Video: Prova de Garfield sobre o teorema de Pitágoras

Video Transcript

Neste vídeo, vamos olhar para uma prova particular do teorema de Pitágoras por um homem chamado James Garfield. Agora, o que é interessante sobre James Garfield é que ele não era realmente um matemático; ele era um político e ele era de fato o vigésimo presidente dos Estados Unidos da América. Mas em meio a tudo isso, ele ainda conseguiu criar essa prova do teorema de Pitágoras e fez isso em 1876. E é isso que vamos ver neste vídeo.

Antes de olharmos para a prova, vamos nos lembrar do que o teorema de Pitágoras nos diz. E lembre-se que tudo tem a ver com triângulos retângulos e, especificamente, com as relações entre os comprimentos dos três lados. Assim temos a afirmação do teorema aqui, “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois lados menores”. A hipotenusa, lembre-se, que é o lado mais comprido do triângulo retângulo. E assim, se fizermos isso, obteremos o mesmo resultado como se agrupássemos os outros dois lados e os juntássemos. O diagrama no lado esquerdo da tela apenas mostra isso de forma pictórica. Então, temos cada um dos lados desse triângulo com os quadrados desenhados sobre eles. E o teorema de Pitágoras nos diz que 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado, onde 𝑎 e 𝑏 são os dois menores lados e 𝑐 é a hipotenusa.

Então, vamos dar uma olhada na prova de Garfield. Então, eu estou começando com o triângulo retângulo e nomeei os três lados como 𝑎, 𝑏 e 𝑐. O que Garfield fez foi pegar uma cópia idêntica desse triângulo retângulo e colocá-lo logo acima, de modo que uma cópia rotacionada do exato mesmo triângulo nessa localização aqui. E então ele juntou este ponto aqui a este ponto aqui para formar um trapézio. Então o trapézio que estamos olhando é essa linha azul e depois a base da forma aqui, a parte superior aqui e depois o lado vertical aqui embaixo.

Agora, o que Garfield fez foi observar duas formas alternativas de calcular a área desse trapézio. E a primeira delas é usar esse tipo de fórmula geral que usamos para calcular a área de um trapézio, que é somar os dois lados paralelos, então, neste caso, será 𝑎 e 𝑏, e depois dividir isso por dois. Então 𝑎 mais 𝑏 sobre dois, o que dá uma média desses dois lados. Nós então multiplicamos pela distância entre esses dois lados. Portanto, a distância entre os dois lados é a altura vertical deste trapézio, que é 𝑎 mais 𝑏. E esse é apenas o método geral para calcular a área de um trapézio.

Você pode então passar pela álgebra e simplificar isso, expandindo os parênteses. E se você fizer isso, você terá 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑎𝑏 mais 𝑎𝑏 tudo sobre dois, o que simplifica para 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado sobre dois mais 𝑎𝑏. Porque eu tinha dois deles e se eu dividir por dois, então cancela para apenas um. Portanto, esta é uma expressão para a área desse trapézio.

Podemos então pensar em uma maneira alternativa de calcular essa área, observando a área dos três triângulos individuais. Portanto, temos o triângulo um, o triângulo dois e o triângulo três. Agora, o triângulo um e o triângulo dois, ambos são triângulos retângulos com lados de 𝑎 e 𝑏. Então a área de cada um deles será 𝑎 multiplicado por 𝑏 dividido por dois. E eu tenho duas delas, então eu vou ter 𝑎𝑏 sobre dois duas vezes.

Agora eu tenho que pensar na área do triângulo três e parece um triângulo retângulo, e de fato é. Mas só precisamos nos convencer por que esse é o caso. Se eu der este ângulo aqui uma letra 𝜃, então este ângulo também é 𝜃 porque os dois triângulos eram cópias idênticas um do outro. E então, usando o fato de que ângulos em um triângulo têm que somar cento e oitenta graus, posso deduzir que esse ângulo deve ser noventa menos 𝜃, porque eu já tenho um ângulo reto de noventa graus e tenho 𝜃. Então, o que sobrou é noventa menos 𝜃.

Finalmente, para calcular o tamanho do ângulo no triângulo três, preciso usar o fato de que ângulos em linha reta somam cento e oitenta graus. Então, eu já tenho um ângulo de 𝜃 e tenho um ângulo de noventa menos 𝜃, então, juntos, esses dois ângulos somam noventa graus, o que significa que a parte restante - essa parte aqui - também deve ser de noventa graus, a fim para fazer cento e oitenta graus em linha reta. Então agora eu provei que o triângulo três é de fato um triângulo retângulo. Então, para trabalhar em sua área, posso fazer alturas de base ao longo de dois. Então, isso vai ser 𝑐 multiplicado por 𝑐 sobre dois ou apenas 𝑐 ao quadrado sobre dois. Agora, se eu simplificar este resultado, eu tenho 𝑎𝑏 sobre dois mais 𝑎𝑏 sobre dois. Então isso vai se tornar 𝑎𝑏. Então, fico com 𝑐 ao quadrado sobre dois mais 𝑎𝑏. E esta é a nossa segunda versão da área deste trapézio.

O passo final nessa prova é colocar essas duas áreas iguais entre si. Porque se elas estão descrevendo a mesma forma, elas devem dar o mesmo resultado. Então eu posso pegar minhas duas expressões diferentes para a área e colocá-las iguais umas às outras. Agora, o que você percebe é que ambas têm mais 𝑎𝑏 - este termo aqui. Então, isso será cancelado diretamente e eu ficarei com 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado sobre dois iguais a 𝑐 ao quadrado sobre dois. Então eu posso multiplicar ambos os lados dessa equação por dois, o que terá o efeito de eliminar aqueles dois do denominador. E o que me restará é que a afirmação 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado, o que é claro a declaração do teorema de Pitágoras. Então você tem a prova de Garfield do teorema de Pitágoras, uma prova geométrica muito legal que nos permite ver por nós mesmos que esse teorema é verdadeiro.