Pop Video: Música e Teoria da Medida

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Eu tenho dois desafios aparentemente não relacionados para você. O primeiro diz respeito à música. E o segundo fornece um resultado fundamental na teoria da medida, que é a base formal de como os matemáticos definem integração e probabilidade. O segundo desafio, que abordarei na metade do vídeo, tem a ver com números pertencentes a conjuntos abertos e é muito contra intuitivo. Ou pelo menos, quando vi pela primeira vez, fiquei confuso por um tempo.

Antes de mais, gostaria de explicar o que está acontecendo. Mas também pretendo compartilhar uma conexão surpreendente que ele tem com a música. Aqui está o primeiro desafio. Vou tocar uma nota musical com uma determinada frequência, digamos 220 hertz. Então, vou escolher um número entre um e dois, que chamaremos de 𝑟, e tocar uma segunda nota musical cuja frequência é 𝑟 vezes a frequência da primeira nota, 220. Para alguns valores de 𝑟, como 1.5, as duas notas soarão harmoniosas juntas. Mas para outros, como a raiz quadrada de dois, elas soam cacofônicas.

Sua tarefa é determinar se uma determinada razão 𝑟 produzirá um som agradável ou desagradável apenas analisando o número e sem ouvir as notas. Uma maneira de responder, especialmente se o seu nome é Pitágoras, pode ser dizer que duas notas soam bem quando a razão é um número racional e ruim quando é irracional. Por exemplo, uma razão de três partes dá um quinto musical, quatro terços dá um quarto musical, oito quintos dá um sexto maior, e assim por diante.

Aqui está o meu melhor palpite sobre porque esse é o caso. Uma nota musical é composta por batidas tocadas em sucessão rápida, por exemplo, 220 batidas por segundo. Quando a razão de frequências de duas notas é racional, há um padrão detectável nessas batidas. Que, quando diminuímos a velocidade, ouvimos como um ritmo e não como uma harmonia. Evidentemente, quando nosso cérebro capta esse padrão, as duas notas soam bem juntas. No entanto, a maioria dos números racionais realmente soa muito ruim, como 211 sobre 198 ou 1093 dividido por 826. A questão, é claro, é que esses números racionais são de alguma forma mais complicados do que os outros. Nossos ouvidos não entendem o padrão das batidas.

Uma maneira simples de medir a complexidade de números racionais é considerar o tamanho do denominador quando ele é escrito em forma reduzida. Portanto, podemos editar nossa resposta original para admitir apenas frações com denominadores baixos, digamos menor que 10. Mesmo assim, isso não captura a harmonia. Como muitas notas soam bem juntas, mesmo quando a proporção de suas frequências é irracional, desde que seja próxima de um número racional harmonioso. E isso também é bom, porque muitos instrumentos, como pianos, não são afinados em termos de intervalos racionais. Mas são sintonizados de forma que cada aumento de meio passo corresponda à multiplicação da frequência original pela 12ª raiz de dois, o que é irracional. Se você está curioso para saber por que isso é feito, Henry da MinutePhysics fez recentemente um vídeo que fornece uma explicação muito boa.

Isso significa que, se você fizer um intervalo harmonioso, como um quinto, a razão de frequências quando tocada em um piano não será um número racional agradável como você espera, neste caso três meios. Mas, em vez disso, haverá alguma potência da 12ª raiz de dois, neste caso, de dois elevado a sete sobre 12, que é irracional, mas muito próximo de três meios. Da mesma forma, um quarto musical corresponde a dois elevado a cinco doze avos, que é muito próximo de quatro terços. De fato, a razão pela qual funciona tão bem ter 12 notas na escala cromática é que as potências da 12ª raiz de dois têm a estranha tendência de estar dentro de uma margem de um por cento de erro de números racionais simples.

Portanto, agora você pode dizer que uma razão 𝑟 produzirá um par harmonioso de notas se estiver suficientemente perto de um número racional com um denominador suficientemente pequeno. O quão próximo depende de quão exigente é o seu ouvido. E quão pequeno é um denominador depende da complexidade dos padrões harmônicos em que seu ouvido foi treinado para entender. Afinal, talvez alguém com um senso musical particularmente agudo seria capaz de ouvir e encontrar prazer no padrão resultante de frações mais complicadas, como 23 sobre 21 ou 35 sobre 43. Assim como números próximos dessas frações.

Isso me leva a uma pergunta interessante. Suponha que exista um sábio musical que encontre prazer em todos os pares de notas cujas frequências tenham uma razão racional. Até as razões super complicadas que você e eu acharíamos cacofônicas. É o caso de ela encontrar todas as razões 𝑟 entre um e dois harmônicos, até os irracionais? Afinal, para qualquer número real, sempre é possível encontrar um número racional arbitrariamente próximo a ele, assim como três meios é realmente próximo a dois elevado a sete sobre 12. Bem, isso nos leva ao desafio número dois.

Os matemáticos gostam de perguntar enigmas sobre a cobertura de vários conjuntos com intervalos abertos. E as respostas para esses enigmas têm uma estranha tendência a se tornarem famosos lemas de teoremas. Por intervalo aberto, quero dizer apenas o alongamento contínuo de números reais estritamente maiores que algum número 𝑎, mas estritamente menores que algum outro número 𝑏, onde 𝑏 é, é claro, maior que 𝑎. Meu desafio para você envolve cobrir todos os números racionais entre zero e um com intervalos abertos. Quando digo cobrir, tudo isso significa que cada número racional particular está dentro de pelo menos um de seus intervalos. A maneira mais óbvia de fazer isso é usar apenas o intervalo inteiro de zero a um e chamá-lo de pronto. Mas o desafio aqui é que a soma dos comprimentos de seus intervalos deve ser estritamente menor que um.

Para ajudá-lo nessa tarefa aparentemente impossível, você pode usar infinitos intervalos. Mesmo assim, a tarefa pode parecer impossível, pois os números racionais são densos nos números reais. Significando, qualquer extensão, por menor que seja, contém infinitamente muitos números racionais. Então, como você pode cobrir todos os números racionais sem cobrir todo o intervalo de zero a um. O que significa que o comprimento total de seus intervalos abertos deve ser pelo menos o comprimento de todo o intervalo de zero a um. Por outro lado, eu não estaria perguntando se não houvesse uma maneira de fazer isso.

Primeiro, enumeramos os números racionais entre zero e um, o que significa que os organizamos em uma lista infinitamente longa. Há muitas maneiras de fazer isso. Mas uma maneira natural que escolho é começar por um meio, seguida por um terço e dois terços, depois um quarto e três quartos. Não anotamos dois quartos, pois ele já apareceu como um meio. Então todas as frações reduzidas com denominador cinco, todas as frações reduzidas com denominador seis, continuando assim por diante. Cada fração aparecerá exatamente uma vez nesta lista, em sua forma reduzida. E isso nos dá uma maneira significativa de falar sobre o primeiro número racional, depois um segundo número racional, o 42º número racional, coisas assim.

Em seguida, para garantir que cada racional seja coberto, atribuiremos um intervalo específico a cada racional. Depois de removermos os intervalos da geometria de nossa configuração e pensarmos neles em uma lista, cada um responsável por um número racional, parece muito mais claro que a soma de seus comprimentos pode ser menor que um. Uma vez que cada intervalo específico pode ser tão pequeno quanto você deseja e ainda cobrir seu racional designado. De fato, a soma pode ser qualquer número positivo. Basta escolher uma soma infinita com termos positivos que convergem para um, como um meio mais um quarto mais um oitavo, e assim por diante. Em seguida, escolha qualquer valor desejado 𝜀 maior que zero, como 0.5. E multiplique todos os termos da soma por 𝜀 para que você tenha uma soma infinita convergindo para 𝜀.

Agora dimensione o 𝑛-ésimo intervalo para ter um comprimento igual ao 𝑛-ésimo termo na soma. Observe que isso significa que seus intervalos começam a ficar muito pequenos muito rapidamente. Tão pequeno que você não consegue ver a maioria deles nesta animação. Mas isso não importa, pois cada um é o único responsável por cobrir um racional. Eu já disse isso, mas vou repetir porque é incrível. 𝜀 pode ser qualquer número positivo que quisermos. Portanto, não apenas nossa soma pode ser menor que um, mas também pode ser arbitrariamente pequena! Esse é um daqueles resultados em que, mesmo depois de ver a prova, ainda desafia a intuição.

A discórdia aqui é que a prova nos faz pensar analiticamente, com os números racionais em uma lista. Mas nossa intuição nos faz pensar geometricamente, com todos os números racionais como um conjunto denso no intervalo. Bem, você não pode pular nenhuma ampliação contínua porque isso conteria infinitamente muitos racionais. Então, vamos entender o que está acontecendo.

Breve nota lateral aqui. Tive dificuldade para decidir como ilustrar pequenos intervalos. Desde que se eu escalar os parênteses com o intervalo, você não poderá vê-los. Mas se eu juntar os parênteses, eles se cruzam de uma maneira que é potencialmente confusa. No entanto, eu decidi ir com a cruz cromossômica feia. Portanto, lembre-se, o intervalo que isso representa é aquele pequeno trecho entre os centros de cada parêntese. Ok, voltando à intuição visual.

Considere quando 𝜀 é igual a 0.3. Ou seja, se eu escolher um número entre zero e um aleatoriamente, há uma chance de 70 por cento de estar fora desses infinitos intervalos. Como é estar fora dos intervalos? A raiz quadrada de dois sobre dois está entre os 70 por cento. E eu vou dar um zoom nisso. Ao fazer isso, traçarei os 10 primeiros intervalos da nossa lista dentro do nosso escopo de visão. À medida que nos aproximamos cada vez mais da raiz quadrada de dois sobre dois. Mesmo que você sempre encontre razões dentro do seu campo de visão, os intervalos colocados em cima dessas razões ficam muito pequenos muito rapidamente.

Pode-se dizer que, para qualquer sequência de números racionais que se aproxime da raiz quadrada de dois sobre dois. Os intervalos que contêm os elementos dessa sequência diminuem mais rapidamente do que a sequência converge. Observe que os intervalos são muito pequenos se aparecerem tarde na lista. E os racionais aparecem no final da lista quando possuem denominadores grandes. Portanto, o fato de a raiz quadrada de dois sobre dois estar entre os 70 por cento não cobertos por nossos intervalos é, de certo modo, uma maneira de formalizar a ideia vaga de que os únicos números racionais próximos a ela têm um denominador grande. Ou seja, a raiz quadrada de dois sobre dois é cacofônica.

Na verdade, vamos usar um pequeno 𝜀, digamos 0.01, e mudar nossa configuração para ficar no topo do intervalo de um para dois em vez de zero para um. Então, quais números caem entre essa elite de um por cento coberto por nossos pequenos intervalos? Quase todos eles são harmônicos! Por exemplo, o número irracional harmônico dois elevado a sete doze avos é muito próximo de três meios, que tem um intervalo relativamente gordo no topo. E o intervalo em torno de quatro terços é menor, mas ainda é gordo o suficiente para cobrir de dois elevado a cinco doze avos.

Quais membros de um por cento são cacofônicos? Bem, os racionais cacofônicos, ou seja, aqueles com altos denominadores e irracionais muito, muito, muito próximos deles. No entanto, pense no sábio que encontra padrões harmônicos em todos os números racionais. Você pode imaginar que, para ela, números harmônicos são precisamente aqueles um por cento cobertos pelos intervalos. Desde que sua tolerância a erros diminua exponencialmente para razões mais complicadas.

Em outras palavras, o fato aparentemente paradoxal de que você pode ter uma coleção de intervalos que preenche densamente um intervalo, enquanto apenas cobrir um por cento de seus valores corresponde ao fato de que números harmônicos são raros, mesmo para os sábios. Não estou dizendo que isso torne o resultado mais intuitivo. De fato, acho bastante surpreendente que o sábio que defini possa encontrar 99 por cento de todas as razões cacofônicas. Mas o fato de essas duas ideias estarem conectadas era simplesmente bonito demais para não ser compartilhado.