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Vídeo da aula: Progressões Geométricas Matemática • 9º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como calcular a razão comum, encontrar os próximos termos em uma progressão geométrica e verificar se a progressão aumenta ou diminui.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo sobre progressões geométricas, aprenderemos como calcular a razão comum entre os termos, encontrar os próximos termos em uma progressão geométrica e verificar se a progressão aumenta ou diminui.

Mas vamos começar pensando sobre o que realmente é uma progressão geométrica. Uma das progressões geométricas que podemos ver comumente é a progressão um, dois, quatro, oito, 16 e assim por diante. Cada termo na progressão é o dobro do termo anterior. Podemos dizer que a razão entre dois termos sucessivos na progressão é dois. Podemos ver toda uma gama de diferentes progressões geométricas. Por exemplo, poderíamos ter progressões com valores não inteiros e progressões que têm uma razão negativa entre termos sucessivos. Esse tipo de sequência é conhecida como progressões geométricas alternadas porque os sinais alternam entre positivo e negativo.

Mas o que define uma progressão geométrica é que a razão é comum entre termos sucessivos. Podemos usar a terminologia de que a sequência pode ser dada como os termos 𝑎 sub um, 𝑎 sub dois, 𝑎 sub três, 𝑎 sub quatro e assim por diante. Também podemos ver isso com letras alternativas que não sejam o uso de 𝑎, por exemplo, a sequência definida como 𝑡 sub um, 𝑡 sub dois e assim por diante. Algumas sequências podem começar com 𝑎 sub zero, mas na verdade estamos apenas dando um valor de posição para cada termo.

Podemos definir uma progressão geométrica como uma sequência de números diferentes de zero 𝑎 sub um, 𝑎 sub dois, 𝑎 sub três, 𝑎 sub quatro, e assim por diante que tem uma razão comum diferente de zero 𝑟, que não é igual a um, entre quaisquer dois termos consecutivos. A razão comum 𝑟 é igual a 𝑎 sub 𝑛 mais um sobre 𝑎 sub 𝑛 para valores de 𝑛 igual a um, dois, três e assim por diante. Esta parte da equação 𝑎 sub 𝑛 mais um sobre 𝑎 sub 𝑛 indica simplesmente qualquer termo na sequência dividido pelo termo imediatamente anterior.

Se pegarmos essa sequência de exemplo abaixo, podemos dizer que a razão 𝑟 é igual a 𝑎 sub dois sobre 𝑎 sub um. Isso é 100 dividido por menos 10, que é menos 10. Mas poderíamos ter encontrado a razão dividindo 𝑎 sub quatro por 𝑎 sub três. E isso também nos daria a mesma razão de menos 10. Mas antes de olharmos para algumas questões, também podemos definir progressões geométricas crescentes e decrescentes.

Dizemos que uma progressão geométrica está aumentando se 𝑎 sub 𝑛 mais um for maior que 𝑎 sub 𝑛, e seria decrescente se 𝑎 sub 𝑛 mais um fosse menor que 𝑎 sub 𝑛. Portanto, está aumentando se cada termo for maior que o termo anterior e diminuindo se um termo for menor que o termo anterior. Em cada caso, isso deve ser verdade para todos os valores de índice de 𝑛.

Agora podemos dar uma olhada em alguns exemplos de progressões geométricas e começaremos com um em que precisamos encontrar a razão comum.

A tabela mostra o número de bactérias em um experimento de laboratório em quatro dias consecutivos. O número de bactérias pode ser descrito por uma progressão geométrica. Encontre a razão comum dessa progressão.

Na tabela, podemos ver que em quatro dias diferentes, há várias bactérias registradas neste experimento. Dizem-nos que o número de bactérias forma uma progressão geométrica e que tem uma razão comum entre dois termos consecutivos. Para encontrar essa razão, então, poderíamos pegar qualquer termo e dividi-lo pelo termo anterior. Por exemplo, poderíamos pegar o segundo termo, que poderia ser denotado como 𝑎 sub dois, e dividi-lo pelo primeiro termo.

Isso seria 2572 dividido por 643. Colocando isso em nossas calculadoras ou simplificando a fração, obteríamos uma resposta de quatro.

Para verificar nossa resposta, poderíamos encontrar a razão entre outro par de termos consecutivos. Por exemplo, poderíamos pegar o quarto termo e dividi-lo pelo terceiro termo. Simplificando 41152 sobre 10288 também nos daria uma resposta de quatro. Como sabemos que essa é uma progressão geométrica, não precisamos fazer os dois conjuntos de cálculos. O segundo foi uma boa verificação, no entanto. Podemos dar a resposta, então, que a razão comum dessa progressão é quatro.

No próximo exemplo, veremos como podemos encontrar o próximo termo de uma progressão geométrica.

Encontre qual seria o próximo termo da progressão geométrica menos cinco, menos cinco sobre quatro, menos cinco sobre 16, menos cinco sobre 64.

Como essa progressão é geométrica, isso significa que sabemos que há uma razão comum entre termos consecutivos. Em outras palavras, há alguma razão 𝑟 pela qual podemos multiplicar qualquer termo para obter o próximo termo. E assim, para encontrar esse valor de 𝑟, podemos pegar qualquer termo na progressão, que podemos chamar de 𝑎 sub 𝑛 mais um, e dividi-lo pelo termo anterior, que podemos denotar como 𝑎 sub 𝑛.

Podemos pegar dois termos na progressão que podem ser os mais fáceis de dividir. Então, vamos pegar o segundo termo e dividi-lo pelo primeiro termo. Portanto, temos menos cinco sobre quatro sobre menos cinco. E é útil lembrar que isso é o mesmo que menos cinco sobre quatro dividido por menos cinco. Se tomarmos menos cinco como a fração menos cinco sobre um, então podemos lembrar que, para dividir por uma fração, multiplicamos pelo seu inverso.

Podemos tirar um fator comum de cinco e, em seguida, observar que temos uma fração negativa multiplicada por uma fração negativa. E assim, descobrimos que a razão 𝑟 é de um quarto.

Isso significa que, para calcular o quinto termo, multiplicamos o quarto termo pela fração de um quarto. Então calculamos menos cinco sobre 64 multiplicados por um quarto. Isso nos dá menos cinco sobre 256. Não podemos simplificar ainda mais essa fração, então podemos dar a resposta de que o próximo termo dessa progressão geométrica é menos cinco sobre 256.

No próximo exemplo, encontraremos a razão comum de uma progressão geométrica que é definida em uma fórmula recursiva.

Encontre a razão comum da progressão geométrica que satisfaz a relação 𝑎 sub 𝑛 igual a nove oitavos 𝑎 sub 𝑛 mais um, onde 𝑛 é maior ou igual a um.

Vamos começar lembrando que uma progressão geométrica é aquela que tem uma razão comum 𝑟 entre quaisquer dois termos consecutivos. Podemos encontrar essa razão comum dividindo qualquer termo, que denotamos como 𝑎 sub 𝑛 mais um, pelo termo imediatamente anterior, que denotamos como 𝑎 sub 𝑛. Isso geralmente é fácil de fazer se realmente nos forem dados os termos na progressão, mas não estamos nessa questão. Mas nos é dada uma relação entre 𝑎 sub 𝑛 e 𝑎 sub 𝑛 mais um.

Então, vamos olhar para essa afirmação, essa equação que escrevemos sobre a razão comum. Se multiplicarmos ambos os lados desta equação por 𝑎 sub 𝑛, obtemos a equação 𝑟 vezes 𝑎 sub 𝑛 igual a 𝑎 sub 𝑛 mais um. Dividindo por 𝑟, obtemos que 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 sub 𝑛 mais um sobre 𝑟. Podemos então relacionar isso à relação na questão, que é escrita em termos de 𝑎 sub 𝑛. Podemos definir o lado direito de ambas as equações iguais um ao outro, então temos 𝑎 sub 𝑛 mais um sobre 𝑟 igual a nove oitavos 𝑎 sub 𝑛 mais um.

Dividindo ambos os lados dessa equação por 𝑎 sub 𝑛 mais um, temos um sobre 𝑟 igual a nove oitavos. E então a resposta é que a razão comum 𝑟 é oito nonos.

Essa pergunta pode ser um pouco complicada de entender, especialmente se estivermos nos perguntando por que a razão não é apenas nove sobre oito. Então, vamos considerar essa questão como um diagrama. Imagine que temos essa progressão e não sabemos os valores dela. No entanto, conhecemos uma relação entre um termo 𝑎 sub 𝑛 e 𝑎 sub 𝑛 mais um. Mas quase nos é dada a relação na direção errada; nos é dito como obter 𝑎 sub 𝑛 de 𝑎 sub 𝑛 mais um. Nós multiplicamos 𝑎 sub 𝑛 mais um por nove sobre oito para obter 𝑎 sub 𝑛.

Mas quando estamos pensando em progressões, pensamos em como vamos de um termo para o termo após esse termo. O inverso da multiplicação por nove sobre oito é dividir por nove sobre oito. Mas quando estamos dando uma razão, deve ser em termos de um multiplicador. Esse é o inverso. Então aqui nós multiplicaríamos por oito nonos. E é por isso que a razão comum dessa progressão é oito sobre nove.

No próximo exemplo, veremos como podemos gerar os primeiros termos de uma progressão dado seu termo geral.

Encontre os cinco primeiros termos da progressão 𝑎 sub 𝑛 dados 𝑎 sub 𝑛 mais um é igual a um quarto 𝑎 sub 𝑛, 𝑛 é maior ou igual a um e 𝑎 sub um é igual a menos 27.

Nesta pergunta, recebemos as informações que podemos usar para gerar os termos dessa progressão. Embora essa notação de 𝑎 sub 𝑛 mais um e 𝑎 sub 𝑛 possa parecer confusa, tudo o que essa fórmula está nos dizendo é que, se quisermos gerar qualquer termo na progressão, pegamos o termo antes dele e o multiplicamos por um quarto. Os primeiros cinco termos na progressão podem ser dados como 𝑎 sub um, 𝑎 sub dois, 𝑎 sub três, 𝑎 sub quatro e 𝑎 sub cinco. Sabemos que a progressão começará com um índice 𝑛 de um porque nos disseram que 𝑛 é maior ou igual a um.

Então, vamos usar essa fórmula e dizer, por exemplo, que queríamos calcular o terceiro termo, 𝑎 sub três. Podemos usar a fórmula para nos dizer que 𝑎 sub três é um quarto de 𝑎 sub dois; é um quarto do segundo termo. Mas o problema é que ainda não sabemos o segundo termo da progressão. Poderíamos calcular o segundo termo como um quarto do primeiro termo, mas qual é o primeiro termo?

Bem, nos disseram que 𝑎 índice um é menos 27. Nesse tipo de fórmula, que é uma fórmula recursiva, precisamos receber pelo menos um dos termos para nos dar algum lugar para começar com a progressão. Olhando para o segundo termo, como mencionado anteriormente, podemos descobrir isso pegando um quarto do primeiro termo. Podemos calcular um quarto multiplicado por menos 27. E menos 27 sobre quatro é a forma mais simples dessa fração, e esse é o segundo termo.

O terceiro termo 𝑎 sub três é um quarto multiplicado pelo segundo termo, que é um quarto vezes menos 27 sobre quatro. Portanto, temos menos 27 sobre 16. O quarto termo é um quarto vezes o terceiro termo de menos 27 sobre 16, que é menos 27 sobre 64. Finalmente, o quinto termo é um quarto vezes menos 27 sobre 64, que é menos 27 sobre 256. Podemos então dar a resposta de que os primeiros cinco termos da progressão dada são menos 27, menos 27 sobre quatro, menos 27 sobre 16, menos 27 sobre 64 e menos 27 sobre 256.

No exemplo final, consideraremos como seria o gráfico de uma progressão geométrica.

Verdadeiro ou falso: Os termos de uma progressão geométrica podem ser desenhados como um conjunto de pontos colineares.

Vamos começar esta questão lembrando que uma progressão geométrica é uma progressão que tem uma razão comum entre dois termos consecutivos. Para considerar se uma progressão geométrica pode ser colinear, o que significa estar em uma linha reta, pode ser útil pegar alguns exemplos de progressões geométricas.

Então, vamos pegar a progressão um, três, nove, 27 e assim por diante. Podemos dizer que é geométrica porque a razão comum é três. Qualquer termo é encontrado multiplicando o termo anterior por três. Se fôssemos representar graficamente estes valores, estaríamos a representar graficamente o 𝑛 ou o valor do índice juntamente com o valor do termo. Poderíamos começar com a coordenada um, porque o primeiro termo tem o valor de um. A segunda coordenada seria dois, três. O termo com índice dois tem um valor de três.

No entanto, uma terceira coordenada de três, nove pode começar a revelar o padrão nesta progressão geométrica. Não teríamos uma linha reta. Na verdade, o que teríamos seria um gráfico exponencial.

Então, vamos tentar outra progressão geométrica. Desta vez, vamos tentar uma progressão geométrica decrescente. A progressão menos dois, menos quatro, menos oito, menos 16 e assim por diante, tem uma razão comum de dois. Vamos tentar representar graficamente esses valores de termos. Mais uma vez, podemos ver que esses pontos não estariam em linha reta.

Mas há outro tipo de progressão geométrica, que é uma progressão alternada. Os sinais dos termos alternam entre positivos e negativos. Isso ocorre porque a razão é um valor negativo. Quando traçamos essa progressão geométrica, obtemos um gráfico assim. Até agora, nenhuma das progressões que consideramos criou um conjunto de pontos colineares. Então, vamos considerar que tipo de progressão seria.

Bem, se tivéssemos uma progressão que produz uma linha reta, isso significa que quando o índice aumenta, os termos aumentam por uma constante ou uma diferença constante. Este tipo de progressão é na verdade uma progressão aritmética. E é definido por uma diferença comum entre dois termos consecutivos. Lembre-se de que uma progressão geométrica tem uma razão comum entre os termos e essa razão comum não pode ser igual a um. Portanto, não é possível que uma progressão geométrica possa ser traçada como um conjunto de pontos colineares. Isso significa que a afirmação da pergunta é falsa.

É importante notar que as progressões aritméticas são sempre lineares, mas as progressões geométricas nunca são lineares. Na verdade, elas criariam uma função exponencial.

Agora podemos resumir os pontos principais deste vídeo. Começamos considerando que uma progressão geométrica é uma progressão de números diferentes de zero com uma razão comum 𝑟, que não é igual a um, entre quaisquer dois termos consecutivos na progressão. Vimos como podemos calcular essa razão comum 𝑟 pegando qualquer termo na progressão e dividindo-o pelo termo de antecessor. Isso pode ser escrito como 𝑟 igual a 𝑎 sub 𝑛 mais um sobre 𝑎 sub 𝑛.

Vimos também que uma determinada progressão geométrica pode ser definida como um conjunto de números 𝑎 sub um, 𝑎 sub dois, 𝑎 sub três; uma fórmula recursiva; ou uma fórmula explícita. Finalmente, vimos que as progressões geométricas podem ser crescentes, decrescentes ou alternadas.

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