Question Video: Encontrando a Equação de uma Reta

Video Transcript

Encontre a equação da reta perpendicular a menos seis 𝑥 menos 𝑦 mais oito é igual a zero e passando pela intersecção das retas menos quatro 𝑥 menos 𝑦 menos três igual a zero e menos 𝑥 mais oito 𝑦 menos um é igual a zero.

Com essa pergunta, temos duas informações importantes sobre a reta cuja equação queremos encontrar. Em primeiro lugar, nos é dito algo sobre sua inclinação. É perpendicular à reta menos seis 𝑥 menos 𝑦 mais oito é igual a zero. Em segundo lugar, somos informados sobre um ponto que se encontra nessa reta. Ela passa pela interseção das retas cujas equações são dadas.

Para responder a essa pergunta, precisaremos encontrar a inclinação da reta 𝑚 e as coordenadas desse ponto que estão na reta 𝑥 um, 𝑦 um, então podemos aplicar o método do coeficiente angular para encontrar a equação desta reta 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 um.

Vamos nos concentrar em encontrar 𝑚 — a inclinação da reta primeiro. Sabemos que se duas retas são perpendiculares entre si, então o produto de suas inclinações, que são referidas como 𝑚 um e 𝑚 dois, é igual a menos um. Se pegarmos a equação da reta perpendicular à nossa reta e adicionar 𝑦 a cada lado, então temos menos seis 𝑥 mais oito é igual a 𝑦.

Comparando isso com 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐, a forma reduzida da equação de uma reta, vemos que a inclinação dessa reta é menos seis. Para encontrar a inclinação da reta perpendicular, precisamos dividir menos um por menos seis. A inclinação da reta perpendicular — nossa reta — é um sexto.

Então, encontramos a inclinação da reta e a substituímos no início de nossa equação para a reta. Vou excluir da tela o resultado dessa parte para abrir caminho para o próximo passo de trabalho. Então, se você precisar anotá-lo, pause o vídeo e faça isso agora.

Em seguida, precisamos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas dadas. Para fazer isso, precisamos resolver um sistema de equações. Eu rotulei as equações como equação um e equação dois. Eu sei agora que a equação um pode ser rearranjada para dar uma expressão para 𝑦 em termos de 𝑥. Adicionando 𝑦 a ambos os lados da equação, 𝑦 é igual a menos 𝑥 menos três.

O próximo passo é substituir esta expressão de 𝑦 na equação dois. Isto dá menos três 𝑥 mais oito vezes menos quatro 𝑥 menos três menos um é igual a zero. E agora, eu tenho uma equação linear em 𝑥 que eu posso resolver. Primeiro, eu expandi os parênteses para dar menos três 𝑥 menos 32 𝑥 menos 24 menos um é igual a zero. Agora, eu agrupo termos semelhantes dando menos 35𝑥 menos 25 é igual a zero.

O próximo passo é adicionar 25 a ambos os lados da equação, dando menos 35𝑥 é igual a 25. Em seguida, eu divido os dois lados da equação por menos 35, dando 𝑥 é igual a 25 sobre menos 35. Tanto o numerador quanto o denominador nessa fração podem ser simplificados por um fator cinco. E nós temos um positivo dividido por um negativo, dando um total negativo. Nós temos o 𝑥 é igual a menos cinco sobre sete.

Então encontramos o valor de 𝑥 e agora precisamos encontrar o valor de 𝑦. Para fazer isso, podemos substituir na equação um na forma rearranjada. Isto dá 𝑦 é igual a menos quatro multiplicado por menos cinco sobre sete menos três. Menos quatro multiplicado por menos cinco sobre sete é 20 sobre sete positivo. E se eu quiser escrever menos três como uma fração com denominador sete, é igual a menos 21 sobre sete. Isto simplifica então para dar menos um sobre sete.

Então, resolvendo as equações das duas retas simultaneamente, encontramos as coordenadas do ponto de interseção e, portanto, as coordenadas do ponto que está na reta que estamos procurando. Podemos substituir os dois valores em 𝑥 um e 𝑦 um na equação de nossa reta.

Agora, novamente, vamos excluir alguns dos exercícios na tela para concluir a parte final da pergunta. Então pause o vídeo agora, se precisar escrever alguma coisa. Encontramos a inclinação da linha e as coordenadas do ponto que está na reta. E, portanto, temos a equação de nossa reta 𝑦 menos menos um sobre sete é igual a um sexto de 𝑥 menos menos cinco sobre sete.

Agora precisamos reorganizar a equação de nossa reta. Os dois negativos no lado esquerdo e os dois negativos no lado direito podem ser simplificados para um sinal positivo. Portanto, temos 𝑦 mais um sétimo é igual a um sexto de 𝑥 mais cinco sétimos. Agora, há muitas frações em nossa equação no momento e preferimos trabalhar com números inteiros. Então, vou eliminar essas frações.

Primeiro de tudo, vou multiplicar todos os termos da equação por seis. Isso dá seis 𝑦 mais seis sétimos é igual a 𝑥 mais cinco sétimos. Agora eu ainda tenho frações envolvidas. Então, em seguida, vou multiplicar todos os termos da equação por sete. Isso dá 42𝑦 mais seis é igual a sete 𝑥 mais cinco e eu eliminei todas as frações.

Por fim, agruparei todos os termos do mesmo lado da equação e escolheremos agrupar no lado direito. Para fazer isso, preciso subtrair ambos os 42𝑦 e seis de ambos os lados da equação. Isso dá zero é igual a sete 𝑥 menos 42𝑦 menos um.

Ao trocar o zero para o lado direito da equação, que é um pouco mais convencional, temos a equação da reta que estávamos procurando: sete 𝑥 menos 42𝑦 menos um é igual a zero.