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Nesta aula, aprenderemos como determinar a derivada de funções trigonométricas,
concentrando-nos nas funções cotangente, secante e cossecante. Começaremos por recapitular as regras necessárias para determinar estas derivadas
antes de completar a derivação e depois consideraremos como é que estes resultados
padrão podem ajudar-nos a determinar derivadas de funções mais complexas.
Vamos começar por recapitular a derivada das funções trigonométricas seno, cosseno e
tangente. A derivada de sen de 𝑎𝑥 é 𝑎 cos de 𝑎𝑥. A derivada de cos 𝑎𝑥 é menos 𝑎 sen de 𝑎𝑥. E a derivada de tan 𝑎𝑥 é 𝑎 sec ao quadrado 𝑎𝑥. Também vamos precisar de utilizar a regra do produto. E esta é se tivermos duas funções diferenciáveis, 𝑢 e 𝑣, a derivada do seu produto,
𝑢 vezes 𝑣, é 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Da mesma forma, utilizaremos a regra do quociente. E desta vez, determinamos a derivada do quociente de duas funções diferenciáveis, 𝑢
e 𝑣, calculando 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 tudo sobre 𝑣
ao quadrado. Vamos referir-nos a cada uma delas ao longo do vídeo. Então, vamos dar uma olhadela no primeiro exemplo.
Se 𝑦 for igual a menos dois sec de dois 𝑥, determine a taxa de variação de 𝑦
quando 𝑥 for igual a 11𝜋 sobre seis.
Lembre-se de que, ao determinar a taxa de variação de algo, estamos na verdade
interessados na derivada. Portanto, vamos determinar a derivada de 𝑦 em ordem a 𝑥 e calculá-la no ponto em
que 𝑥 é igual a 11𝜋 sobre seis. Então, como derivamos esta função? Bem, começamos por utilizar a definição da função secante. Sabemos que sec 𝑥 é igual a um sobre cos 𝑥. E podemos escrever 𝑦 como sendo igual a menos dois sobre cos de dois 𝑥. E a seguir, há algumas coisas que poderemos fazer. Poderíamos reescrever isto como menos dois vezes cos 𝑥 elevado a menos um e aplicar
a regra em cadeia. Ou como isto está escrito como uma fração, podemos aplicar a regra do quociente. Lembre-se, esta diz que se 𝑢 e 𝑣 são funções diferenciáveis, a derivada deste
quociente é 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao
quadrado. O numerador da nossa fração é menos dois. Então, seja 𝑢 igual a menos dois. E assim 𝑣 é igual a cos de dois 𝑥.
Para utilizar a regra do quociente, precisamos de determinar a derivada de cada uma
delas. A derivada de uma constante é zero. Então, d𝑢 sobre d𝑥 é igual a zero. E a seguir, citamos um resultado padrão para a derivada de cos de 𝑎𝑥. E vemos que d𝑣 sobre d𝑥 é igual a menos dois vezes sen dois 𝑥. Podemos substituir tudo o que sabemos na fórmula pela regra do quociente. E vemos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a cos de dois 𝑥 vezes zero menos menos dois vezes
menos dois sen de dois 𝑥 tudo sobre cos dois 𝑥 ao quadrado. Isso simplifica para menos quatro sen de dois 𝑥 sobre cos ao quadrado de dois
𝑥. Agora, podemos separar isto levemente e escrevê-lo como menos quatro sen dois 𝑥
sobre cos dois 𝑥 vezes um sobre cos dois 𝑥. E lembramos que a identidade sen dois 𝑥 sobre cos dois 𝑥 é igual a tan dois 𝑥. E descobrimos que temos o resultado geral para a derivada da função secante.
Lembre-se, porém, estávamos à procura de determinar a taxa de variação de 𝑦 quando
𝑥 é igual a 11𝜋 sobre seis. Então, na verdade, substituiremos 𝑥 igual a 11𝜋 sobre seis na nossa expressão para
a derivada. E é melhor deixá-lo aqui em termos de seno e cosseno. Substituímos 𝑥 igual a 11𝜋 sobre seis. E obtemos menos quatro sen de dois vezes 11𝜋 sobre seis sobre cos ao quadrado de
dois vezes 11𝜋 sobre seis, que é oito raiz de três. A taxa de variação de 𝑦 quando 𝑥 é igual a 11𝜋 sobre seis é oito raiz de três.
E este exemplo demonstrou um resultado geral. Descobrimos que a derivada de sec 𝑎𝑥 é igual a 𝑎 sec de 𝑎𝑥 vezes tan de
𝑎𝑥. Agora, vamos executar um processo semelhante para nos ajudar a determinar a derivada
da função cotangente.
Determine d𝑦 sobre d𝑥, dado que 𝑦 é igual a menos três cos de quatro 𝑥 mais três
cot de quatro 𝑥.
Para determinar a derivada de 𝑦 em ordem a 𝑥, podemos derivar individualmente menos
três cos de quatro 𝑥 e três cot de quatro 𝑥. Sabemos que a derivada de cos de 𝑎𝑥 é menos 𝑎 sen de 𝑎𝑥. Portanto, vemos que a derivada de menos três cos de quatro 𝑥 é menos três vezes
menos quatro sen de quatro 𝑥, que é simplesmente 12 sen quatro 𝑥. Mas, e a derivada de três cot de quatro 𝑥. Bem, cot de 𝑥 é o mesmo que um sobre tan 𝑥. E tan 𝑥 é igual a sen 𝑥 sobre cos de 𝑥. Podemos, portanto, dizer que cot de quatro 𝑥 seria o mesmo que um sobre tan de
quatro 𝑥 ou um sobre sen de quatro 𝑥 sobre cos de quatro 𝑥. E obtemos que três cot de quatro 𝑥 é, portanto, três sobre o sen de quatro 𝑥 sobre
cos de quatro 𝑥, o que naturalmente pode ser escrito como três cos de quatro 𝑥
sobre o sen de quatro 𝑥.
Então, realmente, precisamos de derivar três cos de quatro 𝑥 sobre sen de quatro 𝑥
em ordem a 𝑥. E utilizaremos a regra do quociente para derivá-la. Seja 𝑢 igual a três cos de quatro 𝑥. E 𝑣 é igual a sen de quatro 𝑥. Sabemos que a derivada de cos de quatro 𝑥 é menos quatro sen de quatro 𝑥. Então, d𝑢 sobre d𝑥 é menos 12 sen de quatro 𝑥. Também podemos utilizar o resultado geral para a derivada da função seno. E temos d𝑣 sobre d𝑥 igual a quatro cos de quatro 𝑥. Agora podemos substituir tudo o que sabemos sobre a nossa função pela derivada. E terminamos com sen de quatro 𝑥 vezes menos 12 sen de quatro 𝑥 menos três cos de
quatro 𝑥 vezes quatro cos de quatro 𝑥 sobre sen ao quadrado de quatro 𝑥. Isto simplifica para menos 12 sen ao quadrado de quatro 𝑥 menos 12 cos ao quadrado
de quatro 𝑥 sobre sen ao quadrado quatro 𝑥.
Mas se fatorizarmos menos 12, vemos que o numerador desta fração é igual a 12 vezes
menos sen ao quadrado quatro 𝑥 mais cos ao quadrado quatro 𝑥. E, portanto, podemos utilizar a identidade cos ao quadrado de 𝑥 mais sen ao quadrado
de 𝑥 igual a um para descobrir que a derivada de três cot de quatro 𝑥 é menos 12
sobre o sen ao quadrado de quatro 𝑥. Há mais uma identidade que podemos utilizar. Sabemos que um sobre sen 𝑥 é igual a cossec de 𝑥. E podemos escrever menos 12 sobre o sen ao quadrado de quatro 𝑥 como menos 12 cossec
ao quadrado de quatro 𝑥. d𝑦 sobre d𝑥 é a soma destes dois resultados. Portanto, é igual a 12 sen de quatro 𝑥 menos 12 cossec ao quadrado de quatro 𝑥.
Neste exemplo, demonstrámos um resultado que pode ser generalizado. Vimos que a derivada de três cot de quatro 𝑥 era menos 12 cossec ao quadrado de
quatro 𝑥. Da mesma forma, podemos generalizar o resultado para a derivada de cot 𝑎𝑥. É menos 𝑎 cossec ao quadrado de 𝑎𝑥. No nosso próximo exemplo, veremos como determinar a derivada da função cossecante,
antes de considerar como os nossos resultados generalizados nos podem ajudar a
determinar as derivadas de funções mais complicadas.
Dado que 𝑦 é igual a menos 13 cossec de 𝜋 mais cinco 𝑥, determine d𝑦 sobre
d𝑥.
Para determinar a derivada da função cossecante, começaremos por recordar a sua
definição. Sabemos que cossec de 𝑥 é igual a um sobre sen de 𝑥. Isto significa que existem várias maneiras pelas quais podemos determinar a derivada
do nosso 𝑦. Poderíamos utilizar a identidade da soma trigonométrica. Poderíamos derivar cossec de cinco 𝑥 e considerar a transformação que transforma
cossec de cinco 𝑥 em menos 13 cossec de 𝜋 mais cinco 𝑥. Ou, alternativamente, poderíamos utilizar a regra em cadeia. Esta diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 é em si uma função em 𝑥, então a derivada
de 𝑦 em ordem a 𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Seja 𝑦 igual a menos 13 sobre o sen 𝑢, onde 𝑢 é igual a 𝜋 mais cinco 𝑥. d𝑢
sobre d𝑥 é simplesmente cinco. Mas precisaremos de utilizar a regra do quociente para determinar d𝑦 sobre d𝑢.
Estamos a derivar 𝑦 em ordem a 𝑢. Então, vou redefinir a regra do quociente utilizando as funções 𝑝 e 𝑞 em termos de
𝑢. E vemos que a derivada de 𝑝 sobre 𝑞 em ordem a 𝑢 é igual a 𝑞 vezes d𝑝 sobre d𝑢
menos 𝑝 vezes d𝑞 sobre d𝑢 sobre 𝑞 ao quadrado. Isso significa que, no nosso caso, 𝑝 vai ser igual a menos 13 e 𝑞 vai ser igual a
sen 𝑢. A derivada de 𝑝 em ordem a 𝑢 é apenas zero. E sabemos que a derivada de sen 𝑢 em ordem a 𝑢 é cos 𝑢. Portanto, a derivada de 𝑦 em ordem a 𝑢 é sen 𝑢 vezes zero menos menos 13 vezes cos
𝑢 sobre o quadrado do sen 𝑢, o que simplifica para 13 cos 𝑢 sobre sen a quadrado
de 𝑢. Vou escrever isto como 13 cos 𝑢 sobre sen 𝑢 vezes um sobre sen 𝑢. E isso significa que d𝑦 sobre d𝑢 pode ser alternativamente escrito como 13 cot 𝑢
cosec 𝑢.
Vamos substituir tudo o que temos na fórmula pela regra em cadeia. É 13 cot 𝑢 cossec 𝑢 vezes cinco ou 65 cot 𝑢 cossec 𝑢. Substituímos 𝑢 por 𝜋 mais cinco 𝑥. E obtemos d𝑦 sobre d𝑥 igual a 65 cot de 𝜋 mais cinco 𝑥 vezes cossec de 𝜋 mais
cinco 𝑥.
Os exemplos que vimos até agora fornecem-nos os seguintes resultados para as
derivadas das funções trigonométricas cotangentes, secantes e cossecantes. É útil registar estes dados na memória. Mas também esteja ciente e pronto para aplicar a sua derivação sempre que
necessário. Agora, veremos como estes resultados nos podem ajudar a determinar a derivada de
funções mais complicadas.
Dado 𝑦 é igual a 𝑥 mais três vezes nove 𝑥 mais cossec 𝑥, determine d𝑦 sobre
d𝑥.
Aqui, temos uma expressão que é o produto de duas funções. Portanto, utilizaremos a regra do produto para calcular d𝑦 sobre d𝑥. Esta diz que a derivada do produto de duas funções diferenciáveis 𝑢 e 𝑣 é 𝑢
vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Portanto, seja 𝑢 igual a 𝑥 mais três e seja 𝑣 igual a nove 𝑥 mais cossec 𝑥. A derivada de 𝑥 mais três é simplesmente um. Mas e d𝑣 sobre d𝑥? Bem, sabemos que a derivada de nove 𝑥 é nove. E a derivada de cossec 𝑥 é menos cossec 𝑥 cot 𝑥. Então, d𝑣 sobre d𝑥 é igual a nove menos cossec 𝑥 cot 𝑥. Vamos substituir o que temos na fórmula da regra do produto. Vemos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a 𝑥 mais três vezes nove menos cossec 𝑥 cot 𝑥 mais
nove 𝑥 mais cossec 𝑥 vezes um. Distribuímos os nossos parênteses e depois juntamos termos semelhantes. E vemos que d𝑦 sobre d𝑥 é 18𝑥 menos 𝑥 mais três vezes cossec 𝑥 cot 𝑥 mais
cossec 𝑥 mais 27.
Se 𝑦 for igual a menos nove tan oito 𝑥 sec oito 𝑥, determine d𝑦 sobre d𝑥.
Aqui, temos uma função que é ela própria o produto de duas funções
diferenciáveis. Então, vamos utilizar a regra do produto. Esta diz que a derivada do produto de duas funções diferenciáveis 𝑢 e 𝑣 é 𝑢
vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Então, seja 𝑢 igual a menos nove tan oito 𝑥 e seja 𝑣 igual a sec oito 𝑥. Em seguida, citamos o resultado geral da derivada de tan 𝑎𝑥 é 𝑎 sec ao quadrado
𝑎𝑥. E isso significa que a derivada de menos nove tan oito 𝑥 é menos nove vezes oito sec
ao quadrado de oito 𝑥, que é menos 72 sec ao quadrado de oito 𝑥.
Também citamos o resultado geral para a derivada da sec 𝑎𝑥. É 𝑎 sec 𝑎𝑥 vezes tan 𝑎𝑥, o que significa que d𝑣 sobre d𝑥 é oito sec de oito 𝑥
vezes tan oito 𝑥. Agora podemos substituir tudo o que sabemos na fórmula pela regra do produto. É 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥, que é menos 72 tan ao quadrado
oito 𝑥 sec de oito 𝑥 menos 72 sec ao cubo de oito 𝑥.
Consideraremos mais uma demonstração do uso dos resultados das derivadas de funções
trigonométricas.
Dado que 𝑦 é igual a sete cot cinco 𝑥 mais três cossec seis 𝑥 elevado a menos um,
determine d𝑦 sobre d𝑥.
Neste exemplo, temos uma função trigonométrica. Poderíamos escrevê-la na forma de fração e aplicar a regra do quociente. Em alternativa, poderíamos utilizar a regra em cadeia. Vamos ver como podemos utilizar a regra em cadeia. Esta diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 é em si uma função em 𝑥, então a derivada
de 𝑦 em ordem a 𝑥 é d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Seja 𝑢 igual a sete cot de cinco 𝑥 mais três cossec seis 𝑥. Isto significa que 𝑦 é igual a 𝑢 elevado a menos um. A derivada de 𝑦 em ordem a 𝑢 é bastante direta. É menos um vezes 𝑢 elevado a menos dois. Em seguida, citamos a derivada para cot 𝑎𝑥 como menos 𝑎 cossec ao quadrado de 𝑎𝑥
e a derivada de cossec 𝑎𝑥 como sendo menos 𝑎 cossec 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥. Portanto, vemos que d𝑢 sobre d𝑥 é igual a menos 35 cossec ao quadrado cinco 𝑥
menos 18 cossec seis 𝑥 cot seis 𝑥.
A derivada de 𝑦 em ordem a 𝑥 é o produto destas duas. E lembramos que podemos escrever menos 𝑢 elevado a menos dois como um sobre menos 𝑢
ao quadrado. Dividimos então por menos um e substituímos 𝑢 por sete cot cinco 𝑥 mais três cossec
seis 𝑥. E obtemos d𝑦 sobre d𝑥 igual a 35 cossec ao quadrado cinco 𝑥 mais 18 cossec seis 𝑥
cot seis 𝑥 sobre sete cot cinco 𝑥 mais três cossec seis 𝑥 tudo ao quadrado.
Neste vídeo, vimos que podemos utilizar a regra do quociente para determinar as
derivadas das funções trigonométricas, cot de 𝑥, sec de 𝑥 e cosec de 𝑥. Vimos que a derivada de cot de 𝑎𝑥 mais 𝑏 é menos 𝑎 cossec ao quadrado 𝑎𝑥 mais
𝑏. Aprendemos que a derivada de sec de 𝑎𝑥 mais 𝑏 é 𝑎 sec de 𝑎𝑥 mais 𝑏 vezes tan
de 𝑎𝑥 mais 𝑏. E a derivada de cossec de 𝑎𝑥 mais 𝑏 é menos 𝑎 cossec 𝑎𝑥 mais 𝑏 vezes cot de
𝑎𝑥 mais 𝑏. E vimos como podemos utilizar estes resultados padrão em conjunto com as regras de
derivação para determinar as derivadas de um grande número de funções.
