Vídeo: Introdução à Adição e Subtração de Expressões Racionais

Compreender a adição e subtração de expressões racionais numéricas e, em seguida, avançamos para expressões lineares simples em numeradores e denominadores.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como adicionar e subtrair expressões racionais. Estas são frações com polinómios no numerador ou no denominador ou em ambos e alguns chamam-nas de frações algébricas. Então, chamamo-la de introdução, porque examinaremos alguns exemplos mais simples e apresentaremos apenas algumas das ideias para ajudá-lo no futuro.

Mas, primeiro, vamos recordar-nos como adicionar frações simples que possuem denominadores diferentes. E prestaremos muita atenção em como discutimos o nosso trabalho e como colocamos tudo na página. Portanto, estes são denominadores diferentes: um sexto é menor que um meio, então temos um pequeno pedaço de algo mais um pedaço de algo um pouco maior. A única maneira de trabalharmos sensatamente com isto é obter um denominador comum. Então, o que procuramos é frações equivalentes a um sexto e um meio, mas que tenham denominadores diferentes. Portanto, a maneira mais rápida de o determinar é utilizar o denominador aqui e multiplicar a parte superior e inferior da outra fração por esse denominador. Então, o que estamos a fazer é pegar em um sexto e multiplicá-lo por, bem, dois dividido por dois é um. E quando multiplica algo por um, fica na mesma. Portanto, este bocado de cálculo aqui ainda é um sexto, mas é apenas um sexto, mas escrito de forma ligeiramente diferente. E também utilizaremos o denominador na primeira fração seis e multiplicaremos a parte de cima e de baixo da outra fração por este. Mais uma vez, seis vezes dividido por seis é um e um meio vezes um é apenas meio. Agora, se já está horrorizado, porque pode ver uma maneira mais rápida e fácil de fazer isto, não se preocupe. Eu voltarei e falarei sobre isso daqui a pouco. Vamos apenas seguir este exemplo. Então, temos dois vezes um sobre doze mais um vezes seis sobre doze. E podemos combinar isto numa fração bastante grande, então dois vezes um é dois e um vezes seis é seis. Então, temos dois mais seis sobre doze, que é oito sobre doze. Agora podemos dividir em cima e em baixo por quatro. Oito dividido por quatro é dois. Doze dividido por quatro é três. Portanto, isto dá-nos uma resposta de dois terços.

Então, vamos apenas recapitular o que fizemos aqui. Primeiro que tudo, encontrámos um denominador comum para estas frações. E este foi o método que aplicámos; pegámos neste denominador aqui e multiplicamos a parte de cima e de baixo da outra fração por aquele. Pegámos neste denominador aqui e multiplicamos a parte de cima e de baixo da outra fração por este. A seguir, conseguimos juntar isso numa fração. E finalmente, adicionámos os numeradores. E conseguimos anular neste caso dividindo por quatro, simplificando a nossa resposta final. Agora, esta é basicamente a técnica que utilizámos. Mesmo que tenhamos polinómios, temos frações algébricas. Agora, como disse, vamos passar por isto mais uma vez e desta vez de maneira um pouco diferente. Os números que tínhamos aqui eram muito fáceis de trabalhar. Portanto, não foi um grande problema, mas há outra maneira um pouco diferente de encarar o problema e que nos ajudará quando entendermos as expressões racionais algébricas mais complicadas. Então, o que poderíamos fazer para começar é fatorizar este primeiro denominador. Então seis é igual a três vezes dois. Agora, quando procuramos um denominador comum, este denominador é um múltiplo de dois e este denominador também é um múltiplo de dois. Então, tudo o que precisamos de fazer é pegar neste três daqui e multiplicaremos em cima e em baixo na outra fração por três. Então, três sobre três é um novamente. Portanto, este mesmo princípio aplica-se como antes.

Então, o que fizemos nesta primeira etapa é que reduzimos efetivamente a quantidade de trabalho que temos a fazer, sem precisar de multiplicar o primeiro termo por nada. Estamos a tomar o fator em falta do denominador comum e estamos a criar outra versão do segundo termo, que tem o mesmo denominador. Então, é claro que um vezes três é três, então temos um sobre três vezes dois mais três sobre três vezes dois ou dois vezes três. E podemos combinar isto numa fração, porque ambos têm o mesmo denominador, e isso dá-nos quatro a três vezes dois. Mas posso dividir em cima por dois, então quatro dividido por dois é dois. Eu posso fazer isso na parte de baixo por dois, que anula para fazer um. Então, tenho a mesma resposta que tínhamos antes: dois terços. Mas, durante todo o processo, lidamos com números um pouco menores do que na última vez. Então, novamente, estes eram números fáceis, não um grande problema. Mas nas questões mais complicadas, isso pode realmente ser uma vantagem real para nós. Portanto, esta é a técnica básica. Vamos ver agora algumas frações algébricas ou expressões racionais.

Portanto, neste primeiro, precisamos de simplificar 𝑥 sobre três mais 𝑥 sobre cinco. Agora três é um número primo, cinco é um número primo, logo não poderemos fatorizar nenhum dos denominadores. Então, vamos avançar e escrever isto. Para obter o nosso denominador comum, vou multiplicar estas duas frações por um. Mas a versão de um que multiplicarei a primeira por é cinco sobre cinco, porque este era o denominador da outra fração. E a versão que multiplicarei a segunda fração é três sobre três. Então, juntando-os numa grande fração, porque temos o denominador comum aqui cinco vezes três, temos cinco vezes 𝑥 é cinco 𝑥, 𝑥 três vezes é três 𝑥. Então, vamos adicionar estes dois tudo sobre cinco vezes três em baixo, que será quinze. E cinco 𝑥 mais três 𝑥 é oito 𝑥. Agora oito e quinze não têm fatores comuns. Então, de facto, oito 𝑥 sobre quinze será a resposta final neste caso. Então, é como trabalhar com frações como fizemos antes. Mas, neste caso, temos algumas letras à mistura, o que torna a coisa toda um pouco mais complicada.

Ok, vamos aumentar a dificuldade um pouco. Isso é um pouco mais difícil do que o último, mas não muito difícil. Simplifique dois 𝑥 sobre cinco mais três 𝑥 sobre quatro. Então, novamente, estes denominadores não têm fatores comuns além de um, então terei que multiplicar as duas frações por uma versão de um para obter frações equivalentes. E multiplicarei a segunda fração por cinco sobre cinco e multiplicarei a primeira fração por quatro sobre quatro. E agora tenho denominadores comuns de quatro sobre quatro vezes cinco em cada caso. E como tenho estes denominadores comuns, posso juntar estas duas frações numa. Então, tenho quatro lotes de dois 𝑥 mais cinco lotes de três 𝑥 sobre quatro vezes cinco, então vamos calcular alguns destes. Bem, quatro vezes dois 𝑥 é oito 𝑥, cinco vezes três 𝑥 é quinze 𝑥, então estamos a adicionar quinze 𝑥 e quatro vezes cinco na parte inferior é vinte. E oito 𝑥 mais quinze 𝑥 é vinte e três 𝑥. Nada se anula, então esta é a nossa resposta.

Agora, neste exemplo, farei isto de duas maneiras diferentes. Primeiro, vou entrar cegamente e seguir o método sobre o qual falámos até agora; depois, vamos executá-lo novamente e ver se conseguimos encontrar maneiras um pouco mais eficientes de o fazer. Então, vamos simplificar um sobre três 𝑥 mais dois sobre oito 𝑥. Bem, vou pegar no primeiro denominador e vou multiplicar em cima e em baixo da outra fração por este. E vou pegar no segundo denominador e multiplicar em cima e em baixo da primeira fração por este. Então, se os juntar numa fração, tenho um lote de oito 𝑥 mais dois lotes de três 𝑥 no numerador e o denominador comum de oito 𝑥 vezes três 𝑥 na parte de baixo. Então, isto dá-me oito 𝑥 mais seis 𝑥 em cima e três vezes oito é vinte e quatro. E 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. Agora oito 𝑥 mais seis 𝑥 é catorze 𝑥. Então, tenho catorze 𝑥 sobre vinte e quatro 𝑥 ao quadrado, mas agora posso fazer anulamentos. Catorze e vinte e quatro podem ser divididos por dois. Então catorze dividido por dois é sete, vinte e quatro dividido por dois é doze. 𝑥 pode ser dividido por 𝑥 para dar apenas um, e 𝑥 ao quadrado pode ser dividido por 𝑥 apenas para dar 𝑥. Então, em cima, tenho sete vezes um, que é sete. E em baixo, tenho doze vezes 𝑥, que é apenas doze 𝑥. Então, esta é a resposta que temos.

Ok, vamos reexecutar novamente. Mas agora podemos perceber que, na questão, neste segundo termo, dois sobre oito 𝑥, eu poderia dividir em cima por dois e dividir em baixo por dois também para dar quatro. Então, tenho um sobre três 𝑥 mais um sobre quatro 𝑥. Agora, olhando para estes denominadores, isto tem um fator de 𝑥 e também um fator de 𝑥. Então, de facto, o que multiplicarei por cada uma destas frações não é quatro 𝑥 nem três 𝑥, mas apenas multiplicarei pelo fator que falta neste denominador comum. Então, para a segunda fração aqui. Vou multiplicar por três na parte superior e três na parte inferior. E para a primeira fração aqui, só vou multiplicar por quatro na parte de cima e quatro na parte de baixo. Então, este primeiro termo aqui era quatro vezes um, o segundo termo aqui é um vezes três. Então, quando os junto para formar uma fração, o denominador é quatro vezes três vezes 𝑥. E quando os calculo, quatro vezes um é quatro, um vez três é três e quatro vezes três vezes 𝑥 é doze 𝑥. Bem, quatro mais três é sete. Portanto, sete sobre doze 𝑥 é a nossa resposta, porque nenhum destes se anula. Portanto, analisando a questão com mais cuidado em primeiro lugar e com um pouco mais de cuidado com a forma como criamos um denominador comum, podemos ver que este segundo cálculo aqui foi realmente muito mais fácil de fazer do que o nosso primeiro cálculo ali.

Ok, seguindo em frente. Simplifique quatro sobre 𝑥 mais três mais dois sobre 𝑥 menos dois. Bem, parece um pouco mais complicado, mas o processo que seguiremos é exatamente o mesmo que acabámos de fazer. Agora, a única coisa que eu recomendaria é colocar parêntesis em torno dos seus denominadores, porque isso facilitará a vida à medida que passarmos por aqui e garantir que não cometemos erros. Então, pegaremos no nosso primeiro denominador e multiplicaremos a parte de cima de baixo da outra fração por esse valor. E pegaremos no segundo denominador e multiplicaremos a parte de cima e de baixo da primeira fração por esse valor. Portanto, o princípio ainda permanece, 𝑥 menos dois dividido por 𝑥 menos dois é apenas um. Ainda temos um vezes a primeira fração, e ainda é a primeira fração. E 𝑥 mais três dividido por 𝑥 mais três ainda é um. Então, temos um vezes a segunda fração. Portanto, ainda é apenas dois sobre 𝑥 mais dois. Ok, vamos multiplicar isto. Bem, juntamo-los numa fração aqui. Temos quatro lotes de 𝑥 menos dois mais dois lotes de 𝑥 mais três em todo o denominador comum de 𝑥 menos dois vezes 𝑥 mais três. Então, agora vamos fazer quatro lotes de 𝑥 e quatro lotes de menos dois e adicionaremos dois lotes de 𝑥 e dois lotes de três positivo. Portanto, quatro lotes de 𝑥 é quatro 𝑥 e quatro lotes de menos dois é menos oito. Dois lotes de 𝑥 é dois 𝑥 positivo e dois lotes de três é seis positivo. Agora não estou a multiplicar o denominador nesta fase, porque ainda não terminámos de organizar o numerador. Quem sabe? As coisas podem fatorizar-se e algo pode anular-se. Se eu multiplicar o denominador, não seria capaz de identificar isso.

Bem, quatro 𝑥 mais dois 𝑥 é seis 𝑥 e menos oito mais seis é menos dois. Então, temos seis 𝑥 menos dois sobre 𝑥 menos dois vezes 𝑥 mais três. Mas, de facto, se olharmos atentamente para o numerador, podemos ver que isto será fatorizado. Seis e dois têm fator comum de dois. Então, quanto tenho que multiplicar dois para obter seis 𝑥? Bem, será três 𝑥. E quanto tenho que multiplicar dois para obter menos dois? Bem, será menos um. Então lá vamos nós. Agora, com o que ficámos dentro do parêntesis não é o mesmo que nenhum dos parêntesis da parte de baixo. Então, nada vai anular-se, mas esta é uma boa forma fatorizado da nossa resposta. Agora, se eu tivesse multiplicado o denominador e não tivesse fatorizado o numerador, esta seria a solução que eu teria e ainda seria uma resposta perfeitamente correta. Mas as pessoas tendem a deixá-la nesta forma fatorizado, e não nesta forma multiplicada.

Certo, então e o próximo exemplo é um exemplo de subtração. Simplifique dois sobre três 𝑥 menos um sobre cinco 𝑥. Então, abordaremos isto da mesma maneira que fizemos antes. Mas, em vez de adicionar as duas frações, subtrairemos a segunda da primeira. Portanto, podemos ver que ambos têm um 𝑥 em comum nos denominadores para ambas as frações. Os fatores que faltam são as coisas que utilizaremos para determinar frações equivalentes, então três. Vamos multiplicar a parte de cima e de baixo da segunda fração por três e o cinco, vamos multiplicar a parte de cima e de baixo da primeira fração por cinco. Então, isto deixa-nos com cinco vezes dois menos um vezes três sobre cinco vezes três vezes 𝑥 quando combinamos isto numa fração. Então, isto dá-nos dez menos três sobre quinze 𝑥, que é sete sobre quinze 𝑥. E isto não vai mais anular-se, então aqui está a nossa resposta. Portanto, a subtração como a adição, mas precisa de retirar as coisas em vez de adicioná-las.

Ok, um último então. Vamos simplificar três sobre três menos 𝑥 menos seis sobre seis menos 𝑥, vamos fazer o que fizemos antes. E isso é colocar parêntesis em torno dos denominadores e, em seguida, precisamos de determinar frações equivalentes, para que terminemos com um denominador comum. Então, vamos pegar neste três menos 𝑥 e multiplicar a segunda fração em cima e em baixo por esse valor. E pegaremos o seis menos 𝑥 e multiplicaremos a parte de cima e de baixo da primeira fração por esse valor. Portanto, temos três lotes de seis menos 𝑥 como numerador para a primeira fração e seis lotes de três menos 𝑥 para o segundo numerador. Então, reuniremos estes termos para formar uma única fração. É isto que temos, e temos que ter muito cuidado ao multiplicar esses parêntesis, porque este segundo termo no numerador é menos a coisa toda. Então, vamos dar uma olhadela como isto funciona. Então, teremos três lotes de seis e três lotes de menos 𝑥. Agora, três lotes de seis é dezoito e três lotes de menos 𝑥 é menos três 𝑥, mas agora estamos a retirar seis lotes de três. E estamos a subtrair seis lotes menos 𝑥, então seis lotes menos 𝑥 é menos seis 𝑥. Se retirarmos menos seis 𝑥, isso significa que estamos a adicionar seis 𝑥. Agora, olhando para o numerador, temos dezoito para retirar dezoito, o que é nada. E temos menos três 𝑥 adiciona seis 𝑥, o que é mais três 𝑥. E como nenhum destes termos será anulado, ficamos com a resposta de três 𝑥 sobre seis menos 𝑥 três vezes menos 𝑥.

Então, o que realmente deve prestar atenção aqui era este passo. Quando estávamos a lidar com tirar coisas. Lembre-se de que tivemos que retirar toda esta expressão aqui, o que significava ter muito cuidado com os sinais com que acabámos aqui. Este é o lugar mais comum onde as pessoas erram quando fazem estas questões. Então, cuidado com isso.

Então, vamos recapitular novamente todo o processo. Como estamos a adicionar ou subtrair estas frações, estas expressões racionais, o processo é o mesmo. Primeiro, tivemos que tentar determinar denominadores comuns, o que significava determinar frações equivalentes para cada uma destas utilizando estes denominadores com muito cuidado para multiplicar as outras frações. Eu utilizo este denominador aqui para multiplicar esta fração. Às vezes tivemos que multiplicar por todo o denominador, às vezes podíamos simplesmente multiplicar por um dos fatores. Temos uma maneira de obter denominadores comuns. Depois de obter os denominadores comuns, podemos combinar estas duas frações numa fração maior, uma expressão grande aqui, sobre o denominador comum. Por fim, calculamos este numerador e, às vezes, obtemos algo que pode ser fatorizado. Às vezes não pode ser. Às vezes, anula-se com algo no denominador aqui embaixo, mas precisamos de analisar todos estes processos e tentar simplificar esta expressão o máximo possível quando chegarmos ao fim. Este um, dois, três é o mesmo para todas estas questões.

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