Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como realizar e descrever combinações de transformações. Os quatro tipos diferentes de transformação são translação, reflexão, rotação e ampliação. Então, vamos começar lembrando como seria cada uma dessas transformações.
A primeira transformação que podemos observar é a translação. A translação é quando movemos uma forma, mas seu tamanho, forma e orientação não mudam. Se, por exemplo, transladarmos este triângulo cinco unidades para a direita e duas unidades para baixo, a imagem aparecerá aqui. Imagem é a palavra que damos para uma forma após uma transformação. Para realizar uma translação, pegamos cada um dos vértices. Aqui, fomos solicitados a transladar cinco unidades para a direita e duas unidades para baixo. Então, fazer isso para cada vértice nos dá a localização de cada um dos novos vértices.
Se estivermos olhando para uma forma e sua imagem e não soubermos qual é a transformação, podemos identificar uma translação porque o objeto e sua imagem terão a mesma forma e tamanho. E, notavelmente, as translações sempre produzirão um objeto e sua imagem na mesma orientação. E então, para descrever uma translação, precisaríamos dizer como a forma se moveu, seja na forma de palavras - por exemplo, cinco unidades para a direita e duas unidades para baixo - ou na forma de notação, como notação vetorial.
E o segundo tipo de transformação é reflexão, que é quando viramos ou refletimos um objeto através de uma linha. Por exemplo, se refletíssemos esse retângulo no eixo 𝑦, a imagem apareceria do outro lado. Então, se estamos olhando para uma transformação e estamos tentando estabelecer qual é, um objeto refletido e sua imagem serão do mesmo tamanho, mas um parecerá uma imagem refletida ou espelhada do outro. Ao descrever uma reflexão, precisamos indicar a linha de reflexão. Em nosso exemplo, esse seria o eixo 𝑦.
Próximo passo, vamos dar uma olhada na rotação, que é quando giramos um objeto em torno de um ponto ou centro de rotação. Por exemplo, se quiséssemos girar nosso triângulo azul 90 graus no sentido horário sobre o ponto marcado com 𝐴, a imagem apareceria como mostrado. Para identificar uma rotação, o objeto e sua imagem seriam do mesmo tamanho, mas a imagem pareceria girada. Para descrever uma rotação, precisamos dizer mais algumas coisas. Precisamos indicar o centro de rotação em torno do qual o objeto é rotacionado. Isso pode ser descrevendo um ponto denotado por uma letra ou usando uma coordenada em uma malha. Também precisamos fornecer o ângulo de rotação e a direção, por exemplo, sentido horário ou anti-horário.
A transformação final é a ampliação, às vezes chamada de dilatação. É quando expandimos ou contraímos um objeto por um determinado fator de escala. Por exemplo, se pegarmos nosso triângulo azul e o ampliarmos pelo fator de escala dois sobre esse ponto 𝐴, a imagem parecerá como a mostrada. Podemos ver que cada um dos comprimentos da imagem é duas vezes maior do que na forma original. Podemos identificar facilmente uma ampliação porque o objeto e sua imagem são de tamanho diferente, a menos que o fator de escala seja um ou menos um. Em uma ampliação, o objeto e sua imagem geralmente têm a mesma orientação. Mas tenha cuidado, pois os fatores de escala negativos costumam fazer uma forma parecer que foi invertida ou girada. Para descrever uma ampliação, precisamos fornecer o centro de ampliação e o fator de escala, lembrando que os fatores de escala podem ser fracionários e valores negativos também.
Então, quando se trata de combinar transformações, isso significa que realizamos uma transformação e depois outra transformação e talvez até outra depois disso. Então, se estamos realizando uma transformação em uma forma e encontramos a imagem após essa transformação, uma das coisas que precisamos ter cuidado quando estamos realizando uma segunda transformação é se essa transformação vem da transformação da imagem ou de transformar a forma original. Veremos agora algumas perguntas sobre a combinação de transformações. Na primeira pergunta, vamos realmente realizar essas transformações.
𝐴𝐵𝐶𝐷 é refletido no eixo 𝑥 e depois transladado cinco unidades para a direita. Qual é a imagem do ponto 𝐵?
Aqui, temos uma combinação de transformações, primeiro reflexão e depois translação. Devemos sempre executá-los na ordem em que nos são dados. Vamos, portanto, começar com reflexão. E nos é dito que a linha de reflexão é o eixo 𝑥. Começando com o vértice 𝐵, podemos ver que isso está seis unidades acima do eixo 𝑥. Então, quando refletimos o vértice 𝐵, ele também estará seis unidades longe do eixo 𝑥, mas desta vez na direção negativa. Podemos chamar o vértice refletido de 𝐵 linha.
O vértice 𝐴 está sete unidades longe do eixo 𝑥. Então, quando o refletimos, também estará a sete unidades de distância, mas na direção negativa. E podemos criar o vértice refletido 𝐴 linha. Os vértices 𝐶 e 𝐷 podem ser refletidos da mesma maneira, dando-nos as imagens de 𝐶 linha e 𝐷 linha. Podemos então juntar os vértices para dar a imagem. Observe que nossas duas formas 𝐴𝐵𝐶𝐷 e 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha 𝐷 linha são do mesmo tamanho, mas parecem refletidas.
A segunda transformação que precisamos realizar é a translação. Somos informados de que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é refletido e depois transladado. Então, faremos a translação na imagem e não na forma original 𝐴𝐵𝐶𝐷. Cada vértice será transladado ou movido cinco unidades para a direita. Então, vamos começar com 𝐶 linha. Se contarmos cinco saltos ou pulos para a direita, podemos ver que a imagem de 𝐶 linha, escrita como 𝐶 duas linhas, ficará como mostrado. Podemos encontrar as imagens de 𝐴 linha e 𝐷 linha. E a imagem de 𝐵 linha será 𝐵 duas linhas, e notamos que ela fica em cima de 𝐶 linha. Em seguida, criamos uma segunda imagem.
Nos pediram a imagem do ponto 𝐵 após essas duas transformações. Então, podemos dar menos dois e menos seis como nossa resposta. Nesse tipo de questão, poderíamos simplesmente transformar o ponto 𝐵. Mas, muitas vezes, é útil desenhar a forma inteira como uma verificação de que realizamos as transformações corretamente.
Vamos agora ver uma questão em que precisamos descrever uma combinação de transformações.
O triângulo 𝐴𝐵𝐶 foi transformado no triângulo 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha que foi transformado no triângulo 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas. Descreva a única transformação que transforma 𝐴𝐵𝐶 em 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha. Descreva a única transformação que transforma 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha em 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas. Portanto, os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas são semelhantes?
Nesta questão, temos uma série ou combinações de transformações que começam com o triângulo 𝐴𝐵𝐶. A primeira transformação nos leva ao segundo triângulo menor. E a segunda transformação nos leva ao triângulo maior de 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas. Podemos começar encontrando a primeira transformação entre os dois triângulos menores.
Podemos lembrar que os quatro tipos de transformação são translação, reflexão, rotação e ampliação. Se olharmos para os dois triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha, podemos ver que eles são do mesmo tamanho. Portanto, é improvável que seja uma ampliação, pois isso geralmente altera o tamanho. Podemos ver que nossos dois triângulos estão em orientações diferentes. Então, podemos descartar a translação, pois isso move a forma, mas a mantém da mesma maneira.
Os dois triângulos não são uma imagem espelhada um do outro. Então, podemos descartar reflexão. Vamos ver se podemos descrever essa transformação como uma rotação. Começando com o triângulo 𝐴𝐵𝐶, se girarmos isso no sentido horário, poderíamos calcular os ângulos para os quais isso deve ser girado. Entre 𝐴 e 𝐴 linha, há um ângulo reto de 90 graus. Entre 𝐶 e 𝐶 linha, também podemos ver um ângulo de 90 graus. Isso confirmará que temos uma rotação de 90 graus.
Observe que encontramos essa rotação movendo nossos vértices pelo mesmo ponto ou coordenada. Este será o centro de rotação. Então, para descrever completamente essa transformação, precisamos juntar os fatos que descobrimos - o centro de rotação, o ângulo e a direção. Podemos então dar nossa resposta à primeira parte como uma rotação de 90 graus no sentido horário sobre a origem. Nós poderíamos, é claro, também ter descrito isso como uma rotação de 270 graus no sentido anti-horário em torno da origem. Dando a coordenada zero, zero em vez da origem também seria válido.
Vamos ver a segunda pergunta. Descreva a única transformação que transforma 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha em 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas. Precisamos ter cuidado, pois estamos usando o segundo triângulo menor e perguntando como vamos deste para o maior. Se olharmos para a nossa lista de possíveis transformações, as três primeiras - translação, reflexão e rotação - mantêm o objeto e sua imagem do mesmo tamanho. Como os triângulos aqui são de tamanhos diferentes, isso significa que há apenas uma transformação possível, ampliação.
Para descrever uma ampliação, precisamos encontrar o centro de ampliação e o fator de escala. Podemos encontrar o fator de escala com relativa facilidade, observando como o comprimento da imagem aumentou em relação ao comprimento da forma original. Podemos comparar os comprimentos de 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas e 𝐴 linha 𝐵 linha. Podemos ver que em 𝐴 linha 𝐵 linha, o comprimento é de duas unidades, e no comprimento superior de 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas, isso tem quatro unidades de comprimento. Então, parece que teremos um fator de escala de dois. Mas sempre vale a pena verificar alguns dos comprimentos dos outros lados, só para ter certeza. O comprimento 𝐵 linha 𝐶 linha é de três unidades de comprimento e o comprimento 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas é de seis unidades de comprimento. E como isso é duas vezes maior, confirmamos que o fator de escala é dois.
Há uma maneira fácil e agradável de encontrar o centro de ampliação. Para fazer isso, criamos uma semi-reta entre cada vértice e sua imagem. Aqui, temos um raio entre 𝐵 linha e 𝐵 duas linhas e 𝐴 duas linhas. Podemos fazer o mesmo entre 𝐶 linha e 𝐶 duas linhas. E o local para onde os raios convergem será o centro de ampliação, que mais uma vez será a origem ou a coordenada zero, zero. Colocamos nossa resposta nesta forma de afirmação de que isso será uma ampliação da origem por um fator de escala de dois.
Nossa pergunta final pergunta se nossos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas são semelhantes. Podemos lembrar que semelhante significa a mesma forma, mas de tamanho diferente. Os ângulos permanecem os mesmos, mas os lados estarão em proporção. Então, em nossa primeira transformação de 𝐴𝐵𝐶 para 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha, não mudamos o tamanho desses triângulos, o que significa que eles são congruentes. E quando transformamos 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha em 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas, a imagem aqui ficou maior. Então, esses dois triângulos não seriam congruentes.
Cada um dos comprimentos na imagem de 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas estava em proporção com aqueles nos triângulos de 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha. Todos os pares de ângulos correspondentes são congruentes. Então, nossos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴 duas linhas 𝐵 duas linhas 𝐶 duas linhas são semelhantes. Então, nossa resposta para a parte final dessa pergunta é: sim, esses triângulos são semelhantes.
Veremos agora uma pergunta final sobre a descrição de uma combinação de transformações.
Um triângulo com vértices três, três; sete, zero; e 10, cinco foram transformados em um, oito; cinco, cinco; e oito, 10 e depois para um, oito; menos dois, quatro; e três, um. Qual das seguintes opções descreve essas transformações?
E temos quatro opções de resposta. Será muito difícil responder a essa pergunta sem extrair as coordenadas. Então, vamos pegar um papel quadriculado e desenhar os vértices do triângulo original. Quando estamos planejando nosso gráfico, pode ser muito útil garantir que tenhamos espaço suficiente para cobrir o maior e o menor dos nossos valores 𝑥 e 𝑦. Aqui, temos nossas três primeiras coordenadas desenhadas para o triângulo original. Podemos então desenhar o segundo conjunto de três coordenadas para encontrar a imagem do triângulo, que ficará assim.
Agora precisamos descobrir qual transformação levará o triângulo azul original ao triângulo desenhado em rosa. Podemos lembrar que os quatro tipos de transformações são translação, reflexão, rotação e ampliação. Olhando para nossos dois triângulos, podemos ver que eles são do mesmo tamanho. Então, podemos eliminar a ampliação como uma opção de transformação. Em uma ampliação, a forma e sua imagem geralmente têm um tamanho diferente. No diagrama, podemos ver que os dois triângulos estão na mesma orientação. Em outras palavras, eles não são uma reflexão ou imagem espelhada, e não são uma rotação um do outro.
Isso nos deixa com a translação, que ocorre quando simplesmente movemos uma forma para a direita ou para a esquerda e para cima ou para baixo. Para descobrir como uma forma foi transladada, comparamos os vértices. Olhando para o vértice superior de cada triângulo e começando com o triângulo azul, podemos ver que há um movimento de duas unidades para a esquerda e cinco unidades para cima. Devemos ter muito cuidado para trabalhar com o triângulo original e a imagem. Caso contrário, em vez de descrever isso corretamente como uma translação de duas unidades para a esquerda e cinco unidades para cima, poderíamos descrevê-lo incorretamente como uma translação de duas unidades para a direita e cinco unidades para baixo. Mas podemos anotar que a primeira transformação será uma translação de duas unidades à esquerda e cinco unidades para cima.
Agora podemos olhar para o conjunto final de três coordenadas para encontrar a segunda transformação. Traçando as coordenadas um, oito; menos dois, quatro; e três, um nos dará um triângulo parecido com este. Precisamos trabalhar a transformação que leva nosso triângulo em rosa ao triângulo em laranja. Olhando para as nossas quatro opções de transformação, podemos eliminar a ampliação, pois esses triângulos são do mesmo tamanho. Também podemos eliminar outra translação, pois esses dois triângulos estão em uma orientação diferente. Os triângulos não são uma imagem refletida ou espelhada um do outro. Assim, podemos eliminar a reflexão, o que nos deixa com a rotação.
Para descrever uma rotação, precisamos fornecer o centro de rotação, o ângulo e a direção. Às vezes, pode ser difícil encontrar o centro de rotação. O que estamos realmente procurando é um ponto sobre o qual as formas possam girar ou rotacionar. Se desenharmos o triângulo rosa em papel vegetal e depois colocarmos a ponta do nosso lápis neste 𝑥 verde. Em seguida, mover nosso papel vegetal na direção da seta verde nos levaria ao triângulo laranja. Esta é a direção horária.
Para encontrar o ângulo de rotação, observamos o ângulo entre cada vértice e sua imagem. Aqui, podemos ver que temos um ângulo reto. Então, o ângulo de rotação será de 90 graus. Colocando essas informações juntas - onde o centro de rotação está em um, oito, o ângulo é 90 graus e a direção está no sentido horário - teríamos uma rotação de 90 graus no sentido horário cerca de um, oito. Também poderíamos descrever essa transformação como uma rotação de 270 graus no sentido anti-horário cerca de um, oito.
Portanto, se olharmos para as nossas opções de resposta, a primeira transformação foi uma translação de duas unidades para a esquerda e cinco para cima. Assim, podemos eliminar as opções (A) e (C). Nossa segunda transformação é uma rotação de 90 graus no sentido horário. Então, podemos eliminar a opção (B) que tem uma rotação de 180 graus. Podemos ver que a resposta totalmente correta é dada na opção (D). Foi transladado duas unidades à esquerda e cinco unidades para cima. E então foi rotacionado 90 graus no sentido horário sobre o ponto um, oito.
Agora, vamos resumir o que aprendemos neste vídeo. Vimos que existem quatro transformações: translação, reflexão, rotação e ampliação. Podemos combinar as transformações realizando uma transformação e depois outra. E, finalmente, se estivermos realizando ou descrevendo uma série ou combinação de transformações, devemos ter cuidado para que isso seja feito na ordem correta.
