Vídeo: Expressando um Sistema de Equações como uma Equação Matricial

Expresse o sistema de equações como uma equação matricial. 7𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 = 5, 5𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 11 e 2𝑥 − 3𝑦 + 8𝑧 = 10.

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Transcrição do vídeo

Expresse o sistema de equações dado como uma equação matricial. Sete 𝑥 menos três 𝑦 mais seis 𝑧 é igual a cinco, cinco 𝑥 menos dois 𝑦 mais dois 𝑧 é igual a 11 e dois 𝑥 menos três 𝑦 mais oito 𝑧 é igual a 10.

Temos três equações lineares, cada uma contendo as três variáveis ​​𝑥, 𝑦 e 𝑧. Todas as equações são escritas da mesma forma com o termo 𝑥 em primeiro seguido pelo termo 𝑦 e depois com o termo 𝑧. Completando o lado esquerdo e apenas uma única constante à direita. E quando um sistema de equações é escrito dessa forma, é fácil reescrevê-lo como uma equação matricial.

Nós escrevemos o sistema de equações novamente. E lembre-se, nós queríamos escrever este sistema de equações como uma equação matricial única. E as entradas da matriz, que fazem dela uma equação matricial, serão extraídas dos coeficientes dos termos do lado esquerdo de nossas equações. Por exemplo, na primeira equação, os coeficientes são sete, menos três e seis. E continuando, também temos os coeficientes cinco, menos dois e dois da segunda equação. E dois, menos três e oito na terceira equação.

Como esses coeficientes são organizados em nossa matriz? Bem, exatamente da mesma maneira que estão dispostos em nossas equações, da maneira como os colocamos. Tudo o que temos a fazer é apagar das equações tudo o que não for um coeficiente sublinhado. Apagamos os termos 𝑥s, os 𝑦s, os 𝑧s, as constantes no lado direito das equações e qualquer sinal de mais ou igual que tenha sobrado. E como agora é uma matriz, precisamos colocar alguns colchetes ao redor desses números.

Então nós temos uma matriz, mas ainda não temos uma equação. Para uma equação, precisaremos de algumas incógnitas. Temos três incógnitas — 𝑥, 𝑦 e 𝑧 — em nosso conjunto original do sistema de equações. E os colocamos nessa ordem em uma matriz três por um pela qual multiplicamos. E, além de ter uma ou mais variáveis ​​ou incógnitas, uma equação também deve ter um sinal de igual. E o que esse lado esquerdo é igual a? Bem, nós ainda não usamos esses três termos constantes do lado direito. E assim, do lado direito, agora temos uma matriz três por um com esses termos constantes como as entradas.

Então aqui temos nossa equação matricial. Temos uma matriz com entradas conhecidas vezes uma matriz com entradas desconhecidas igual a outra matriz com entradas conhecidas. E podemos verificar que essa equação matricial realmente representa o sistema de equações com as quais começamos multiplicando o lado esquerdo. Multiplicando essas matrizes, obtemos uma matriz de três por um cujas entradas são sete 𝑥 menos três 𝑦 mais seis 𝑧, cinco 𝑥 menos dois 𝑦 mais dois 𝑧 e dois 𝑥 menos três 𝑦 mais oito 𝑧. E, claro, do lado direito, ainda temos a matriz três por um: cinco, 11, 10.

Para que essas duas matrizes sejam iguais, suas entradas devem ser iguais. E então sete 𝑥 menos três 𝑦 mais seis 𝑧 devem ser cinco. Cinco 𝑥 menos dois 𝑦 mais dois 𝑧 devem ser 11. E dois 𝑥 menos três 𝑦 mais oito 𝑧 devem ser 10. E estas são, obviamente, o sistema de equações com o qual começamos.

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