Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como escrever a equação de uma reta paralela ou perpendicular a outra reta. Vamos considerar casos em que já sabemos a inclinação. E também veremos casos em que temos dois pontos e precisamos encontrar a inclinação dessa reta antes de encontrar a inclinação de uma reta paralela ou perpendicular.
Mas primeiro, vamos revisar algumas coisas sobre as retas. 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 é uma forma geral para uma equação em linha reta. E, em particular, chamamos ela de equação reduzida da reta. Nesta forma, o coeficiente de 𝑥 - a variável 𝑚 - é o coeficiente angular. E 𝑏 é igual à interceptação 𝑦, o lugar onde essa função cruza o eixo 𝑦. Como dissemos no primeiro slide, queremos considerar retas paralelas e retas perpendiculares.
Sabemos que as retas paralelas nunca se cruzam; elas nunca se cruzam. Geralmente representamos isso com um pequeno triângulo em qualquer reta. E, ocasionalmente, quando há mais de um par de retas paralelas, você pode vê -las anotadas com um múltiplo dos pequenos triângulos. Nesse caso, as retas paralelas serão o par com os símbolos correspondentes. O que estamos mostrando são dois conjuntos de retas paralelas.
Também é importante notar que você pode ver esse símbolo de paralelas utilizado para representar retas paralelas. Aqui, o segmento de reta 𝐴𝐵 é paralelo ao segmento de reta 𝐶𝐷. Mas a coisa mais importante a lembrar sobre retas paralelas é que elas têm a mesma inclinação. Se olharmos para as equações em linha reta dadas na forma de coeficiente angular e elas tiverem o mesmo valor para a variável 𝑚 para o coeficiente de 𝑥, elas serão paralelas.
Agora, vamos considerar o que são retas perpendiculares. As retas perpendiculares se cruzam em um ângulo de 90 graus. E isso geralmente é observado com o símbolo do ângulo reto. Agora, o conjunto de retas perpendiculares que desenhei aqui são horizontais e verticais. Mas nem sempre é esse o caso. Retas perpendiculares podem ocorrer em qualquer orientação. E quando se trata da inclinação das retas perpendiculares, elas são inversos negativos uma da outra. Portanto, retas paralelas têm a mesma inclinação; seus valores de 𝑚 são os mesmos. E em retas perpendiculares, se uma das retas tiver uma inclinação de 𝑚, a outra reta terá o inverso negativo, que é menos um sobre 𝑚. Também é importante notar aqui que existem retas que se cruzam e que não são paralelas ou perpendiculares. As retas que se cruzam formando qualquer ângulo além de um ângulo reto não se encaixam na categoria paralela ou perpendicular.
Vamos usar essas informações para começar a trabalhar com as equações de retas paralelas e perpendiculares.
Determine se as retas 𝑦 são iguais a menos um sétimo 𝑥 menos cinco e 𝑦 são iguais a menos um sétimo 𝑥 menos um são paralelas, perpendiculares ou nenhuma das duas.
As categorias paralela, perpendicular ou nenhuma das duas são sempre, nós categorizamos, interseções de retas. As retas paralelas não se cruzam. As retas perpendiculares se cruzam em um ângulo de 90 graus. A categoria nenhuma das duas aqui representa todas as retas que se cruzam, mas não formam um ângulo de 90 graus. Paralela, perpendicular ou nenhuma das duas.
Mas não temos um gráfico para essas duas retas. Claro, poderíamos tentar desenhar um gráfico para essas duas retas. Mas podemos determinar paralela, perpendicular ou nenhuma das duas sem representar graficamente essas duas equações. Ambas as retas são dadas na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Em ambos os casos, o coeficiente de 𝑥 - a variável 𝑚 - é menos um sétimo. A variável 𝑚 representa o coeficiente angular. E assim, podemos dizer que o coeficiente angular da reta um é menos um sétimo e o coeficiente angular da reta dois é menos um sétimo, o que nos lembra, “retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular”. É por isso que elas não se cruzam. Como essas duas retas têm coeficiente angular de menos um sétimo, podemos classificá-las como retas paralelas sem representar graficamente.
Neste exemplo, vamos classificar novamente as retas. Mas desta vez não temos as equações das retas. Temos apenas dois pontos que estão em cada uma das retas.
Dado que as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 são menos 15, oito; menos seis, 10; menos oito, menos sete; e menos seis, menos 16, respectivamente, determinam se a reta 𝐴𝐵 e a reta 𝐶𝐷 são paralelas, perpendiculares ou nenhuma delas.
Os pontos 𝐴 e 𝐵 caem na reta 𝐴𝐵 e os pontos 𝐶 e 𝐷 caem na reta 𝐶𝐷. Para classificar as retas, temos que lembrar: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular e não se cruzam. As retas perpendiculares têm inclinações inversas negativas e se cruzam em um ângulo de 90 graus. E também não são retas que não são paralelas ou perpendiculares, retas que se cruzam, mas não formam um ângulo reto. Isso significa que para considerar se essas retas são paralelas ou perpendiculares, precisamos saber os coeficientes angulares dessas retas.
Na forma geral, 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, o 𝑚 representa o coeficiente angular. E podemos encontrar a inclinação 𝑚 se tivermos dois pontos, dizendo que 𝑚 é igual a 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. Para categorizar essas retas, precisamos encontrar os coeficientes angulares da reta 𝐴𝐵 e da reta 𝐶𝐷. Podemos começar com a reta 𝐴𝐵. Seja o ponto 𝐴 𝑥 um, 𝑦 um e o ponto 𝐵 𝑥 dois, 𝑦 dois. Então, o coeficiente angular será de 10 menos oito sobre menos seis menos menos 15. 10 menos oito são dois. Menos seis menos menos 15 são menos seis mais 15, que são nove. Então, podemos dizer que o coeficiente angular da reta 𝐴𝐵 é de dois nonos.
Repetimos esse processo para a reta 𝐶𝐷. Seja 𝐶 𝑥 um, 𝑦 um e 𝐷 𝑥 dois, 𝑦 dois. E teremos 𝑚 igual a menos 16 menos menos sete sobre menos seis menos menos oito. Menos 16 menos menos sete é menos 16 mais sete, que é menos nove. Menos seis menos menos oito é menos seis mais oito, que é dois. O coeficiente angular da reta 𝐶𝐷 é então menos nove sobre dois.
Se compararmos esses dois coeficientes angulares, menos nove sobre dois é o inverso negativo de dois sobre nove. E se você não tiver certeza, você pode multiplicá-los. Os inversos se multiplicam para igualar a um e os inversos negativos se multiplicam para igualar menos um. Esses dois coeficientes angulares são os inversos negativos um do outro, tornando essas retas perpendiculares.
Aqui está outro exemplo.
A qual eixo a reta 𝑦 é igual a três é paralela?
Primeiro, sabemos que retas paralelas não se cruzam e têm o mesmo coeficiente angular. Temos a equação 𝑦 igual a três. Se pensarmos na forma geral de uma reta 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 e temos 𝑦 igual a três, o que significa que temos um coeficiente angular de zero. A partir daí, se esboçarmos um eixo 𝑦 e 𝑥, representar graficamente a reta 𝑦 igual a três ficaria assim. Devemos notar aqui que a reta 𝑦 é igual a três cruza o eixo 𝑦. E sabemos que isso é verdade porque tem um valor 𝑏 de três. E na forma geral, o 𝑏 representa a interceptação 𝑦.
Podemos, portanto, dizer que a reta 𝑦 igual a três não é paralela ao eixo 𝑦 porque cruza o eixo 𝑦. Mas podemos dizer que 𝑦 igual a três é paralelo ao eixo 𝑥. O eixo 𝑥 é a reta onde 𝑦 é igual a zero. A linha reta 𝑦 igual a três é paralela ao eixo 𝑥.
No próximo exemplo, precisamos encontrar a equação de uma reta se tivermos um ponto nessa reta e depois dois pontos em uma reta perpendicular a essa reta.
Determine, na forma reduzida, a equação da reta que passa por 𝐴: 13, menos sete perpendicular à reta que passa por 𝐵: oito, menos nove e 𝐶: menos oito, 10.
Então, aqui está o que estamos pensando. Temos os pontos 𝐵 e 𝐶, que formam uma reta. O ponto 𝐴 não está nesta reta. Mas o ponto 𝐴 está em uma reta perpendicular à reta 𝐵𝐶. E estamos tentando encontrar na forma reduzida a equação da reta que passa pelo ponto 𝐴. A forma reduzida é a forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Isso significa que precisamos do coeficiente angular dessa reta e da interceptação 𝑦. Mas como não conhecemos dois pontos ao longo dessa reta, teremos que encontrar o coeficiente angular de uma maneira diferente.
Lembramos que as retas perpendiculares têm coeficientes angulares inversos negativos. E como conhecemos dois pontos ao longo da reta 𝐵𝐶, podemos encontrar o coeficiente angular da reta 𝐵𝐶. E o coeficiente angular ao longo da reta que inclui o ponto 𝐴 será igual a menos um sobre o coeficiente angular da reta de 𝐵𝐶. Essa é apenas uma maneira matemática de dizer que esses dois valores serão inversos negativos um do outro. Isso significa que nosso primeiro trabalho é encontrar a inclinação da reta 𝐵𝐶. Se conhecermos dois pontos ao longo da reta, podemos encontrar seu coeficiente angular tomando 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um.
Vamos deixar 𝐵 ser 𝑥 um, 𝑦 um e 𝐶 ser 𝑥 dois, 𝑦 dois. E o coeficiente angular da reta 𝐵𝐶 será igual a 10 menos menos nove sobre menos oito menos oito. 10 menos menos nove são 19. E menos oito menos oito é igual a menos 16. Podemos dizer que o coeficiente angular da reta 𝐵𝐶 é 19 sobre menos 16. Mas, mais comumente, incluiríamos o sinal negativo no numerador e dizer que o coeficiente angular da reta 𝐵𝐶 é igual a menos 19 sobre 16. O coeficiente angular da reta contendo o ponto 𝐴 é o inverso negativo desse valor.
Para encontrar o inverso de uma fração, nós a invertemos. O inverso de menos 19 sobre 16 é 16 sobre menos 19. Mas temos que ter cuidado aqui, porque precisamos do inverso negativo. E isso significa menos 16 sobre menos 19 simplificados para 16 sobre 19. O coeficiente angular da reta que passa pelo ponto 𝐴 é então de 16 sobre 19. Neste ponto, temos o coeficiente angular da reta passando pelo ponto 𝐴. E nós temos um ponto que se enquadra nessa reta.
Para encontrar o 𝑦 interceptado dessa equação, poderíamos então usar a forma reduzida, que diz que 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 vezes 𝑥 menos 𝑥 um, onde 𝑥 um, 𝑦 um é um ponto ao longo da reta. O ponto 𝐴 é 𝑥 um, 𝑦 um. E assim, temos 𝑦 menos menos sete é igual a 16 sobre 19 vezes 𝑥 menos 13. Menos menos sete é mais sete. Nós distribuímos 16 sobre 19 vezes 𝑥. E 16 sobre 19 vezes menos 13 é igual a menos 208 sobre 19.
Como queremos a equação na forma reduzida, precisamos obter 𝑦 por si só, subtraindo sete de ambos os lados. Menos 208 sobre 19 menos sete é menos 341 sobre 19. Esta reta 𝑦 é igual a 16 sobre 19𝑥 menos 341 sobre 19 é perpendicular à reta 𝐵𝐶 e passa pelo ponto 𝐴.
Aqui está outro exemplo envolvendo retas paralelas.
As retas oito 𝑥 mais cinco 𝑦 são iguais a oito e oito 𝑥 mais 𝑎𝑦 igual a menos oito são paralelas. Qual é o valor de 𝑎?
Sabemos que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. E na forma reduzida, 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, o coeficiente da variável 𝑥 - 𝑚 representa o coeficiente angular. Disseram-nos que essas duas retas são paralelas. E isso significa que elas terão o mesmo coeficiente angular. Para encontrar o coeficiente angular dessas retas, vamos convertê-las na forma reduzida. Para fazer isso, obtemos 𝑦 por si só. Como ambas as equações têm oito 𝑥 à esquerda, subtrairemos oito 𝑥 de ambos os lados de ambas as equações. À esquerda, teríamos cinco 𝑦 igual a menos oito 𝑥 mais oito. E à direita, 𝑎𝑦 é igual a menos oito 𝑥 menos oito. Precisamos obter 𝑦 por si só para a forma reduzida. Então, podemos dividir por cinco. E a equação da esquerda na forma reduzida será 𝑦 igual a menos oito quintos 𝑥 mais oito quintos.
À direita, precisamos fazer algo semelhante. Para obter 𝑦 por si só, vamos dividir por 𝑎. E nossa segunda equação será 𝑦 igual a menos oito sobre 𝑎𝑥 menos oito sobre 𝑎. Esses coeficientes angulares precisam ser iguais entre si se essas retas forem paralelas. Como um dos coeficientes angulares é menos oito sobre cinco, o outro coeficiente angular precisará ser menos oito sobre cinco. E isso nos diz que 𝑎 deve ser cinco para que essas duas retas sejam paralelas. Se voltarmos e substituirmos cinco em 𝑎, veremos que a razão dos coeficientes entre essas duas equações são iguais entre si, o que as torna paralelas.
Em nosso exemplo final, recebemos três pontos que formam um triângulo retângulo. E usaremos o que sabemos sobre retas paralelas ou perpendiculares para resolver um valor ausente em um dos pontos.
Suponha que os pontos 𝐴: menos três, menos um; 𝐵: um, dois; e 𝐶: sete, 𝑦 formam um triângulo retângulo em 𝐵. Qual é o valor de 𝑦?
Podemos ir em frente e fazer um esboço desses pontos. 𝐴 é menos três, menos um. 𝐵 é um, dois. Sabemos que a coordenada 𝑥 do ponto 𝐶 é sete. E isso significa que 𝐶 estará localizado em algum lugar ao longo desta reta. Conhecemos a reta 𝐴𝐵. E nos disseram que o ângulo reto desse triângulo está no ponto 𝐵. Podemos ter uma ideia geral de onde achamos que o ponto 𝐶 estaria. Mas essa não é uma boa maneira de encontrar uma resposta precisa. Mas porque sabemos que este é um triângulo retângulo, poderíamos dizer que a reta 𝐴𝐵 é perpendicular à reta 𝐵𝐶. Isso significa que o coeficiente angular do segmento de reta 𝐵𝐶 é o inverso negativo do coeficiente angular do segmento de reta 𝐴𝐵.
Para resolver esse problema, precisaremos fazer três coisas. Primeiro, encontre o coeficiente angular do segmento de reta 𝐴𝐵. Use esse coeficiente angular para encontrar o inverso negativo, que é o coeficiente angular do segmento de reta 𝐵𝐶. Então, pegue o coeficiente angular da reta 𝐵𝐶 e use-a para encontrar o valor 𝑦 no ponto 𝐶. Se tivermos dois pontos, encontramos o coeficiente angular usando 𝑚 igual a 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. Para os pontos 𝐴 e 𝐵, isso seria dois menos menos um sobre um menos menos três, o que equivale a três quartos. O coeficiente angular da reta 𝐴𝐵 é então de três quartos. E nós completamos o passo um.
Para a etapa dois, precisamos obter o inverso negativo do coeficiente angular que encontramos na etapa um. O inverso negativo de três quartos é menos quatro terços. E esse é o segundo passo. Agora, para o passo três, vamos pegar o ponto 𝐵: um, dois e o ponto 𝐶: sete, 𝑦. Vamos deixar 𝐵 ser 𝑥 um, 𝑦 um e 𝐶 ser 𝑥 dois, 𝑦 dois. O coeficiente angular menos quatro terços é igual a 𝑦 menos dois sobre sete menos um. Sete menos um são seis. Para resolver isso, multiplicamos em cruz. Menos quatro vezes seis é igual a três vezes 𝑦 menos dois. Menos 24 é igual a três 𝑦 menos seis.
Para nos dar um pouco mais de espaço para resolver 𝑦, adicionamos seis a ambos os lados e obtemos menos 18 igual a três 𝑦. Dividir ambos os lados da equação por três e obtemos menos seis igual a 𝑦. E descobrimos no passo três que 𝑦 deve ser igual a menos seis. Isso significa que, para ser um triângulo retângulo, o ponto 𝐶 precisa estar localizado em sete, menos seis. E assim, descobrimos que esse valor ausente é menos seis.
Para finalizar, revisaremos nossos pontos principais. As retas paralelas não se cruzam e têm o mesmo coeficiente angular. As retas perpendiculares se cruzam em um ângulo de 90 graus e têm coeficientes angulares recíprocos negativos.
