Lesson Video: Noções Básicas de Equações Diferenciais

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Neste vídeo, aprenderemos sobre o básico de equações diferenciais. Vamos ver primeiro o que é uma equação diferencial e como ela pode surgir em problemas físicos nas áreas de matemática e física. Vamos apresentar a terminologia associada às equações diferenciais. E, no contexto de exemplos, veremos como classificar equações diferenciais de acordo com seu tipo e ordem.

Vamos começar discutindo o que realmente é uma equação diferencial. Bem, é apenas uma equação que contém uma função e uma ou mais de suas derivadas com relação a uma variável independente. Por exemplo, a equação d𝑦 por d𝑥 mais 𝑦 é igual a três 𝑥 é uma equação diferencial. Aqui, 𝑦 é a função na qual estamos interessados. É uma função da variável independente 𝑥 e a equação inclui a primeira derivada de 𝑦 em relação a 𝑥.

Também existem equações diferenciais muito mais complicadas. Por exemplo, a equação d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑦 multiplicada por d𝑦 sobre d𝑥 todos ao quadrado mais três 𝑦 é igual a seno de 𝑥. Essa equação diferencial inclui não apenas uma primeira derivada d𝑦 sobre d𝑥 que é ao quadrado, mas também inclui a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥, d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado. Então, temos uma equação que contém uma função 𝑦, e sua primeira derivada d𝑦 sobre d𝑥, e também sua segunda derivada d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado.

O primeiro desses dois exemplos é conhecido como equação diferencial de primeira ordem, porque a derivada de mais alta ordem que ele contém é uma primeira derivada, a primeira derivada de 𝑦 em relação a 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥. O segundo exemplo é conhecido como equação diferencial de segunda ordem, porque a derivada de ordem superior que ela contém é uma segunda derivada, d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado. De maneira mais geral, as equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com a derivada de ordem mais alta que elas contêm. Portanto, uma equação diferencial em que a derivada de ordem mais alta é a derivada de 𝑛-ésima ordem seria classificada como uma equação diferencial de 𝑛-ésima ordem.

Exemplos de equações diferenciais surgem em muitos problemas físicos. Por exemplo, crescimento populacional simples, onde a taxa de aumento da população 𝑃 é proporcional à própria população. E isso pode ser modelado pela equação diferencial d𝑃 por d𝑡 igual a 𝑘𝑃. Aqui, 𝑡 representa o tempo e 𝑘 é chamado a constante de proporcionalidade.

Agora, está além do escopo deste vídeo ver como resolveríamos uma equação diferencial desse tipo. Mas, de fato, se tivéssemos a condição inicial de que a população no tempo zero fosse igual a algum valor 𝑃 zero, então pode ser demonstrado que a solução para essa equação diferencial seria que a população no momento 𝑡 seja igual a 𝑃 zero multiplicado por 𝑒 ao elevado a 𝑘𝑡. Assim, a população cresce de maneira exponencial.

Agora, para resolver uma equação diferencial em geral, precisamos encontrar uma expressão para a variável dependente, que neste caso seria 𝑃, em termos da variável independente, que aqui seria 𝑡. A solução é uma função tal que essa função e suas derivadas satisfazem a equação diferencial. Agora, geralmente, quando resolvemos uma equação diferencial, obtemos não uma solução única, mas uma família de soluções, que satisfazem a equação diferencial, mas diferem uma da outra nos valores de quaisquer constantes.

Se também recebermos informações adicionais, como aqui foi dado o valor da população no tempo zero, podemos determinar os valores dessas constantes e, portanto, obter uma solução específica para a equação diferencial. Essas informações adicionais são conhecidas como condição de contorno ou, às vezes, como condição inicial, se especificar o valor da função quando o valor da variável independente for zero.

No entanto, resolver equações diferenciais não é o foco deste vídeo em particular. Em vez disso, estamos nos concentrando em entendê-los e classificá-los. No entanto, consideraremos um exemplo de como podemos confirmar que uma determinada função realmente satisfaz uma equação diferencial.

A função 𝑦 é igual a um sobre dois mais 𝑥 uma solução para a equação diferencial 𝑦 linha é igual a menos 𝑦 ao quadrado?

Lembre-se que 𝑦 linha é outra maneira de dizer d𝑦 sobre d𝑥, a primeira derivada de 𝑦 em relação a 𝑥. Então, recebemos uma equação diferencial de primeira ordem e queremos saber se a função dada 𝑦 é uma solução para ela. Ou seja, precisamos saber se a função 𝑦 satisfaz essa equação.

Vamos começar, então, calculando primeiro o que 𝑦 linha, ou d𝑦 sobre d𝑥, é igual a para esta função 𝑦. E para fazer isso, podemos primeiro expressar 𝑦 de uma forma alternativa. Podemos escrever como dois mais 𝑥 elevado a menos um. Podemos então encontrar essa derivada usando a regra geral de potência, que diz que se tivermos alguma função 𝑓 de 𝑥 à potência de 𝑛, então sua derivada em relação a 𝑥 é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑓 linha de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um.

Aqui, nossa função 𝑓 de 𝑥 é dois mais 𝑥, e nosso expoente 𝑛 é menos um. Então, aplicando a regra geral do potência, temos 𝑛, que é menos um, multiplicado pela derivada de dois mais 𝑥, que é apenas um, multiplicado por 𝑓 de 𝑥. São mais dois 𝑥, elevado a 𝑛 menos um. Então, esse é o expoente de menos dois. Podemos então reescrever isso como menos um sobre dois mais 𝑥 ao quadrado. Então, sabemos qual seria o lado esquerdo desta equação diferencial para esta função 𝑦.

No lado direito, temos menos 𝑦 ao quadrado. Então, essa é a função original 𝑦 ao quadrado e depois multiplique-a por menos um, que é igual a menos um sobre dois mais 𝑥 tudo ao quadrado. Para colocar uma fração ao quadrado, podemos colocar o numerador e o denominador. Então, temos menos um ao quadrado, que é um, sobre dois mais 𝑥 todos ao quadrado.

Agora, comparamos nossas expressões para 𝑦 linha e menos 𝑦 ao quadrado. E vemos que ambos são iguais a menos um sobre dois mais 𝑥 todos ao quadrado. E, portanto, eles são realmente iguais um ao outro. Isso nos diz que a função 𝑦 é igual a um sobre dois mais 𝑥 satisfaz a equação diferencial dada e, portanto, é uma solução.

Agora, veremos alguns exemplos adicionais para introduzir a terminologia necessária para descrever a grande variedade de outros tipos de equações diferenciais que podemos encontrar.

Determine a ordem da equação diferencial d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado ao cubo menos 𝑦 três linhas à quarta potência mais 𝑥 é igual a zero.

Lembramos primeiro que a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece nessa equação. Podemos ver rapidamente que essa equação diferencial envolve uma segunda derivada, d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado. Mas se olharmos um pouco mais de perto, veremos que a equação também contém 𝑦 três linhas, que é uma notação alternativa para a terceira derivada. A derivada de ordem mais alta é três. E, portanto, a ordem dessa equação diferencial é três.

Agora, não se deixe enganar pelos expoentes aqui. Essa é a potência de três com a segunda derivada e a potência de quatro com a terceira derivada. A ordem de uma equação diferencial não é a potência mais alta da variável ou de qualquer uma de suas derivadas que aparece na equação. É a ordem da derivada de maior ordem na equação. Portanto, essa potência de três para o primeiro termo e a potência de quatro para o segundo termo são totalmente irrelevantes em termos de determinação da ordem da equação diferencial.

Em nosso próximo exemplo, aprenderemos a diferença entre equações diferenciais lineares e não lineares.

A equação diferencial d𝑦 sobre d𝑥 mais 𝑥 raiz de 𝑦 é igual a 𝑥 ao quadrado é linear?

Uma equação diferencial linear é aquela que pode ser expressa como um polinômio linear da função desconhecida, neste caso 𝑦 e suas derivadas. O que isso significa é que as únicas potências da função desconhecida e cada derivada que aparece na equação são um ou zero se a equação não contiver essa derivada de ordem. E também cada derivada e a função em si são multiplicadas apenas pelas funções de 𝑥.

Assim, por exemplo, a equação duas vezes d𝑦 sobre d𝑥 mais quatro 𝑥𝑦 é igual a três 𝑥 seria um exemplo de uma equação diferencial linear. Como a potência de 𝑦 e d𝑦 sobre d𝑥 é um, e cada um deles é multiplicado por uma função de 𝑥 somente. Enquanto a equação duas vezes d𝑦 por d𝑥 mais quatro 𝑥 sobre 𝑦 é igual a três 𝑥 é não linear como no segundo termo, a potência de 𝑦 é menos um. A equação quatro 𝑥 d dois 𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado mais dois 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 é igual a sete também é não-linear, como no segundo termo, vemos que d𝑦 sobre d𝑥 é multiplicado pela função de 𝑦, não por uma função pura de 𝑥.

Mais formalmente, podemos dizer que uma equação diferencial é linear se puder ser expressa na forma mostrada na tela. Cada derivada de 𝑛-ésima ordem de 𝑦 e a própria função 𝑦 é multiplicada por um polinômio em 𝑥 somente. Então, vamos considerar a equação diferencial que nos foi dada. E podemos ver que inclui a raiz quadrada de 𝑦. Agora, outra maneira de expressar a raiz quadrada de 𝑦 é 𝑦 elevado a um meio. E, portanto, essa equação diferencial é não linear, pois a potência de 𝑦 não é igual a um.

Agora, observe que não é a presença do termo 𝑥 ao quadrado no lado direito que torna essa equação diferencial não linear. 𝑥 é a variável independente nesta equação. E são apenas as potências da variável dependente e suas derivadas, que são 𝑦 e d𝑦 sobre d𝑥 e assim por diante, que devem ser todos iguais a um para formar a equação linear.

Em nosso exemplo final, aprenderemos a diferença entre equações diferenciais ordinárias e parciais.

Qual das seguintes relações é uma equação diferencial ordinária?

Lembre-se, antes de tudo, que uma equação diferencial contém uma função e uma ou mais de suas derivadas com relação a uma variável independente. Se considerarmos a primeira equação, antes de tudo, 𝑧 é igual a cinco 𝑥𝑦, veremos que ela não contém derivadas. E, portanto, essa não é uma equação diferencial. É simplesmente uma equação que relaciona as três variáveis ​​𝑥, 𝑦 e 𝑧. Portanto, podemos descartar a opção A.

Da mesma forma, se considerarmos que a equação final 𝑦 é igual à raiz quadrada 𝑥 ao quadrado menos quatro, essa também não é uma equação diferencial, pois não contém derivadas. Apenas expressa a relação entre as variáveis ​​𝑥 e 𝑦. Portanto, restam apenas duas possibilidades, B e C. Considerando a segunda equação, vemos que ela contém uma variável desconhecida 𝑦 e sua derivada em relação a uma variável independente 𝑥. Portanto, este é um exemplo de uma equação diferencial.

Mas a pergunta não nos pede apenas qual é uma equação diferencial. Ele nos pergunta, qual é uma equação diferencial ordinária. Portanto, precisamos considerar o que essa palavra ordinária significa nesse contexto. A terceira equação também contém uma derivada. E, de fato, é uma segunda derivada desta vez. Mas vemos que a notação usada é um pouco diferente. Essa notação representa a segunda derivada parcial da variável 𝑧 em relação a 𝑥.

O que isso significa é que a função 𝑧 não é apenas uma função de 𝑥, mas também de uma ou mais outras variáveis, como 𝑦. A derivada parcial de 𝑧 em relação a 𝑥 é a função que obtemos se tratarmos cada uma das outras variáveis ​​como constantes quando diferenciamos. De fato, a segunda derivada parcial de 𝑧 em relação a 𝑥 é o que obtemos se fizermos isso duas vezes.

Então, voltamos a essa palavra ordinária na pergunta. Uma equação diferencial ordinária contém apenas ordinária, em oposição a derivadas parciais, pois a função desconhecida é uma função apenas da variável independente. A partir da notação usada na equação B, vemos que ela contém apenas a função 𝑦 e sua primeira derivada comum. Portanto, esta é uma equação diferencial ordinária. Enquanto a opção C contém uma derivada parcial e, portanto, é conhecida como equação diferencial parcial.

Você pode ver as abreviações O.D.E e P.D.E usadas para descrever equações diferenciais ordinárias e parciais, respectivamente. Portanto, nossa resposta à pergunta, qual dos seguintes relacionamentos é uma equação diferencial ordinária, é B. A e D não são equações diferenciais. E C é uma equação diferencial, mas é uma equação diferencial parcial.

Vamos resumir o que vimos neste vídeo. Em primeiro lugar, equações diferenciais são equações que relacionam uma função e uma ou mais de suas derivadas. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de ordem mais alta que ela contém. Portanto, uma equação diferencial em que a derivada de maior ordem fosse uma terceira derivada teria uma ordem de três.

Uma equação diferencial linear pode ser expressa na forma mostrada na tela. A potência da função 𝑦 e cada uma de suas derivadas é um ou zero. E 𝑦 e cada uma de suas derivadas são multiplicadas por funções puras de 𝑥. E finalmente, as equações diferenciais ordinárias, ou O.D.E.s, contêm apenas derivadas comuns, como d𝑦 sobre d𝑥. Aqui, a função 𝑦 é uma função de apenas uma variável independente 𝑥.

Considerando que equações diferenciais parciais, ou P.D.E.s, contêm derivadas parciais. Aqui, a função 𝑦 é uma função de mais de uma variável independente. As equações diferenciais têm muitas aplicações e podem ser usadas para modelar uma ampla gama de fenômenos físicos.