada a soma de 𝑛 igual a um até ∞ de menos um elevado a 𝑛 mais um dividido por cinco elevado a 𝑛 difere da soma infinita em 10 elevado a menos seis no máximo. Apresente a sua resposta com seis casas decimais.

A questão quer que se aproxime esta série alternada utilizando uma soma parcial. Esta quer que utilizemos uma aproximação que utilize o menor número de termos que garanta que a nossa diferença entre a nossa estimativa e a soma infinita seja no máximo 10 elevado a menos seis. Uma vez determinado este valor de 𝑛, precisamos de calcular a soma parcial com seis casas decimais. Vemos que a série que nos é dada é uma série geométrica com termo inicial 𝑎 igual a um quinto e razão de termos sucessivos, 𝑟, igual a menos um quinto. Portanto, neste caso, poderíamos apenas calcular o valor da soma infinita. Então, tudo o que precisamos de fazer é adicionar cada vez mais termos às nossas somas parciais até chegarmos a 10 elevado a menos seis da soma infinita. E isso resultaria.

No entanto, não sabemos quantos termos precisaríamos de adicionar. Isto pode exigir centenas e centenas de termos para tudo o que sabemos. Em vez disso, tentaremos aproximar quantos termos precisaríamos. Para nos ajudar a estimar o valor de 𝑛 que precisamos, lembramos o seguinte facto sobre séries alternadas. Se 𝑎 𝑛 é uma sucessão positiva e decrescente cujo limite quando 𝑛 tende para ∞ é igual a zero, a série alternada em que a soma de 𝑛 igual a um até ∞ de menos um elevado a 𝑛 mais um vez 𝑎 𝑛 é convergente pela teste de séries alternadas — diremos esta igual a 𝑆. Então, sabemos que podemos limitar o módulo de 𝑆 menos a 𝑛-ésima soma parcial ao primeiro termo que deixarmos de fora. É menor ou igual a 𝑎 𝑛 mais um. Definiremos 𝑎 𝑛 igual a um dividido por cinco elevado a 𝑛.

Vemos que se definirmos 𝑎 igual a um quinto e 𝑟 também igual a um quinto; então, podemos ver que a nossa sucessão 𝑎 𝑛 também é uma progressão geométrica. Na verdade, isso diz-nos todas as informações que precisamos de saber. Um quinto elevado a 𝑛 é sempre positivo. E o módulo de um quinto é menor que um, então está a decrescer. Por fim, sabemos que o limite quando 𝑛 tende para ∞ de um dividido por cinco elevado a 𝑛 é igual a zero. Portanto, podemos utilizar isto para aproximar a diferença entre a 𝑛-ésima soma parcial e o valor real da nossa série infinita 𝑆. O módulo de 𝑆 menos a 𝑛-ésima soma parcial é menor ou igual a um dividido por cinco elevado a 𝑛 mais um.

Lembre-se, queremos que este erro seja no máximo 10 elevado a menos seis. Portanto, se escolhermos um valor de 𝑛 tal que um dividido por cinco elevado a 𝑛 mais um seja menor ou igual a 10 elevado a menos seis, então, para este valor específico de 𝑛, o módulo de 𝑆 menos a 𝑛-ésima soma parcial é menor ou igual a 10 elevado a menos seis. Portanto, este valor de 𝑛 é suficiente. No entanto, não é necessariamente o valor mais baixo de 𝑛. Então, vamos determinar o valor suficiente de 𝑛. Queremos que um dividido por cinco elevado a 𝑛 mais um seja menor ou igual a 10 elevado a menos seis.

Ambos os termos são positivos. Então, tomamos o inverso de ambos os membros desta equação e depois invertemos a desigualdade. Tomamos então logaritmo de base cinco nos dois membros desta desigualdade. A seguir, apenas subtraímos um de ambos os membros da desigualdade. Calcular isto dá-nos 𝑛 maior ou igual a 7.6, que é o mesmo que dizer 𝑛 é maior ou igual a oito. Então, o que fizemos foi mostrar que o módulo de 𝑆 menos a oitava soma parcial é menor ou igual a um dividido por cinco elevado a oito mais um, que em si é menor ou igual a 10 elevado a menos seis. Por outras palavras, quando 𝑛 é igual a oito, a nossa aproximação é no máximo 10 elevado a menos seis.

Mas lembre-se, a questão quer que determinemos o menor número de termos que possua esta propriedade. Sabemos que oito funciona, mas precisamos de verificar se sete funciona. Para fazer isto, vamos começar por calcular o valor de 𝑆. Podemos fazer isso, pois estamos a calcular a soma infinita de uma série geométrica em que o módulo da razão de termos sucessivos é menor que um. Esta soma infinita é igual a 𝑎 dividido por um menos 𝑟. Portanto, 𝑆 é igual a um quinto dividido por um menos menos um quinto, que podemos calcular para nos dar um sexto.

Podemos calcular o valor de 𝑆 sete utilizando a fórmula para uma soma finita de uma série geométrica. No entanto, também podemos utilizar apenas uma calculadora, fornecendo aproximadamente 0.166665. Se calcularmos a diferença entre 𝑆 e a nossa sétima soma parcial, veremos que é aproximadamente 1.6 vezes 10 elevado a menos seis. E vemos que isto é maior que 10 elevado a menos seis. Portanto, isso significa que 𝑛 igual a oito deve ter sido o menor número de termos que garantiram este nível de exatidão. E, em seguida, podemos calcular 𝑆 oito com seis casas decimais para ficar 0.166666.

Então, vimos agora como aproximar a soma infinita de uma série alternada até qualquer nível de exatidão que desejássemos, utilizando uma soma parcial. E podemos até determinar o menor número de termos necessários para este nível de exatidão. Portanto, a ideia principal que apresentámos neste vídeo é se tivermos uma sucessão decrescente e positiva 𝑎 𝑛 cujo limite quando 𝑛 que tende para ∞ for igual a zero. Então, pelo teste de séries alternadas, a soma de 𝑛 igual a um até ∞ de menos um elevado a 𝑛 mais um vezes 𝑎 𝑛 é convergente — chamaremos este valor de 𝑆. Então, podemos aproximar esta soma infinita utilizando uma soma parcial.

De facto, o módulo de 𝑆 menos a 𝑛-ésima soma parcial é menor ou igual a 𝑎 𝑛 mais um. O que isso significa é que, em vez de calcular a soma infinita, podemos apenas calcular a soma para um número finito de termos e, em seguida, isto será exato até um erro de no máximo 𝑎 𝑛 mais um. E se isto for exato até um erro de no máximo 𝑎 𝑛 mais um, poderíamos utilizá-lo para determinar o menor número de termos que precisaríamos para que a nossa soma parcial fosse exata até um certo nível de exatidão. Determinaremos o número suficiente de termos utilizando o nosso limite e, em seguida, removemos os termos até não estar mais dentro do nível de exatidão exigido.

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