Vídeo: O Problema de Monty Hall

Neste vídeo, utilizamos probabilidades para nos ajudar a conceber uma estratégia ideal para ganhar um carro no Problema de Monty Hall.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos o famoso problema do Monty Hall, que foi baseado em um programa de TV chamado Let’s Make a Deal. O show começou nos Estados Unidos em 1963. Desde então, ele está sendo executado em vários formatos em todo o mundo. Foi originalmente criado por um sujeito chamado Monty Hall. E é assim que este problema tem o seu nome.

O formato é que durante o show, as pessoas são escolhidas para fazer um grande negócio para ganhar um prêmio. E eles geralmente acabam com a chance de trocar um pequeno prêmio por um bem maior e mais valioso, escondido atrás de uma cortina, porta ou caixa.

A coisa é que eles podem acabar recebendo um prêmio fabuloso, como um carro novo, ou eles podem acabar com um prêmio de insucesso, como uma pilha de dinheiro falso ou em item de roupa não compatível ou até mesmo um animal vivo que seria muito complicado levar pra casa.

Esses prêmios de consolação são chamados zonks. Agora, o problema de Monty Hall assume um desses cenários comerciais e pergunta se você pode criar uma estratégia para ajudá-lo a decidir como jogar. É assim.

Você está convidado a participar do programa do dia. O anfitrião está na frente de três portas fechadas e diz que atrás de uma delas está o carro novo dos seus sonhos e atrás das outras duas são zonks, neste caso cabras.

As portas são numeradas de um, dois e três. E tudo o que você precisa fazer é escolher uma das portas e você receberá o prêmio ou o zonk que está por trás dessa porta. Fácil! Então você faz sua escolha. Por exemplo, você diz “Porta Dois!”

Agora o anfitrião sabe em qual porta o carro está. E em vez de deixar você abrir a porta dois, ele abre dramaticamente uma das outras portas para revelar uma cabra mastigando calmamente um pouco de grama [grunhido de cabra]. Agora, aqui está a reviravolta, ele diz: “Ok, você gostaria de ficar com a porta dois ou gostaria de trocar para a outra porta fechada?”

Bem, você pode mudar suas chances de ganhar o carro aderindo ou trocando? Isso faz diferença? Existem duas portas para escolher. E uma tem uma cabra e a outra tem um carro. É 50/50, certo? Bem, pause o vídeo agora e pense no que você faria antes de eu explicar as contas.

Ok, esse problema causou muita controvérsia quando foi publicado pela primeira vez. E muitas pessoas discordaram sobre a melhor estratégia. Então vamos passar passo a passo. Parece que você tem uma escolha de duas portas. E tem uma cabra. E tem um carro por trás delas.

Certamente é óbvio que não faz diferença qual você escolhe. Elas são igualmente propensas a ter o carro ou a cabra por trás delas. Mas isso não está levando a história toda em conta. Quando você anunciou sua escolha de porta, o anfitrião abriu uma porta diferente que tinha uma cabra atrás dela.

Agora o anfitrião sabe onde está o carro. Então, se você escolhesse a porta com o carro, eles poderiam abrir uma das outras portas para revelar uma cabra. No entanto, se você escolheu a porta com uma cabra atrás dela, então o anfitrião teve que ter muito cuidado para escolher a outra porta com uma cabra atrás dela para abrir.

E essa sequência de eventos nos deixou na situação em que, para começar se você estava certo sobre qual porta tinha o carro atrás dela, então se você mudar de porta, você estará errado agora. E se você estava errado sobre qual porta tinha um carro atrás dela para começar, então se você mudar de porta, você estará certo agora.

No começo, quando você se depara com três portas e escolhe uma aleatoriamente, havia 33% e um terço de chance de você pegar o carro e 66% e dois terços de chance de ganhar uma cabra.

Uma das três portas tem um carro atrás dela. E as outras duas das três têm cabras. Isso significa que se você participasse do programa toda semana e seguisse sua escolha original todas as vezes, você ganharia o carro em um terço do tempo.

No entanto, se você fosse participar do programa toda semana e mudasse a sua escolha, então as vezes em que você está errado sobre qual porta está o carro, vira às vezes que você ganha o carro. Que são dois terços. Agora, as vezes que você estava originalmente certo sobre qual porta escondeu o carro, vira às vezes que você ganha a cabra. Isso é um terço.

Portanto, a melhor estratégia para ganhar o carro estatisticamente é mudar. Você está aumentando suas chances de ganhar um carro de 33 e um terço por cento, para 66 e dois terços por cento. Isso representa um aumento de 100% nas suas chances de ganhar.

Mas podemos falar sobre porcentagens outra vez. Agora vamos usar uma árvore de probabilidade para escrever tudo isso. Primeiro, vamos considerar a estratégia em que você fica com a porta que escolheu originalmente. Primeiro você tem que escolher a porta. Agora, em um terço dos casos, essa porta terá um carro atrás dela. E dois terços dos casos, terá uma cabra por trás dela.

Agora, uma vez que você escolhe o carro pela primeira vez, se você ficar com essa escolha, há uma probabilidade de um de que você mantenha o carro e há uma probabilidade de zero que você vai ter uma cabra. Mas se a porta que você escolheu originalmente tinha uma cabra por trás e você fica com essa escolha, há uma probabilidade zero de que você acabe com o carro e certeza absoluta de que você terminará com uma cabra.

Agora, se multiplicamos essas probabilidades condicionais ao longo dos ramos, descobrimos que a probabilidade de começarmos a escolher um carro e acabamos com um carro nessa estratégia de manter a escolha é de um terço. A probabilidade de começar escolhendo um carro e acabar com a cabra é zero. A probabilidade de começar com a cabra e terminar com um carro é zero. E a probabilidade de começar com a cabra e terminar com uma cabra é de dois terços.

Isso significa que a probabilidade geral de acabar com um carro é um terço mais zero, que é um terço. E a probabilidade geral de acabar com uma cabra é zero mais dois terços, o que equivale a dois terços. Então, vamos anotar isso aqui.

Se nos mantivermos, a probabilidade de conseguir um carro é um terço e a probabilidade de obter uma cabra é de dois terços. Agora vamos considerar a estratégia de trocar. Quando você escolhe uma porta aleatoriamente, ainda há uma probabilidade de um terço disso ser um carro por trás e dois terços disso ser uma cabra atrás dela.

Agora, porque o anfitrião revelou a outra porta, isso significa que se a porta que escolhemos tiver um carro por trás e nós mudarmos, agora definitivamente teremos uma cabra e definitivamente não conseguiremos o carro. E se nós escolhermos a porta com uma cabra por trás e nós mudarmos, nós definitivamente ganharemos o carro e definitivamente não acabaremos com uma cabra.

Assim, com a estratégia de troca, a probabilidade de acabar com um carro é zero mais dois terços e a probabilidade de acabar com uma cabra é um terço mais zero, que é um terço. Assim, a estratégia de mudança deixa você com a melhor probabilidade de acabar com um carro.

Agora, essa estratégia significa que você sempre ganhará o carro? Bem, não, não. Mas significa que você ganha em dois terços do tempo em vez de apenas um terço do tempo. Então isso vale a pena fazer. Para resumir tudo isso, um pouco de pensamento matemático pode ajudá-lo a conceber a melhor estratégia para ganhar um carro.

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